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安徽省蚌埠市固镇二中、怀远三中、五河二中2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题
一、单选题
1．化简：（ ）．
A． B． C． D．
2．下列各角中，与角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知向量，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（　　）.
A． B．
C． D．
7．若向量，的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．某卖场去年1至 12月份销售某款饮品的数量 （单位：万件）与月份x近似满足函数，已知在上单调，且对任意的，都有 ，若，则该卖场去年销售该款饮品的月销量不低于 65万件的月份有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．下列关系式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．如图，某旅游部门计划在湖中心处建一游览亭，打造一条三角形游览路线．已知是湖岸上的两条甬路，（观光亭视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计），则（ ）
A．
B．当时，
C．面积的最大值为
D．游览路线最长为
三、填空题
12．已知扇形的圆心角为，其弧长是，则该扇形的面积是 ．
13．已知，则的值为 .
14．已知P，Q，R是半径为2的圆C上的点，若，则的取值范围是 ．
四、解答题
15．化简下列各式：
（1）；
（2）.
16．已知向量.
（1）若，求实数的值；
（2）若与垂直，求实数的值.
17．已知函数．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）若且，求的值．
18．如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近点的一个三等分点，为线段上的一个动点．
（1）用和表示；
（2）设，求的取值范围．
19．在锐角中，角所对的边分别为，且.
（1）证明：；
（2）若的平分线交于，，，求的值；
（3）求的取值范围.
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为.
故选C
2．【答案】A
【详解】因为，
，.
，
所以与角终边相同的角是.
故选A.
3．【答案】C
【详解】由题知，，解得，.
故选C
4．【答案】D
【详解】因为，
所以在上的投影向量的坐标为．
故选：D．
5．【答案】A
【详解】在中，由，得，
由正弦定理得，所以.
故选A.
6．【答案】A
【详解】将函数的图象上各点向右平移个单位长度，得到函数即的图象，
再把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，就得到函数的图象，
然后再把函数的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的4倍，就得到函数的图象.
故选A.
7．【答案】A
【详解】∵两个向量，的夹角是，是单位向量，，
∴．
∵，∴，
∴．
设向量与的夹角为，则，∵，∴．
故选A．
8．【答案】B
【详解】由题意可得，，
又在上单调，且对任意的，都有 ，
所以，
所以，
所以，即，
又因为，所以，
所以，
所以，
解得，
因为，
所以，即有5个月，
故选B.
9．【答案】BD
【详解】因为平面向量既有大小，又有方向，所以平面向量不能比较大小，故A错误；
因为表示两个平面向量大小相等，方向相同，而只须两个平面向量方向相同或相反，所以如果，则一定成立，故B正确；
当，则不能推出，故C错误；
根据平面向量相等的定义可知D正确.
故选BD.
10．【答案】BC
【详解】因为，故A错误；
因为，故B正确；
因为，故C正确；
因为，
，故D错误.
故选BC.
11．【答案】ACD
【详解】在中，由余弦定理得，
所以正确；
在中，由正弦定理，
得错误；
在中，由余弦定理，
，
当且仅当时等号成立，所以，
则的面积为，C正确；
由上可得，
所以，
当且仅当时等号成立，所以，D正确.
故选ACD.
12．【答案】/
【详解】设扇形的半径为，则，所以，
所以扇形面积为．
13．【答案】
【详解】因为，所以.
14．【答案】[，]
【详解】不妨设圆的圆心为原点，圆的标准方程为：，
则圆的参数方程为，其中.可设P（2cosθ，2sinθ），如图

根据圆的对称性，可取特殊点Q（1,），由于,则R（,），
所以
，
因为，所以的取值范围是：[，]．
15．【答案】（1）；
（2）0.
【详解】（1）.
（2）因为，所以，
所以
.
16．【答案】（1）
（2）或.
【详解】（1）因为，且，
所以，即，所以.
（2）因为，
所以，
因为与垂直，
所以
，
解得或.
17．【答案】（1），单调递增区间为（）
（2）
【详解】（1）因为，
所以的最小正周期，
令（），解得（），
所以的单调递增区间为（）；
（2）由（1）可得，所以，
因为，所以，
所以，
所以
.
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）依题意，，
∴，
∴
（2）由已知，
因是线段上动点，则令，
，
又，不共线，根据平面向量基本定理，则有，
，
在上递增，
所以，，，，
故的取值范围是．
19．【答案】（1）见详解
（2）
（3）
【详解】（1）证明：因为，由正弦定理得，
因为，
所以，
所以，
所以，或（舍去），所以.
（2）由（1）知，所以为锐角，
因为， 所以，
因为，
所以，
所以，
所以，即.
（3）因为是锐角三角形，所以，解得，
所以，
由正弦定理得
.
令，则在上单调递增，
而，所以，
所以.

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