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河北省邱县第一中学2024 2025学年高一下学期4月检测数学试题
一、单选题
1．已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题正确的是（ ）
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若直线平面，直线平面，则∥
C．直线与平面所成角的取值范围是
D．若直线与平面所成的角为，直线与平面内的直线所成的角为，则总有
4．在长方体中，，与平面所成的角为，则四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题正确的是（ ）
A．锐角三角形中，若，则角取值范围为．
B．在三角形ABC中，若，则这个三角形是等腰直角三角形．
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若直线上有两个点到平面的距离相等，则∥；若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行．
6．已知球的表面积为 ,一圆台的上、下底面圆周都在球的球面上,且下底面过球心,母线与下底面所成角为,则该圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，与CE的交点为，则（ ）
A． B． C． D．
8．直角梯形ABCD中，，，，点为中点，在边上运动（包含端点），则的取值范围为（ ）

A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题正确的（ ）
A．若，，，则
B．若，，，，则
C．非零复数对应的向量分别为为和，若，则
D．若，则的最小值为5
10．下列命题正确的（ ）
A．已知向量，若，则等于
B．△ABC中，已知，，若三角形有唯一解，则整数可以为．
C．在中，为常数，若，且，则的面积取最大值时，
D．在中，，，设是的内心，若，则
11．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，.则（ ）
A．球的表面积为
B．异面直线与所成角的正切值为
C．平面截球所得截面的面积为
D．点到平面的距离为
三、填空题
12．如图是一个水平放置的平面图形的直观图，它是一个底角为，腰和上底均为1，下底为的等腰梯形，那么原平面图形的面积为 .

13．如图在平面四边形中，，点在线段上满足，若，则 ．
14．四点共圆是平面几何中一种重要位置关系，古希腊数学家对凸四边形（是指没有角度大于180°的四边形）进行研究时，分别总结出如下结论：
（1）（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立．
（2）（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大．
根据上述材料，如图，在凸四边形中，若，，，求四边形面积取得最大值时角的大小为 ，并求出此时四边形的面积为 ．
四、解答题
15．已知，记在方向上的投影向量为．
（1）求的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
（3）已知，求与共线的单位向量的坐标．
16．如图，在四棱锥中，，，，设，，分别为，，的中点，
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面．
17．在中，角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，点在边上，且是的平分线，求的面积.
18．如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，，.
（1）求证：;
（2）求证：平面；
（3）求直线与平面所成角的正切值.
19．射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从点出发，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为．对于四个有序点，若，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作．
（1）若点分别是线段的中点，求；
（2）当时称为调和点列，若，求值；
（3）已知，且，点为线段的中点，，，求，，
参考答案
1．【答案】B
【详解】由题意，得，所以的虚部为，
故选B．
2．【答案】B
【详解】解：因为向量，所以，
，
若，则，即.
故选B
3．【答案】B
【详解】对于A，若两条直线和同一个平面所成的角相等，这两条直线可能相交、平行或异面，故A错误；
对于B，两直线同时垂直于同一平面，根据线面垂直的性质定理可知两直线平行，故B正确；
对于C，当直线在平面内或者直线与平面平行时，直线与平面所成的角为0；
当直线与平面斜交时，直线与平面所成角的取值范围是；
当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角为，
所以直线与平面所成角的取值范围为，故C错误；
对于D，根据线面角的定义可知，直线与平面内的直线所成角中的最小角为，
所以，故D错误；
故选B
4．【答案】B
【详解】
在长方体中，
利用长方体的性质可知，平面，
则与平面所成的角为，从而，
因为平面，平面，所以，
在直角中，根据，，可得，
再由勾股定理，可以确定，
利用长方体的性质可知， 平面，
所以该四棱锥的体积为，
故选B．
5．【答案】C
【详解】对于A选项，由正弦定理可得，
即，因为是锐角三角形，所以，
所以，即，所以，
又因为是锐角三角形，所以，
解得．故A错误；
对于B选项，可变形为，
由正弦定理可得，
即．解得或，
所以三角形是等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C选项，若一条直线平行于两个相交平面，则由直线与平面平行的性质定理
和判定定理可知这条直线与这两个平面的交线平行，故C正确；
对于D选项，直线上有两点到一个平面的距离相等，
直线可能与平面平行、相交或直线在平面内；
若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，
当三点共线或三点在平面的两侧时，这两个平面可能相交，故D错误；
故选C
6．【答案】B
【详解】因为球的表面积为 ，所以球的半径为1，则由题意知，圆台下底面半径是1，球及圆台的轴截面如图所示，设圆台的上底面圆的圆心为,连接,,过点作于点,设圆台的上底面半径为，母线长为，因为母线与下底面所成角为，所以，所以为等边三角形，所以，，所以圆台的侧面积为 .故选.
7．【答案】B
【详解】因为、、三点共线，，所以，
又因为，所以，
设，则，
即，消可解得，所以，所以，
所以，又，所以，
所以.
故选B.
8．【答案】A
【详解】依题意，建立直角坐标系，如图，

则，
当在边上运动时，记，
则，
所以，则；
当在边上运动时，记，
则，所以，则；
当在边上运动时，记，
则，
所以，则；
综上：.
故选A.
9．【答案】ABC
【详解】对于A，由平面的性质得两个平面的公共点必在其交线上，故A正确．
对于B，若，，则，
由直线a与点P确定唯一平面，由a与b确定唯一平面，
且该平面经过直线a与点P，所以该平面与重合，则，故B正确；
对于C，由知，以为邻边平行四边形为矩形，故C正确，
对于D项，表示对应点与点距离为，轨迹为圆，如图，
而表示对应点与点距离，
结合图形可知的最小值为，故D错误．
故选ABC
10．【答案】BCD
【详解】对于A，因为，所以，
因为，且，
所以，解得，故A错误，
对于B，由正弦定理得，则，
由于有唯一解，则或，解得或，
则整数可以为，故B正确，
对于C，在中，由及余弦定理得，
即，而，则，又，则有，
即，又，因此，
则，当时取等号，
故面积取最大值时．故C正确，
对于D，以的中点为坐标原点，建立如下图所示的坐标系：
设内切圆的半径为，则，解得，
故，则，
因为，所以，
即，解得，故，故D正确.
故选BCD
11．【答案】AD
【详解】因为，，所以的外接圆的半径，
又平面，，
将三棱锥放入长方体中，

对于A，长方体的体对角线长为，
故外接球的半径为，故表面积为，A正确，
对于B，或其补角为异面直线与所成角，
由于平面，平面，故，故，故B错误，
对于C，，，
，
故的外接圆半径为，
故的外接圆的面积为，故C错误，
对于D，设点到平面的距离为，
则
，故D正确
故选AD.
12．【答案】
【详解】平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，
平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1，
梯形的下底边长为平面图形的面积.
13．【答案】/
【详解】以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设，
则有，
，过D作轴于F，，
，所以，
，，，
因为，
所以，
所以，，解得：，
则的值为.
14．【答案】
【详解】由题设当 A、B、C、D四点共圆时，四边形的面积达到最大，如图，
连接，在中，由余弦定理得：
，①
在中，由余弦定理得：
，②
因为A、B、C、D四点共圆，所以，
从而，③
由①②③解得 ，因为，所以 ．
从而，
，
所以 ．
15．【答案】（1）
（2）且
（3）或
【详解】（1）与的夹角为，．
（2）
，且与不能共线，
即，
当与共线时，设，得．
且．
（3），，所求单位向量坐标为：或.
16．【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【详解】（1）在四棱锥中，连接，由，分别为，的中点，得，
而，，则，四边形为平行四边形，
因此，而平面，平面，所以平面．
（2）由是中点，而为中点，则，
又平面，平面，于是平面，
由（1）知，，而平面，平面，
因此平面，又平面，
所以平面平面．
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由，得，
解法一：由正弦定理得，
又中，，所以，
所以，
于是，
又，所以，
又，所以.
解法二：由余弦定理得，
化简得，
由余弦定理得，
又，
所以.
（2）由是的平分线，得，
解法一：，
又，
所以
.
解法二：由得
.
即，
解得，
所以.
18．【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）
【详解】（1）由多面体的定义知，四点共面，四点共面，
因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，且平面平面=，所以.
（2）取的中点，连接，则，
由（1）知，所以，又因为，所以四边形是平行四边形，
得到，且，在中，，
又，得，所以，
在中，，，，所以，
所以，即，
又因为四边形是正方形，所以，
又，平面，平面，
所以平面.
（3）连接，与相交于点，则点是的中点，
取的中点，连接，，则，，
由（1）知，且，所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以，且，
由（1）知平面，又平面，
所以，又因为，平面，平面，
所以平面，故平面，
又平面，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面，故是直线与平面所成的角，
在中，，所以直线与平面所成角的正切值为.
19．【答案】（1）
（2）
（3），，
【详解】（1）由已知，，所以．
（2）由知：两点分属线段内外分点，
不妨设，，则，，
由知：，，，即．
（3）方法一：由，可得，即，所以，
又点B为线段的中点，即，所以，又，所以，，，
又已知，所以．
设，，由，得，
即，解得，…①
在中，由正弦定理可得，得，…②
在中，由正弦定理可得，得，…③
又，得，即，…④
由①④解得，（负值舍去），即，，
所以．
方法二：因为，所以，设，则，
又B为线段的中点，所以，
又已知，，所以，
所以，得，所以，，
由，得，
所以，设，则，
由，互补得，即，
解得，所以，，所以

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