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2025年广东佛山顺德桂洲中学高一下学期数学4月月考
一、单选题
1.已知向量，若，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
2.若，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3.已知向量，不共线，，，，则（ ）
A．与共线
B．与共线
C．A，B，C，D四点不共面
D．A，B，C，D四点共面
4.已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5.在中，角的对边分别为，向量，，若，则一定是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
6.如图，在直角坐标系内，角的终边与单位圆交于点，逆时针旋转得，逆时针旋转得，…，逆时针旋转得，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
7.已知向量，且的夹角为锐角，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8.已知函数(其中)的部分图象如图所示，点是函数图象与轴的交点，点是函数图象的最高点，且是边长为2的正三角形，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9.已知向量，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．已知，若，则
D．与夹角的余弦值为
10.已知不是直角三角形，内角所对的边分别为，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11.函数的部分图像如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．直线是函数图像的一条对称轴
B．函数的图像关于点，对称
C．函数的单调递增区间为，
D．将函数的图像向右平移个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图象
三、填空题
已知向量，满足：，，，则__________；
向量与的夹角为：________
14.某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地、两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点、、，从点测得，从点测得，，从点测得，并测得，（单位：千米），测得、两点的距离为________千米．
四、解答题
15.已知向量满足且的夹角为60°.
(1)若，求实数的值；
(2)求与的夹角的余弦值．
16.已知函数，．从下面的两个条件中任选其中一个：
①；②若，，且的最小值为，；求解下列问题
(1)化简的表达式并求的单调递增区间；
(2)请填写表格并利用五点作图法绘制该函数在一个周期内的图象．（注：条件①、②只能任选其一，若两个都选，则以条件①计分）
17.如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线于不同的两点M，N．

(1) 设，试用表示；
(2)求的值；
(3)设，求的最小值．
18.在非直角三角形 中，角 的对边分别为 ，且满足 .
(1)求证: ．
(2)若 ，求 的面积
19.某商场计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形促销活动区域（即区域），地面形状如图所示．已知已有两面墙的夹角为锐角，假设墙的可利用长度（单位：米）足够长。
(1)在中，若边上的高等于，求；
(2)当的长度为6米时，求该活动区域面积的最大值．
参考答案与试题解析
1.A
【解析】若，则，即，
向量，则，解得．
故选：A
2.D
【解析】依题意，
．
故选：D
3.D
【解析】，，不共线，故A错误；
，则，即与不共线，故B错误；
若，则，
则，得，即，
则，，，四点共面，故C错误；D正确；
故选：D．
4.D
【解析】向量在向量上的投影向量为．
故选：D
5.D
【解析】因，所以，
所以，由正弦定理可知，所以．
又，且，所以，或，
所以，或．
则是等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
6.B
【解析】由题意，，故，由诱导公式且，有，即点的横坐标为
故选：B
7.B
【解析】
8.D
【解析】过点作轴的垂线，垂足为，则为的中点，
因为是边长为2的正三角形，，
所以，，
所以，，
由题知，所以，所以，
将代入解析式得，
所以，，
所以，
所以．
故选：D
9.B,C
【解析】对于A，易知，所以不垂直，即A错误；
对于B，，可得，可得B正确；
对于C，由且可得，解得，即C正确；
对于D，设与的夹角为，所以，可得D错误．
故选：BC
10.A,C,D
【解析】对于A，因为，所以，所以A正确，
对于B，因为，所以，所以B错误，
对于C，因为，所以
，所以C正确，
对于D，因为，所以，
所以，
所以由正弦定理得，所以D正确，
故选：ACD
11.A,C,D
【解析】由图像可知，，
又，
所以，
因为，所以，所以，
A：令，当时，，故A正确；
B：令，故B错误；
C：令，故C正确；
D：将函数的图像向右平移个单位得到，
再将横坐标伸长为原来的2倍得到函数，故D正确；
故选：ACD．
12.
【解析】因为，
所以
．
故答案为：．
13.2、
【解析】因为，所以，
又因为，，所以，
；
由向量的数量积公式得：，
由于向量夹角的范围为，所以与的夹角为，
故答案为：2，．
14.
【解析】在中，，，，
，则，
在中，，，，则，
由正弦定理得，可得，
在中，，，，
由余弦定理得，因此，（千米）．
故答案为：．
15.
(1)
【解析】
．
解得．
(2)
【解析】．
．
故与的夹角余弦值为
16.
(1)若选①：( I ) ，单调递增区间为；若选②：( I ) ，单调递增区间为
【解析】
，
令，解得
所以函数的单调递增区间为
(2)见解析
【解析】表格如下：
函数f (x )在一个周期内的图象如图所示：
若选②：
（Ⅰ）因为，，且的最小值为，所以则，所以，
又，所以，解得，所以，
令，解得，所以函数的单调递增区间为
（Ⅱ）表格如下：
函数f (x )在一个周期内的图象如图所示：
17.
【解析】
17.
(1)
【解析】由，得，
所以
(2)
【解析】在等边中，，
由（1）得，
，，，
，
所以．
故
(3)4
【解析】由（1）知，，而，，
因此，而共线，则，
又，于是，
由于
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是4．
18.
【解析】
18.
(1)(1)证明见解析
(2)3
【解析】由可得,
又，
所以，
由于为非直角三角形，故,因此，
(2)3
【解析】由，可得,
解得或，
若，则,此时均为钝角，不符合题意，
故，,则，且为锐角，故，
又，为锐角，故,
由正弦定理得,解得
19.
(1)
【解析】过点作交于．
设米，x>0，则米，米．
在中，．
故
(2)平方米
【解析】设，则米，米，
因为，所以，
所以，当时，该活动区域的面积取得最大值，最大值为平方米．

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