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江苏省南京市第二十九中学2024 2025学年高一下学期5月月考数学试题
一、单选题
1．若，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．欧拉公式由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数，虚数单位与三角函数，联系在一起，被誉为“数学的天桥”.根据以上内容，可知在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若是的边上的一点（不包含端点），且，则的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
6．已知，若向量与向量互相垂直，则（ ）
A． B． C．5 D．
7．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧.若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则根据测得的球体高度可计算出球体建筑物的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．定义有序实数对的“跟随函数”为.记有序数对的“跟随函数”为，若函数，，若直线与有且仅有四个不同的交点时，实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．在中，若，则
B．在中，若，，且该三角形有两解，则的取值范围为
C．若向量，，则在上的投影向量的坐标为
D．在中，若，则是等腰三角形
10．设复数在复平面内对应的点为，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，且，则
C．若，则的最大值为5
D．若，则点的集合所构成图形的面积为
11．如图（1），在长方形ABCD中，，，E，F分别为AB，CD的中点，连接AF，CE，分别交BD于点M，N，将沿直线BD折起到的位置，如图（2），则下列说法正确的是（ ）

A．在翻折的过程中，恒有平面PEN
B．若G为直线PN上一点，则点G到直线AM的最短距离为
C．当二面角的大小为时，
D．当平面平面ABD时，三棱锥外接球的表面积为
三、填空题
12．已知是关于的方程的一个根，则 .
13．已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 .
14．在锐角中，三内角的对边分别为，且，则的最小值为 ．
四、解答题
15．当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？
（1）为实数；
（2）为纯虚数；
（3）在复平面内对应的点位于第四象限.
16．在中，.
（1）求；
（2）若的面积为18，的平分线与边BC交于点D，求AD的长.
17．如图，在直三棱柱中，为的中点.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC的面积为.
（1）求；
（2）求证： 平面；
（3）求三棱锥的体积.
18．如图，为的中线的中点，过点的直线分别交两边于点，记，设.
（1）试用向量表示；
（2）判断是否是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由；
（3）设的面积为的面积为，求的取值范围.
19．已知，，分别为三个内角，，的对边，满足，.
（1）求；
（2）在中，若，是的中点，，设与相交于点.求的值；
（3）若为锐角三角形，且外接圆圆心为，求和面积之差的最大值.
参考答案
1．【答案】C
【详解】由可得，
故，故虚部为，
故选C
2．【答案】A
【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，则，解得，
则该圆锥的高，
故该圆锥的体积为，
故选A.
3．【答案】B
【详解】利用欧拉公式可知，
其在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限.
故选B
4．【答案】A
【详解】由，且，得，
则；故
由，得，
所以
∵，∴
∴
由，解得或
故“”是“”的充分不必要条件．
故选A.
5．【答案】C
【详解】因为是的边上的一点（不包含端点）且，
可得，，，
则，
当且仅当，即时，等号成立.
故选C
6．【答案】C
【详解】因为，，显然、、、均不为，
所以，即，所以，
所以，
因为向量与向量互相垂直，
所以
则，又，解得.
故选C
7．【答案】D
【详解】如图，
设球的半径为，，，
，
，
，即该球体建筑物的体积为.
故选D
8．【答案】B
【详解】根据题意可得，所以，
当时，，
当时，，
所以，
画出函数图象如下图所示：
易知当或时，取得最大值为2，当或时，；
当时，取得最小值为，
由图可知若直线与有且仅有四个不同的交点时，则.
即实数的取值范围为.
故选B
9．【答案】ABC
【详解】对于A，由大边对大角，则等价于，
再结合正弦定理可得，故A正确；
对于B，由正弦定理可得，则，
要使该三角形有两解，则，即，则，故B正确；
对于C，由题意可得，，
则在上的投影向量的坐标为，故C正确；
对于D，利用正弦定理将化简为，即，
因，则，则或，
即或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故D错误.
故选ABC.
10．【答案】BD
【详解】对于A，设，则，
而，当时必定不成立，故A错误；
对于B，设且，由
，
可得，解得，即，故B正确；
对于C，因，可设，
则，
则，
故当 时，取得最大值9，故的最大值为3，即C错误；
对于D，由可知，点的集合构成以点为圆心，半径为1和的两同心圆所夹的圆环，
其面积为，故D正确.
故选BD.
11．【答案】ABD
【详解】在长方形ABCD中，，，E，F分别为AB，CD的中点，
计算可得，，易知，
又，所以，则，，
所以，所以，同理可得．
对于A，由上述过程可知在翻折的过程中，，而，
因为，PN，平面PEN，所以平面PEN，故A正确；
对于B，与A同理可得平面AMF，因为平面AMF，所以，
由平面PEN，平面PEN，可得，
所以MN为AM，PN的公垂线段，所以点G到直线AM的最短距离为MN，
而，故B正确；
对于C，因为，二面角的大小为，
则，
所以
，
所以，故C错误；
对于D，因为和都是直角三角形，且BD为公共边，
所以BD的中点为其所在三角形的外心，同时也是三棱锥外接球的球心，
所以外接球半径，
所以三棱锥外接球的表面积，故D正确．
故选ABD.
12．【答案】
【详解】依题意，是关于的方程的另一个根，
因此，解得，
所以.
13．【答案】且
【详解】因，
由，解得，
若与的夹角为锐角，
则，且与不共线，
由，即，解得，
由与不共线，可得，
故实数的取值范围为且.
14．【答案】8
【详解】根据正弦定理由，可得，
所以，
即可得，
又因为，可得，
因此，
所以，
因为为锐角三角形，所以，即，
令，可知，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为8.
15．【答案】（1）或
（2）
（3）
【详解】（1）因为为实数，则，解得或.
（2）因为为纯虚数，则，解得.
（3）因为复数在复平面内对应的点为，
所以，由，得到或，
由，得到，所以
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）在中，可得，
所以，
且，
因为，可得，
所以，
又因为，所以，
因为，可得，解得，
又因为，可得，所以.
（2）由的面积为18，可得，所以，
因为，且，可得为锐角，所以，
又由，
所以，
由正弦定理，可得，即，
联立方程组，可得，
因为，可得，
又因为的平分线与边BC交于点D，设，
因为，所以，
即.
17．【答案】（1）
（2）见详解
（3）
【详解】（1）.
所以.
又由，可得，所以.
（2）连接，设，连接，
在直三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点，
又因为为的中点，则，因为平面平面，
因此平面.
（3）因为平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，
所以.
在中，为的中点，，
所以.
因此.
18．【答案】（1）
（2）是，
（3）.
【详解】（1）∵为的中点，为的中点，
∴.
（2）∵三点共线，∴，又，
∴由（1）知，
而不共线，所以，解得，
所以为定值.
（3），
由（2）知，即
则
令且，所以
因为当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
且，∴有最小值，最大值，
故.
19．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）由正弦定理得，则，即，
又，则，
则，
即.
（2）方法一：
以，为基底，设，，则，，；
所以；
，
；
则.
方法二：
以点为坐标原点，为轴，过垂直于的直线为轴，建立直角坐标系，如下图：
易知，，，，，
则，；
可得;
（3）设外接圆半径为，则，且，
即，如下图所示：
因为，
所以，
所以，
由，解得，
所以，
令，
则，
所以当时，取得最大值.

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