资源简介

广东省湛江市吴川市第一中学等校2024 2025学年高一下学期第一次学情联合检测数学试题
一、单选题
1．复数的实部为（ ）
A． B． C． D．
2．设命题，则命题的否定为（ ）
A． B． C． D．
3．已知幂函数在定义域内单调递增，则（ ）
A． B． C． D．2
4．已知复数满足，且z在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知某湖水中的内源类有机物含量与时间t（单位：天）的关系满足函数（且），且第3天时其含量为100，第7天时其含量为400，若第天时其含量为800，则（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
6．已知向量，若与共线，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，四边形中，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知平面向量满足，，若，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
二、多选题
9．若是平面内所有向量的一个基底，则下列四个选项中也可以作为一个基底的有（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
10．已知向量，则（ ）
A． B．四边形的面积为10
C．外接圆的半径为 D．
11．若函数有个零点，且，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．函数的最小正周期为 ．
13．某气垫船在水面上径直向北匀速前进，其东、南、西、北侧分别放置了一个推进器，每个推进器启动时都会为气垫船提供相同大小的动力，使气垫船朝该推进器所在方向的反方向移动，但不会使气垫船转动．初始时推进器均处于关闭状态．现计划通过两次操作，使气垫船最终沿南偏东方向按原速率前进，且第一次操作的持续时间显著长于第二次操作，若水面阻力忽略不计，则这两次操作依次是 ．（按操作先后顺序填入下列序号，每个序号在整个操作过程中最多只能使用1次）
①启动位于东侧的推进器，随后关闭．②启动位于南侧的推进器，随后关闭．
③启动位于西侧的推进器，随后关闭．④启动位于北侧的推进器，随后关闭．
14．集合展拓在信息学中具有重要应用，定义为集合T中的元素个数，对于元集合，其展拓集合记为，满足，其中．已知集合，若的展拓集合满足，则的最大值为 ．
四、解答题
15．已知是一元二次方程的一个复数根．
（1）求的值；
（2）若为纯虚数，求．
16．已知函数与的图象交点横坐标为，且的值域为．
（1）求的值；
（2）设函数若方程有且只有一个实数解，求的取值范围．
17．某科考队为研究火山湖沿缓坡登上如图所示的火山口，在火山口上三点处分别插上旗帜．将火山口看作一个圆，测得（单位：米），．（参考数据：）
（1）求该火山口的直径；
（2）若D是火山口上另一点，求四边形面积的最大值．
18．已知复数在复平面内对应的点分别为，其中在第一象限，且．记在中，所对的边分别为．
（1）求；
（2）若，求的面积．
19．如图，已知半径为2的扇形的圆心角为，为的中点，是上一动点．
（1）求的取值范围；
（2）当为的中点时，用表示；
（3）若，求的最大值．
参考答案
1．【答案】A
【详解】由题意可得，故的实部为．
故选A．
2．【答案】D
【详解】命题，为全称量词命题，
则其否定为：.
故选D
3．【答案】C
【详解】因为为幂函数，且在定义域内单调递增，
所以，解得.
故选C
4．【答案】D
【详解】由条件可知，，即，
所以.
故选D
5．【答案】C
【详解】依题意，解得（负值已舍去），
所以，则，解得.
故选C
6．【答案】B
【详解】因为且与共线，
所以，所以，当且仅当时取等号.
故选B
7．【答案】B
【详解】设，，则，
由余弦定理可得，
所以，解得．
故选B．
8．【答案】D
【详解】不妨固定的起点为同一点，
因为，所以在方向上的投影向量恰为，即投影向量的模为，
所以向量的终点在过的终点且垂直于的直线上（如图），
因为，则，即，
同理可得向量的终点在过的终点且垂直于的直线上（如图）
又，所以，所以，，可以围成如图所示直角三角形，
故当且仅当平行于时，即两直线之间的距离，此时取得最小值.
故选D
9．【答案】BC
【详解】A. 和是相反向量，不能作为基底，故A错误；
B.不存在，使，所以和可以作为基底，故B正确；
C.不存在，使，所以和可以作为基底，故C正确；
D.，所以向量和共线，所以不能作为基底，故D错误.
故选BC
10．【答案】ACD
【详解】对于A：因为，
所以，故A正确；
对于B：
因为，
如图以为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，，，
过点作轴的垂线，设垂足为点，过点作轴的垂线，设垂足为点，
则四边形的面积为
=，故B错误；
对于C：因为，
在直角三角形中，易得，
设外接圆的半径为，由正弦定理，解得，
故外接圆的半径为，故C正确；
对于D：因为，，
，故D正确.
故选ACD．
11．【答案】ABC
【详解】依题意可得，令，即或，
即或或或，
解得，，，，
所以，故A正确；
，故B正确；
（，等号不成立），故C正确；
当且仅当时取等号，
因为，故D错误.
故选ABC
12．【答案】
【详解】函数的最小正周期为.
13．【答案】④③
【详解】因为最开始气垫船在水面上径直向北匀速前进，两次操作后气垫船最终沿南偏东方向按原速率前进，且第一次操作的持续时间显著长于第二次操作，
所以第一次操作应使气垫船向南匀速前进，则需打开位于北侧的推进器，第二次应打开西侧的推进器，使气垫船有向东前进的动力，这样，气垫船最终沿南偏东方向按原速率前进.
14．【答案】
【详解】记，由，解得，又，
所以，则；
当时，，又，所以，此时的最大值为；
当时，，此时或，
于是，此时的最大值为；
综上可得的最大值为.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由条件可知，，
则，得，
则，得，，
所以；
（2）由题意可知，，得，
所以，则.
16．【答案】（1），
（2）
【详解】（1）依题意，即，所以，
当时，，显然不符合题意；
当时，的图象无限接近于直线，
当时的值域为，不符合题意；
当时的值域为，又的值域为，
所以，，经检验符合题意；
（2）由（1）可知，
因为，即，
所以当时单调递增，且；
当时，单调递减，且，
要使方程有且只有一个实数解，即与有且仅有一个交点，所以或，
即的取值范围为.
17．【答案】（1）米
（2）平方米
【详解】（1）由余弦定理，
即，所以，
设该火山口的半径为，由正弦定理，
即该火山口的直径为米；
（2）要使四边形面积的最大，则在优弧上，
又（平方米）；
因为、、、四点共圆，
所以，则，，
设，，
由余弦定理，
即，所以（当且仅当时取等号），
所以，
所以四边形的面积最大值为（平方米）.
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，又，即，
又在第一象限，，.
（2），
，
由余弦定理知，两式相加可得，
.
设，且，，则，，
所以，，.
易知与复平面的实轴垂直，又，
与复平面的虚轴垂直，，，
又，点在第一象限，.
，，，，，
的面积为.
19．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）如图，设，连接，
而，
因为，故，
所以的取值范围为．
（2）因为为的中点，所以，
由平面向量加法法则得，
则在方向上的投影向量为，
在方向上的投影向量为，
得到，
故，
将代入，得．
（3）因为，，
所以，
又由（2）知，
故，则，
因为，所以当且仅当时，取得最大值1，
故的最大值为．

展开更多......

收起↑