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山东省菏泽鲁西新区德能高级中学2024 2025学年高一下学期4月月考数学试卷
一、单选题
1．下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则（ ）
A．的虚部为 B．
C． D．
3．定义行列式，已知函数，若在区间上，始终存在两个不相等的实数，，满足，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知中，角所对的边分别为，设向量，若，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
5．平面向量与向量满足,且，,则向量与的夹角为
A． B． C． D．
6．已知，，满足，，，则点依次是的（ ）
A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心
C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心
7．已知，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．若，，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知a，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．z的虚部是 B．
C． D．z对应的点在第二象限
10．下列命题错误的有（ ）
A．若非零向量与平行，则四点共线
B．若满足且与同向，则
C．若，则的充要条件是
D．若，则存在唯一实数使得
11．中，角所对的边分别为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则面积的最大值为
C．不可能为锐角三角形
D．若为的外心，则
三、填空题
12．已知，与的夹角为，若向量与的夹角是钝角，则实数的取值范围 .
13．已知平面向量，若，则 .
14．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔 德 费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.已知，，分别是三个内角，，的对边，且，若点为的费马点，，则实数的取值范围为 .
四、解答题
15．如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满足．
（1）求的取值范围；
（2）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
16．已知复数为虚数单位.
（1）求和；
（2）若复数是关于的方程的一个根（其中），求的值.
17．三角形中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知 ，点D 是的中点，点E 在线段上，且，线段与线段交于点M.
（1）求角B的大小;
（2）若，求的值；
（3）若点G是三角形的重心，求 的最小值.
18．如图，在平面四边形中，．
（1）若，求；
（2）若，求四边形的面积．
19．在中，内角所对的边分别为，
（1）求角的值;
（2）若的面积，且，求；
（3）求 的值.
参考答案
1．B
2．C
3．C
4．A
5．C
6．C
7．D
8．A
9．BC
10．ABD
11．BD
12．
13．1
14．
15．（1）在直角三角形中，．
∴，，
，
∵，∴．
（2）
令，得或（舍）.
∴存在实数，使得．
16．（1）
（2）复数是关于的方程的一个根，
，
，
解得
17．（1）因为，
所以由正弦定理可得，整理得，
故，
因为，所以.
（2）如图，
由题意可得，
因为三点共线，故可设 ，
又因三点共线，故，
所以，故.
（3）因为
所以，
因为，所以，
于是，两边平方化简得：
，当且仅当时取等号，
所以，即.
所以的最小值为.
18．（1）连接，在中，，
且，，所以．
在中，由余弦定理得，
所以．
所以
（2）在中，由余弦定理得，
即，解得或（舍去），
所以四边形的面积为
19．（1）由，
结合正弦定理边化角可得：,
由两角和的正弦展开化简可得：，
又为三角形内角，，
所以，又为三角形内角，
所以 ，
（2）由，，
，
所以，
，
所以
（3）由，可得，
所以，
由（1），
所以

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