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浙江省温州市乐清市荆山公学2024 2025学年高一下学期3月检测数学（1班）试题
一、单选题
1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．知，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
4．中国象棋是中国发明的一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物，如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“马”“帅”“炮”“兵”分别位于A，B，C，D四点，则（ ）
A． B． C． D．3
5．在中，内角，所对的分别为，下列结论错误的是（ ）
A．若，则为钝角三角形
B．若，则是等腰三角形
C．若，则中最小的内角为，且
D．若，则
6．如图，在中，点在线段上，且．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
7．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如果复数z满足，那么的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、多选题
9．在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．点位于第二象限
C． D．
10．已知向量、、都是单位向量，，则（ ）
A． B．
C． D．与共线
11．在中，若，角的平分线交于，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的值是 B．的外接圆半径是
C．的面积是 D．
三、填空题
12．已知单位向量夹角为，若，则实数 .
13．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度CD约为 ．
14．在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是 .
四、解答题
15．已知向量.
（1）若向量与共线，求实数的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
16．（1）已知，若为纯虚数，求m的值．
（2）已知复数z满足，求z．
17．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知，是两个夹角为的单位向量，，．
（1）求；
（2）设，是否存在实数t，使得是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
18．某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时.
（1）求点到点的距离；
（2）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间.
19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角B；
（2）若的角平分线交AC于点D，，，求BD；
（3）若的外接圆的半径为，求的取值范围．
参考答案
1．【答案】C
【详解】对于A，因为零向量与任何向量是共线向量，不能作为基底，故A错误；
对于B，，故两个向量是共线向量，故不能作为基底，故B错误；
对于C，因为，所以两个向量不共线，可以作为基底，故C正确；
对于D，，故两个向量共线，不能作为基底，故D错误．
故选C.
2．【答案】A
【详解】依题意得
，
故.
故选A.
3．【答案】B
【详解】因为是与向量方向相同的单位向量，
所以，
因为向量在向量上的投影向量为，所以，
所以，所以，
所以，
设的夹角为θ，则，
又，所以.
故选B.
4．【答案】A
【详解】由题得．
故选A．
5．【答案】B
【详解】在中，最大的内角为，，故为钝角三角形，A正确．
因为，所以或，即或，故是等腰三角形或直角三角形，B错误．
设中最小的内角为，由余弦定理知．
因为，所以，故中最小的内角为，且，C正确．
．因为，所以或．
又因为，所以．则不符合题意，舍去，
故，D正确．
故选B
6．【答案】A
【详解】在中，点在线段上，且，
则，
，而，因此，
即，所以.
故选A
7．【答案】D
【详解】锐角中，，，
由正弦定理可得，
所以，
又，
所以，解得，
所以，所以．
故选D．
8．【答案】A
【详解】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，
因为，，
所以复数z对应的点Z的集合线段，如图所示，
所以求的最小值的问题转化为：动点Z在线段上移动，求的最小值．
因此作于，则与的距离即为所求的最小值，，
故的最小值是1．
故选A．
9．【答案】ACD
【详解】故选ACD.
A √
B × 由题意得，，，因为四边形为平行四边形，则，所以，所以，点位于虚轴上
C √ 如图，，，对应的向量分别为，，，则，，即，
D √
10．【答案】AC
【详解】对于A选项，向量、、都是单位向量，，则，
所以，A对；
对于B选项，在等式两边平方可得，
即，则，则，
所以，故，B错；
对于C选项，因为，则，
所以，，
所以
，故，C对；
对于D选项，，
若与共线，则存在，使得，
即，可得，即，
这与矛盾，假设不成立，D错.
故选AC.
11．【答案】ACD
【详解】由，即可得到，，利用正弦定理及三角形面积公式判断ABCD选项.
12．【答案】2
【详解】由题意，.
13．【答案】54m
【详解】由题可得在直角中，，，所以，
在中，，，
所以，
所以由正弦定理可得，所以，
则在直角中，，
即圣·索菲亚教堂的高度约为54m.
14．【答案】
【详解】在中，点为重心，则，
而点共线，则，
因此，当且仅当时取等号，
所以的最小值是.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题意可得，，
若向量与共线，可得，
解得.
（2）若向量与的夹角为锐角可得且与不共线，
即可得，
解得且，
即实数的取值范围为且
16．【答案】（1）；（2）
【详解】（1）因为为纯虚数，
所以且，
解得；
（2）因为，且，因此可设，
则，
由题意可得，所以，
解得，即.
17．【答案】（1）
（2）存在，
【详解】（1）由题意可知：，
因为，
所以．
（2）因为，．
若是以AB为斜边的直角三角形，则，
即，
可得，
即，化简得，解得，
所以存在满足条件．
18．【答案】（1）
（2）2小时
【详解】（1）由题意知海里，
，
，
在中，由正弦定理得，
，
（海里）.
（2）在中，，
（海里），由余弦定理得
，
（海里），则需要的时间（小时）．
答：救援船到达点需要2小时．
19．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）因为，
可得，
由正弦定理得，则，
且，所以．
（2）由题意可知：，
因为，
则，
即，可得．
（3）由正弦定理可得，
则，
可得，
又因为，则，
可得，即，
所以的取值范围为.

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