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河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024 2025学年高一下学期4月份半月考数学（历史方向）试题
一、单选题
1．已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（ ）
A． B． C． D．
2．已知角终边经过点，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．在中，若，，，则角的大小为（ ）
A． B． C． D．或
4．已知向量，，若，则（ ）
A．1 B．3 C．1或 D．1或3
5．将函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿着轴向右平移个单位，得到的函数的图象的一个对称轴可以是（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，满足，，向量在上的投影向量为，则（ ）
A．12 B．4 C． D．2
7．已知（）在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆的半径为4，弦，D为圆上一动点，则的最小值为（ ）
A．-12 B．-8 C．-6 D．-4
二、多选题
9．如图，在正方形中，为上一点，交于，且为的两个三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为锐角三角形
C．若，则为等腰三角形
D．若，，这样的三角形有两个，则a的取值范围为
11．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，是偶函数
D．方程在上有两个根，则
三、填空题
12．已知，则 ．
13．如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则 ．
14．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度CD约为 ．
四、解答题
15．已知平面向量，，，且，．
（1）若//，且，求的坐标；
（2）若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围．
16．已知函数
（1）用“五点法”作出在上的简图;
（2）写出的对称中心以及单调递增区间;
（3）求的最大值以及取得最大值时的集合.
17．已知中，，，分别为角，，的对边，且．
（1）求；
（2）若，是的中点，且，求的面积．
18．某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建模的方法来测量某人工圆形湖泊的直径，如图为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处A点处固定一旗帜，然后从A点沿逆时针方向绕着湖泊边缘走到B点处固定一旗帜，并在红外线角度测量仪的帮助下从B点逆时针走至C点处，此时测得∠ABC=120°，且测得BC=20米，AB=10米．
（1）求该人工圆形湖泊的直径；
（2）若D为人工圆形湖泊优弧上一动点（异于A，C两点），求四边形ABCD面积的取值范围．
19．已知函数的图象两邻对称轴之间的距离是，若将的图象先向右平移单位，再向上平移1个单位，所得函数为奇函数．
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意，恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若函数的图象在区间只有3个零点，求a的范围．
参考答案
1．【答案】D
【详解】由弧长为的弧所对的圆心角为，得扇形所在圆半径，
所以扇形面积为.
故选D
2．【答案】A
【详解】因为角终边经过点，且，
所以，所以，所以点的坐标为，
所以.
故选: A
3．【答案】D
【详解】由正弦定理得，即，
又因为，则，
所以或.
故选D
4．【答案】C
【详解】因为，，
所以.
又，所以，
解得或.
故选C.
5．【答案】D
【详解】将函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿着轴向右平移个单位，
可得，
令，解得，
当时，对称轴为.
故选D.
6．【答案】C
【详解】向量在上的投影向量为，结合题中数据，
可得，则.
故选C
7．【答案】C
【详解】当时，，而在上单调递增，
则，解得，
所以的取值范围是.
故选C
8．【答案】B
【详解】如图，作圆的直径，过作的延长线，垂足为.
而可以看作在上的投影向量与的数量积，
由圆的性质知，当与重合时，取得最小值.
因 ，可得，则，
所以的最小值为.
故选B.

9．【答案】BCD
【详解】易知，所以，因此A错误；
显然，可得B正确；
，所以C正确；
因为为上靠近的三等分点，所以，利用可得；
所以，即D正确.
故选BCD
10．【答案】AD
【详解】对于A，由正弦定理可得：，又三角形中“大边对大角”，则，故A正确；
对于B，由正弦定理边角互化可得：，
则C为钝角，即为钝角三角形，故B错误；
对于C，由正弦定理边角互化可得，
或，则为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，由余弦定理可得，
因这样的三角形有两个，则对应方程有两个正数解，则，
解得，故D正确.
故选AD
11．【答案】ACD
【详解】由图象知，最小正周期，得，
由的图象知，，由过点，得，
又，则，
当时，，
又的图象过点，则，解得，，
得，，又，故无解，即不符合题意；
当时，，
又的图象过点，则，即，，
于是，，而，则，
故，则A正确，B错误；
函数是偶函数，故C正确；
由图象知，函数在上递增，在上递减，
且，，，
则当方程在上有两个根时，，D正确．
故选ACD
12．【答案】
【详解】因为，所以．
13．【答案】/
【详解】．
因为N为线段AC上靠近A点的三等分点，所以．
又B，P，N三点共线，所以，．
14．【答案】54m
【详解】由题可得在直角中，，，所以，
在中，，，
所以，
所以由正弦定理可得，所以，
则在直角中，，
即圣·索菲亚教堂的高度约为54m.
15．【答案】（1）或；
（2）.
【详解】（1）设，，，，即；
又，，解得或
或．
（2）由题可知，，，
与的夹角是锐角，，解得，
又与不共线，，即，
实数的取值范围是．
16．【答案】（1）作图见解析；
（2）对称中心，增区间为；
（3）最大值为2, .
【详解】（1）由，得，
列表如下：
0
1 2 1 0 1
画出函数的图象，如图：
（2）由，得，
因此函数图象的对称中心为，
由，得，
所以函数的递增区间为．
（3）当，即时，，
所以函数的最大值为2，此时的集合为．
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）在中，由余弦定理得，
因为，所以．
因为，所以．
（2）
因为是的中点，所以，即，
故．
又，，所以．
因为，所以，可得，
则，．
所以的面积为．
18．【答案】（1）该人工圆形湖泊的直径为米
（2）四边形ABCD面积的取值范围为（平方米）
【详解】（1）在中，由余弦定理可得，
即，
故米．
设该人工圆形湖泊的半径为R，
故，
所以该人工圆形湖泊的直径为米．
（2）易得，
因为A，B，C，D四点共圆，所以，
设，，由余弦定理可得，
所以，
当且仅当时取等号，
故四边形ABCD面积的取值范围为（平方米）．
19．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）设最小正周期为T，因图象两邻对称轴之间的距离是，
则，得；的图象先向右平移单位，再向上平移1个单
位，可得，因为奇函数，
则，结合，可得.
则；
（2），则，注意到在上单调递增，在上单调递减，则.
.
因，则.
即注意到函数在上单调递增，
则，则实数m的取值范围是；
（3）.
因，则.令，
则或.
则使的值从小到大排列为：
因的图象在区间只有3个零点，则，
则.

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