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浙江省文成中学2024 2025学年高一下学期第一次月考数学试题
一、单选题
1．已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数（其中为虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设D为所在平面内一点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．在中，内角，，的对边分别是，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，（其中，），若与共线，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型.若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，向量与满足，且，则为（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．等腰非等边三角形
8．梯形中平行于,，为腰所在直线上任意一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知向量，不共线，则下列能作为平面向量的一个基底的有（ ）
A． B．
C． D．
10．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．直线必过边的中点
C．
D．若，且，则
三、填空题
12．已知为虚数单位，则复数的模为 .
13．设 ， 且的夹角为钝角，实数的取值范围是 .
14．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为 .

四、解答题
15．已知向量，，且与共线.
（1）求的值；
（2）若与垂直，求实数的值.
16．在四边形中，，，，，．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）求的长．
17．已知平面直角坐标系内三点、、在一条直线上，满足，，，且，其中为坐标原点.
（1）求实数，的值；
（2）设的重心为，且，求的值.
18．已知锐角的内角所对的边分别，且. 若，，且．
（1）求角和边．
（2）若点满足，求的面积．
19．已知向量，函数，．
（1）当时，求的值；
（2）若的最小值为﹣1，求实数m的值；
（3）是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为，
所以．
故选A.
2．【答案】D
【详解】，对应的点时，在第四象限.
故选D
3．【答案】C
【详解】因为，所以，
所以.
故选C.
4．【答案】C
【详解】在中，因为，所以由正弦定理可得，
又因为，所以，
由余弦定理可得，
由，可得，
所以，，
由可得或，而，
所以，可得.
故选C.
5．【答案】B
【详解】因为与共线，，，
所以，即，
则，
当且仅当、时等号成立，
故的最小值为，
故选B.
6．【答案】B
【详解】依题意，在中，，，则，；
在中，，，则;
又中，，则.
故塔尖之间的距离为.
故选B.
7．【答案】B
【详解】，分别为向量与的单位向量，
因为，所以角的角平分线与垂直，
所以是等腰三角形，且，
由，，所以，
所以，可得，
所以是等腰直角三角形.
故选B
8．【答案】B
【详解】依据题意，建立如图所示平面直角坐标系
设，
由，
所以
则
所以
令，则
所以
当时，有
故选B
9．【答案】ACD
【详解】对于A，令，即，
所以无解，
故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，A正确；
对于B，因为，即向量与共线，故不能作为平面向量的一个基底；B错误；
对于C，令，即，
所以无解，
故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，C正确；
对于D，令，即，
所以无解，
故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，D正确
故选ACD.
10．【答案】AC
【详解】解：对于A，，所以A正确，
对于B，由，得 ，所以B错误，
对于C，
，所以C正确，
对于D，由C可知 ，所以D错误，
故选AC
11．【答案】ACD
【详解】如图所示，点O为所在平面内一点，且，
可得，即，
即，所以，所以A是正确的；
在中，设为的中点，
由，可得，
所以，所以直线不过边的中点，所以B不正确；
由，可得且，
所以，所以，可得，所以
所以，所以C正确；
由，可得
因为，且，
可得，
所以，所以D是正确的.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】因为，
所以复数的模为.
13．【答案】
【详解】因为的夹角为钝角，则且不共线，
可得，解得且，
所以实数的取值范围是.
14．【答案】
【详解】解法1：因为，所以，
又，
所以
因为点三点共线，
所以，
解得：.
解法2：
因为，设，
所以，
因为，所以，
又，
所以，
所以，
又，
所以 解得： ，
所以.
15．【答案】（1），（2）.
【详解】（1）
因为与共线，所以，
解得.
（2）由（1）知，所以
由与垂直，得，
所以，
解得.
16．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】（Ⅰ）在中，由余弦定理可得，
因为，
所以．
（Ⅱ）因为，
所以．
在中，由正弦定理可得，即，
解得2，即．
因为，所以．
在中，由正弦定理可得，即，
解得．
17．【答案】（1），或.（2）
【详解】解：（1）因为三点，，在一条直线上，所以，
又，，所以，①
因为 ，所以，即，②
由①、②解得，或.
（2）因为为的重心，且，所以点为线段的中点，
所以，.
所以，，
因此.
18．【答案】（1），；（2）.
【详解】（1）由，即，由正弦定理，
，又，
又．
由，代入得，1或2，
又时，，不合题意，舍；
时，，符合题意，所以．
（2），
，
在上，且为靠近的三等分点，
，
．
19．【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【详解】（1）
，
当时，，
则；
（2）∵，
∴，
∴，
则，
令，则，
则，对称轴，
①当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得（舍），
②当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得或（舍去），
③当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得（舍），
综上：若的最小值为﹣1，则实数．
（3）令，得或，
∴方程或在上有四个不同的实根，
则，解得，则，
即实数m的取值范围是．

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