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河北省邢台市第一中学2024 2025学年高一下学期第二次月考数学试题
一、单选题
1．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形
3．下列命题中正确的是（ ）
A．若空间四点共面，则其中必有三点共线
B．若空间四点中有三点共线，则此四点必共面
C．若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面
D．空间四边形中，，E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形为正方形
4．在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线，，是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若直线与异面，则过空间任意一点与和都平行的平面有且仅有一个
D．若，，，则且
6．在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c.若，，，则（ ）
A．10 B．7 C．4 D．3
7．如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，，分别在线段，上，且，在上且平面平面，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知四面体满足，，动点M在四面体的外接球的球面上，且，则点M的轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ）
A． B．复数的虚部为
C．若复数为纯虚数，则 D．若为复数，则为实数
10．如图是一个边长为的正方体的平面展开图，在相应正方体中，为棱的中点，点为侧面内一动点（包括边界），若平面，下列结论正确的为（ ）
A．
B．点的轨迹为正方形的内切圆的一段圆弧
C．存在唯一的点，使得，，，四点共面
D．长度的取值范围为
11．如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有边长均相同，如图2，设，则下列说法正确的是（ ）
A．该多面体的体积为
B．过、、三点的平面截该多面体所得的截面面积为
C．设点为平面截该多面体所得截面多边形内一点（包括边界），则的取值范围为
D．该多面体的外接球表面积为
三、填空题
12．复数 .
13．已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为 ．
14．如图，正方体中，P、Q、R、S、T分别为线段、、、、的中点，联结、，对空间任意两点M、N，若线段与线段不相交或与线段不相交，则称M、N两点可视.则此正方体中的点A、P、Q、R中与点可视的点有 .（答案从“点A、点P、点Q、点R”中选择）
四、解答题
15．如图，在中，，，，点D，E满足，，AC边上的中线BM与DE交于点O.设，.
（1）用向量，表示，；
（2）求.
16．如图所示，在四边形中，，，，，E为的中点，连接.
（1）将四边形绕着线段所在的直线旋转一周，求所形成的封闭几何体的表面积和体积；
（2）将四边形绕着线段所在的直线旋转一周，求所形成的封闭几何体的表面积和体积.
17．已知锐角的内角所对的边分别为，向量 ，，且 .
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的最小值；
（3）若，边上的中线长为，求的值.
18．一正三棱台木块如图所示，已知，，点在平面内且为的重心.
（1）证明：平面；
（2）设平面平面，试判断直线与的位置关系，并给出证明；
（3）在棱台的底面上（包括边界）是否存在点，使得直线平面 若存在，说明点的轨迹，并进行证明；若不存在，说明理由.
19．一个几何系统的“区径”是指几何系统中的两个点距离的最大值，如圆的区径即为它的直径长度.
（1）求长宽高为2、3、4的长方体的区径；
（2）已知正方体的棱长为2，求
①外接圆的区径；
②正方体的棱切球（与各棱相切的球）的区径；
③正方体的棱切球（与各棱相切的球）和外接圆构成的几何系统的区径.
参考答案
1．【答案】D
【详解】，，
则，
所以在上的投影向量的坐标为．
故选D．
2．【答案】C
【详解】由题意，在原中，，
因为，则，
又，所以，为中点，
则，
所以原是一个等腰三角形.
故选C.
3．【答案】B
【详解】对A，四点共面不一定得到三点共线，比如平面四边形，故A错误，
对于B，若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；B正确，
对于C，若空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面；比如平面四边形，C错误，
对于D，空间四边形中，，E，F，分别为，的中点，G，H分别为，的中点，所以，所以，
同理，所以，则四边形为长方形，不能得出正方形，D选项错误；
故选B
4．【答案】C
【详解】，
∴，，
∴；
又知，平方可得，
∴，∴.
故选C.
5．【答案】D
【详解】A选项：，，则或与相交或异面，A选项错误；
B选项：若，，则或，B选项错误；
C选项：若直线与异面，则当空间内一点在或上时，不存在和都平行的平面，C选项错误；
D选项：若，，，则且；
故选D.
6．【答案】B
【详解】因为，，所以，
又，则，
由正弦定理得，所以.
故选B.
7．【答案】A
【详解】
延长，连接，
由四边形为平行四边形可知，
则，即，
又平面平面，且平面平面，
平面平面，则，
又，所以，
由四棱柱可知，，
即，，
又，，
故选A.
8．【答案】A
【详解】将四面体放入长方体中，设长方体的相邻三条棱长分别为，
依题意，可知，，
则，，，
解得，，
四面体的外接球半径为，球心为，
由，点的轨迹为一个圆，中点为，
设轨迹圆的半径为，圆心为，过，作球的一个轴截面，
∴，解得，，
∴的轨迹长度为.
故选A.
9．【答案】AD
【详解】A：，故A正确；
B：对于复数的虚部为，故B错误；
C：由复数z为纯虚数，设()，则，所以，故C错误；
D：设复数()，则，所以，故D正确.
故选AD.
10．【答案】ACD
【详解】
还原正方体如图所示，
则，且，即四边形为平行四边形，则，A选项正确；
取中点，中点，
则，即，同理可得，
又，且，平面，
所以平面平面，
又平面，则平面，
即平面，
又平面，且平面平面，
所以，B选项错误；
由可知，，，四点共面，
则若，，，四点共面，则平面，
又，且平面，
所以当且仅当与重合时，，，，四点共面，C选项正确；
由正方体可知，
又为等腰直角三角形，
则当与或重合时，取得最大值为，此时取得最大值为，
当为中点时，取得最小值为，此时取得最小值为，
即长度的取值范围为，D选项正确；
故选ACD.
11．【答案】ACD
【详解】由已知，则正方体棱长，
所以多面体体积，A选项正确；
由平面的性质可知过、、三点的平面截该多面体所得的截面为边长为的正六边形，
其面积为，B选项错误；
如图所示，
以为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，
则，，设点，且，，
则，，
所以，即，C选项正确；
由多面体性质可知其外接球球心为该多面体的体心，即正方体体心，设为，
则外接球半径为，
即外接球表面积为，D选项正确；
故选ACD.
12．【答案】
【详解】复数.
13．【答案】
【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为
由题意可得：，即，
可知圆锥的轴截面为等边三角形，所以该圆锥的母线与底面所成角的大小为.
14．【答案】点A、点Q、点R
【详解】对于点A，连接，因为平面，
平面，且，所以直线与是异面直线，
所以点与点可视；
对于点，如图，连接，得平面，
且与相交，连接，因为，，
所以四边形是平行四边形，得与相交，所以点与点不可视，
对于点，如图，连接，，因为平面，
平面，且，所以直线与是异面直线，
所以点与点可视；
对于点，如图，连接，，
因为平面，平面，且，
所以直线与是异面直线，所以点与点可视，故D错误.
15．【答案】（1）,
（2）
【详解】（1）因为为边上的中线，
，
因为，，
所以，，
所以.
（2）由，得，，
又，所以向量与得夹角为，
由图形可知的大小等于向量与的夹角，
，
，
，
所以，
又因为，所以.
16．【答案】（1），
（2），
【详解】（1）依题意，因为，，所以四边形是直角梯形，
又，，E为的中点，
所以，.
将四边形绕着线段所在的直线旋转一周，所得几何体如图所示，
几何体上半部分是圆锥，下半部分是圆柱.
表面积为.
体积.
（2）将四边形绕着线段所在的直线旋转一周，所得几何体为圆台，
上底面半径为，下底面半径为，高为2，
体积为.
表面积为.
17．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）∵，，且 ，
∴，故，
∵，∴，故，
∵，∴.
（2）∵的面积为，∴，即，故.
由余弦定理得，，
当且仅当时等号成立，此时为等边三角形，符合题意，
∴，即的最小值为.
（3）

∵为边上的中线，∴，
∴，即，
∴，即，解得或（舍），
此时，为等边三角形，符合题意，
∴.
18．【答案】（1）证明见解析
（2）平行，证明见解析
（3）存在，轨迹及证明见解析
【详解】（1）
设，的中点分别为、，连接、，
易得，
又，
即，，
则，，
又点为的重心，
即，
与平行且相等，
即四边形为平行四边形，
则，
又平面，平面，可得平面；
（2）直线与平行.
证明如下：
，平面，平面，
平面，
又由平面，平面，平面平面，
；
（3）分别取、的中点、，则当点时，有平面，
证明如下：
由、分别为、的中点得，
过点作的平行线交、于、两点，
因为，，所以，即、、、四点共面，
又因为，点为重心，
所以，
又由正三棱台性质，
故四边形为平行四边形，故，
因为平面、平面，所以平面，
同理平面，
因为，、平面，
所以平面平面，
所以当点时，平面，满足平面.
19．【答案】（1）
（2）①；②；③
【详解】（1）长方体的区径为长方体体对角线，
则长宽高为2、3、4的长方体的区径为.
（2）正方体的棱长为2，
①因为的边长为的正三角形，
外接圆的区径为外接圆直径，
所以外接圆的区径为；
②正方体的棱切球（与各棱相切的球）的区径为球直径，
该球的直径即为正方体的面对角线的长，即为；
③记棱切球的球心为，即为正方体的中心，易求得棱切球的半径为.
记的外接圆圆心为，因为为正三角形，
由①可得外接圆的半径为，正方体的体对角线的一半为，
则在中，，
则球心到的外接圆上任意一点的距离均为，圆与球的位置关系如图：
若两点分别在球上和圆上，设点在球上，点在上，
则有，，
所以，当M，O，N三点共线，且，N在的异侧时取到等号.
若两点同时在球上或圆上，则最大距离为的直径，即.
综上，该几何系统的区径为.

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