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衡阳县四中2024-2025学年高一下学期期末复习模拟卷（二）
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数z满足，则( )
A.3 B. C.1 D.5
2.已知向量，满足，，，则向量的夹角为( )
A. B. C. D.
3.若，则的值为( )
A. B. C. D.
4.在中，已知，，，则的面积是( )
A. B. C.或 D.或
5.在三棱锥中，平面平面，和都是边长为的等边三角形，若M为三棱锥外接球上的动点，则点M到平面ABC距离的最大值为( )
A. B. C. D.
6.在三棱锥中，平面平面，，，，若点P、A、B、C均在球O的表面上，则球O的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
8.在高速公路建设中经常遇到开通穿山隧道的工程，如图所示，A，B，C为某山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为，，，现需要沿直线AC开通穿山隧道DE，已知，，，则隧道DE的长度为( )
A. B. C.10 D.
二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.为了得到函数的图象，只要将函数图象上( )
A.所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
B.所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
C.所有的点向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D.所有的点向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
10.在复平面内，下列说法正确的是( )
A.复数，则在复平面内对应的点位于第四象限
B.
C.若复数，满足，则
D.若，则的最大值为
11.如图，在正四棱锥中，，E，F，G分别是，，的中点，则( )
A.平面平面
B.
C.三棱锥的体积为
D.四棱锥的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.如图，在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为_____________.
13.已知是第四象限角且，，则的值为__________.
14.在中，点D在边上，是的内角A的角平分线，，，则的面积是___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
15.（13分）已知：，是同一平面内的两个向量，其中.
(1)若且与垂直，求与的夹角；
(2)若且与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
(3)，，，求在上的投影向量（用坐标表示）
16.（15分）已知复数，i为虚数单位.
(1)若，求a的值；
(2)若为实数，求a的值；
(3)若z是关于x的实系数方程的一个复数根，求a，b的值.
17.（15分）如图，四棱锥的底面为菱形，，，底面，E是线段的中点，G，H分别是线段上靠近P，C的三等分点.
(1)求证：平面平面；
(2)求点A到平面的距离.
18.（17分）已知，.
(1)求，的值；
(2)求的值；
(3)若，均为锐角，且，求的值.
19.（17分）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)D是边BC上的一点，且，AD平分，且，求的面积.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由，所以.故选：A.
2.答案：C
解析：因为，所以，又，，所以，得，所以，因为，所以，故选：C
3.答案：A
解析：由，可得，即，解得，所以.故选：A.
4.答案：C
解析：在中，，，，由余弦定理得：，即，解得或，当时，，即，
此时，的面积，当时，满足，即为直角三角形，的面积.则面积是或.故选：C
5.答案：D
解析：设BC的中点为T，的外心为，的外心为，过点作平面ABC的垂线，过点作平面PBC的垂线，两条垂线的交点为O，则点O即为三棱锥外接球的球心.连接OP.因为和都是边长为的正三角形，所以.因为平面平面，，平面ABC，平面平面，所以平面PBC.又平面PBC，所以.又，所以四边形是边长为1的正方形，所以外接球半径，所以点M到平面ABC的距离，即点M到平面ABC距离的最大值为.故选D.
6.答案：C
解析：因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，
因为平面，所以，因为，，、平面，所以平面，因为平面，所以，取线段的中点O，连接、，则，故为球O的直径，故球O的半径，所以球O的体积为.故选：C.
7.答案：B
解析：因为，，，所以，即，所以，解得或（舍），所以，故选：B.
8.答案：D
解析：因为，，，所以，，，，
，在中，由正弦定理得，，因为，，所以，，在中，由正弦定理得，所以，所以，故选：D
9.答案：AC
解析：由题意得，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到的图象，A正确；
将图象上所有的点向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，C正确.故选：AC.
10.答案：BD
解析：对于A，复数对于点位于第一象限，A错误；
对于B，
，B正确；
对于C，取，则，C错误；
对于D，，当时，取最大值，D正确.
故选：BD.
11.答案：ABD
解析：E，F分别是，的中点，，平面，平面，平面，同理可证平面，，平面，平面，平面平面，故A选项正确；
在正四棱锥中，易知平面，，平面，又平面，，故B选项正确；
记，连接，，，，G是的中点，，故C选项错误；
，O为四棱锥的外接球的球心，四棱锥的外接球的表面积为，故D选项正确.故选：ABD.
12.答案：
解析：解法1：因，所以，又，所以，因为点P，B，N三点共线，所以，解得：.
解法2：因为，设，所以，因为，所以，又，所以，所以，又，所以，解得，所以.
故答案为：.
13.答案：-2
解析：因为是第四象限角且，所以，，因为，所以，则.故答案为：-2.
14.答案：/
解析：因为是的内角A的角平分线，所以.设，则.
在中，由余弦定理可得，即，在中，由余弦定理可得，即.因为，所以，所以，解得，所以.在中，，，，则，从而，故的面积.故答案为：.
15.答案：(1)
(2)且
(3)
解析：(1)由，得，而，由与垂直，得，
则，，又，所以.
(2)由，，得，，
由与的夹角为锐角，得，且与不共线，因此，解得且，所以实数的取值范围是且.
(3)由，，，
得，即，则，，
又，则，
所以在上的投影向量为.
16.答案：(1)0
(2)1
(3)或
解析：(1)因为，所以.
(2)因为为实数，所以，解得.
(3)因为z是关于x的实系数方程的一个复数根，所以，
整理得，所以，解得或.
17.答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：(1)证明：如图，连接，交于点O，连接，
在中，E，G分别为，的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
同理可得，平面，
因为平面，，所以平面平面.
(2)记点A到平面，点H到平面的距离分别为，.
.
因为平面，，，所以.
在中，，，所以.
在中，，
则，同理可得.
在中，，，所以.
连接，因为，所以.
18.答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)由题意得得.
(2).
(3)由，得.
由，得，得，
所以.
由，得，
，
所以
.
19.答案：(1)；
(2)
解析：（1）由及正弦定理知：
所以
由，得，
由，所以，则，由，所以.
（2）如图，由，
且，AD平分，得，
令，则，又，且，
因为，
所以，
即，
化简得，所以，即，，
故的面积.

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