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河北省邢台市卓越联盟2024 2025学年高一下学期第一次月考数学试题
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．若向量，且，则（ ）
A．28 B． C． D．
3．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，是两个不共线的向量，向量，共线，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知点是线段上靠近点的一个三等分点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．已知平面上的三个力，，作用于一点，处于平衡状态，且，，，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知向量，且的夹角为锐角，则m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知圆O的半径为3，弦，D为圆O上一动点，则的最大值为（ ）
A． B．9 C． D．18
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．我们把既有大小又有方向的量叫作向量 B．单位向量是相等向量
C．零向量与任意向量平行 D．向量的模可以比较大小
10．已知正方形ABCD的边长为1，为任意向量，则的值可能为（ ）
A．1 B． C． D．
11．已知a，b，c分别为锐角三个内角A，B，C的对边，且，，则（ ）
A．A的取值范围为 B．a的取值范围为
C．ac的取值范围为 D．的取值范围为
三、填空题
12．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且的面积为，则=
13．已知为正六边形的中心，且，则 .
14．河北省邢台市又称卧牛城，其卧牛雕像现坐落于达活泉公园．如图，为了测量卧牛雕像的高度，选取了与该雕像底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，在点C处测得点A的仰角为，，，，则卧牛雕像的高度 m．（参考数据：取，）
四、解答题
15．已知两个非零向量与不共线，且．
（1）用表示；
（2）猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的结论．
16．已知向量与的夹角为，且．
（1）求；
（2）求向量与夹角的余弦值.
17．已知点．
（1）证明：是等腰三角形．
（2）已知点，且在上的投影向量为，求
18．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．
（1）求；
（2）若，求外接圆的面积；
（3）若，求面积的最大值．
19．在平行四边形中，与交于点.
（1）若，求；
（2）已知.
①若为的重心，求；
②若为线段上一动点，求的最小值.
参考答案
1．【答案】A
【详解】.
故选.
2．【答案】D
【详解】由向量，
因为，可得，即，解得.
故选D.
3．【答案】C
【详解】在中由余弦定理.
故选C
4．【答案】B
【详解】因为，共线，所以设，
又，是两个不共线的向量，所以，解得.
故选B
5．【答案】B
【详解】由题意可得，，
设，则，所以，
即，解得
故选B
6．【答案】A
【详解】因为平面上的三个力，，作用于一点，处于平衡状态，所以，
所以，且，，，
设与夹角为，
由，
所以.
故选A.
7．【答案】B
【详解】由题意得得且．
故选B.
8．【答案】C
【详解】设与的夹角为，根据向量数量积的定义可得.要使最大，只需要，也就是在方向的投影最大，如图所示，D为圆O上一动点(如等位置)，
过点作于点，则，所以.

已知，则. 最大即可.此时,且切于圆.
过点作于点，此时的最大值为（为圆的半径）.
将的最大值代入，可得的最大值为.
故选C.
9．【答案】ACD
【详解】对于A，我们把既有大小又有方向的量叫作向量，A正确，
对于B，单位向量是长度为1的向量，方向不确定，故不一定是相等向量，B错误，
对于C， 零向量与任意向量平行，C正确，
对于D，向量的模长是实数，故可以比较大小，D正确.
故选ACD
10．【答案】AC
【详解】如图，以A为原点建立平面直角坐标系，则，设，
则，因此
，当且仅当时取等号，
所以所求值可能为和1.
故选AC
11．【答案】AB
【详解】对于选项A：因为为锐角三角形，，
则，解得，
所以A的取值范围为，故A正确；
对于选项B：由正弦定理，
可得，
因为，则，可得，
所以a的取值范围为，故B正确；
对于选项C：由选项B可得
，
因为，则，
可得，，
所以ac的取值范围为，故C错误；
对于选项D：由选项B可知，
因为，则，
可得，，
所以的取值范围为，故D错误；
故选AB.
12．【答案】6
【详解】，
因为为三角形的内角，所以，
所以.
13．【答案】
【详解】由正六边形性质可知，为正三角形，且，
所以，，
所以.
14．【答案】5
【详解】在中，因为，
由余弦定理可得，
即，
在中，可得，
所以卧牛雕像的高度m.
15．【答案】（1），
（2）三点共线，证明见解析
【详解】（1）由题意得，
.
（2）A，B，C三点共线．
理由如下：因为，
，
所以，则．又与有一个公共点A，所以A，B，C三点共线.
16．【答案】（1），
（2）
【详解】（1）由题意得， ．
（2）由题意得，
又，，
所以.
17．【答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）因为，
所以，，，
所以，，，
又，
所以且与不垂直，
所以是等腰三角形．
（2）因为，
所以，
所以在上的投影向量为，
所以，所以.
18．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
即，即，
因为、，所以，，
则有，故.
（2）设外接圆的半径为，
由正弦定理可得，故，
因此外接圆的面积为.
（3）因为，
由余弦定理可得，
可得，
又由余弦定理，可得，即，
整理可得，
又，即，解得，当且仅当时，等号成立，
所以，所以面积的最大值为.
19．【答案】（1），
（2）①；②
【详解】（1）依题意，
设，因为，
所以，
因为、、三点共线，
设，
因为、不共线，所以，解得，
所以，又，所以；
（2）①因为，所以，
因为为的重心，所以
，
所以
.
②因为，
又为线段上一动点，
设，
所以，
，
所以
，所以当时取得最小值.

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