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浙江省强基联盟2024 2025学年高一下学期4月联考数学试题
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数（其中为虚数单位），则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的面积是（ ）
A． B． C．2 D．4
4．已知一圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若该圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，若在上的投影向量为，则向量与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知的面积为，则边的长度为（ ）
A．3 B．4 C． D．
7．在中，角的对边分别为．“”是“为等腰直角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知向量满足且，则的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多选题
9．下列有关向量与复数的命题中，正确的选项有（ ）
A．设均为非零向量，若满足，则有成立
B．设均为非零复数，若存在关系式，则可推导得
C．对于任意复数，当满足条件时，必有成立
D．若向量满足，则有成立
10．已知两个正实数满足，则下列不等式一定成立的有（ ）
A．的最小值是8 B．的最大值是8
C．的最小值是 D．的最大值是
11．在中，角的对边分别为，且，当时，下列选项中表述正确的有（ ）
A．的周长等于
B．
C．
D．若为直角三角形，则
三、填空题
12．已知是第二象限角，且，则 .
13．已知向量满足，，则 ．
14．在中，角的对边分别为，若，则 ．
四、解答题
15．已知复数（其中为虚数单位）．
（1）若，求复数；
（2）若方程的一个解为，求实数的值．
16．已知平面向量满足．
（1）若，求的坐标；
（2）若，求的值．
17．如图，长方体的三条棱的长分别为．

（1）将此长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，求剩下的几何体的体积；
（2）求长方体外接球的体积和表面积．
18．如图，在四棱锥中，四边形是正方形，点分别是线段的中点．

（1）求证：平面；
（2）若是线段的中点，证明：平面平面．
19．已知是锐角三角形，分别是角的对边，且有0．若在线段上的点满足且．
（1）求角的度数；
（2）求证：；
（3）求的取值范围．
20．定义：设一个多项式有个变量，如果任意交换两个变量后，多项式不变，那么这个多项式称为对称多项式．
例如，和都是关于的对称多项式．
特别地，以下多项式称为初等对称多项式：
……
性质：
（i）对称多项式的加、减、乘运算结果仍然是对称多项式．
（ii）任何对称多项式都可以唯一表示为初等对称多项式的组合．
（1）判定与是否属于对称多项式（无需说明依据）．
（2）已知正实数满足，求的最大值．
（3）已知，将对称多项式表示为初等对称多项式的组合形式．
参考答案
1．【答案】B
【详解】不等式，解得，则，而，
所以.
故选B
2．【答案】C
【详解】，
所以的虚部为，
故选C．
3．【答案】B
【详解】由斜二测直观图求出,，且,
则.
故选B．
4．【答案】A
【详解】设扇形的母线长为，底面半径为，由扇形面积公式得，解得，
由弧长公式得弧长为，则，解得，
由勾股定理得高为，由圆的面积公式得底面积为，
由圆锥体积公式得，故A正确.
故选A．
5．【答案】C
【详解】投影向量，所以，
其中，所以．即，
又，
所以.
故选C
6．【答案】D
【详解】因为，可得，
所以，
故选:D．
7．【答案】D
【详解】当时，，
所以或．
若时，；
若，由正弦定理得．
所以在三角形内有：或，所以是等腰或直角三角形．
当三角形是等腰直角三角形时，没有明确哪个角是直角，故推不出.
故选D
8．【答案】B
【详解】解法一：因为.
由不等式，可得，
因为，得且，
解不等式，得或；
解不等式，得，
综上．
所以，即当，且时，取得最大值3.
故选B．
解法二：令，，
所以，，
所以.
或，
所以当时，.
故选B．
9．【答案】BD
【详解】，由向量性质知，不能得出，A错误；
，由复数性质知B正确；
令，此时，所以C错误；
，所以，因此D正确．
故选BD．
10．【答案】AC
【详解】由，所以，所以，
当且仅当时等号成立，故A正确，B错误；
又，
，
当且仅当，即时等号成立，
即，解得，故C正确，D错误；
故选AC．
11．【答案】ABC
【详解】因为，所以，
所以周长，A正确；
因为，
所以，边化角得，B正确；
，
边化角可得
即
即
即，
所以，
因为在三角形内，所以有，C正确；
当时，由，可得，此时是直角三角形且，
所以推不出．D错误．
故选:ABC．
12．【答案】/－0.6
【详解】.
13．【答案】
【详解】因为向量满足，，
所以，
，解得．
14．【答案】/0.5
【详解】，
又当且仅当，即时等号成立，
且当即时，，
所以只能与同时成立，
，
所以故．
15．【答案】（1）
（2）2
【详解】（1）由，则，
．
（2）是关于的方程一个虚根，
，
整理得．
16．【答案】（1）或
（2）
【详解】（1）由题意设，
．
解得．
或．
（2）由题知：．
．
．
17．【答案】（1）
（2）体积为，表面积为
【详解】（1）在长方体中，．
则．
，
所以剩余部分的体积为．
（2）长方体的体对角线长为，
设长方体的外接球的半径为，可得，即，
所以外接球的体积为，
表面积为．
18．【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【详解】（1）证明：由四边形为正方形可知，
连接必与相交于中点，故，
面平面，
面．

（2）由点分别为中点可得：，
面平面平面，
又由（1）可知，平面，
且，平面,
故平面平面．
19．【答案】（1）
（2）证明见解析
（3）
【详解】（1）因为，且，
．
所以，
所以或，
因为，所以或或．
因为是锐角三角形，所以．
（2）
设，则,
在中,由余弦定理可得，,
即，即，
在中,由余弦定理可得，,
即，即，
所以．
即．
（3）由（2）知： ，
即，
由正弦定理可知，，
所以，
，
，
又
．
锐角三角形，
，
所以，即，
所以的取值范围为．
20．【答案】（1）不是对称多项式，是对称多项式
（2）4
（3）
【详解】（1）多项式，若交换，则与原来不同，故不是对称多项式，
多项式交换与原来相同，则是对称多项式．
（2）．
，
．
．
当且仅当时，等号成立．
所以的最大值是4；
（3）
．
又因为．
所以．

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