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第十章 二元一次方程组 单元测试
（本卷共三道大题，总分120分，测试时间120分钟）
姓名：___________班级：___________得分：___________
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若关于x，y的二元一次方程的一个解，则m的值为（ ）
A． B． C． D．3
3．用加减消元法解方程组，下列解法错误的是（ ）
A．，消去x B．，消去y
C．，消去x D．，消去y
4．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重八斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
5．《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在等式中，当时，；当时，；当时，；求a，b，c的值为（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
7．《算法统宗》里有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．李三公家的店有多少间客房？来了多少房客？请同学们列方程（组），求解得客房和房客分别为（ ）
A．8间，63人 B．9间，72人 C．10间，81人 D．10间，72人
8．利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按如图1所示的方式放置，再交换两木块的位置，按如图2所示的方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A． B． C． D．
9．已知关于、的二元一次方程组，给出下列结论：
①当这个方程组的解、的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论取什么实数，的值始终不变；
④若用表示，则．
其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③ B．①④ C．①③④ D．③④
10．我们知道自行车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶5000公里报废，后轮行驶3000公里报废，如果在自行车行驶若干公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（　　）公里．
A．4000 B．3750 C．4250 D．3250
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知，用含的代数式表示，则 ．
12．已知方程的一个解为，则 ．
13．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则 ．
14．如图，周长为的长方形中刚好铺满块完全相同的小长方形木块，则每块小长方形木块的面积为 ．
15．小明和小华去书店买书．小明买2本小说，3本漫画、1本杂志共需支付45元；小华买3本小说，5本漫画、1本杂志共需支付60元．试问每种书各买一本共需支付 元．
16．定义新运算：
在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着x轴正方向或负方向平移个单位长度，再沿着y轴正方向或负方向平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着x轴负方向平移2个单位长度，再沿着y轴正方向平移1个单位长度，记作；其加法运算法则为：，其中a，b，c，d为实数．若，则 ．
三、解答题（本题共8小题，第17-18小题每题6分，第19-20小题每题8分，第21-22小题每题10分，第23-24小题每题12分，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17．解方程组：
(1) (2)
18．解下列方程组：
(1)； (2)．
19．随着人们环保观念的不断加深，“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，选择自行车出行已是如今社会的一种潮流形式．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利1700元，销售2台甲型自行车和1台乙型自行车，可获利1000元，该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？
20．已知关于的方程组．
(1)请写出方程的所有正整数解．
(2)若方程组的解满足，求m的值．
(3)无论m取何值，方程总有同一个解，请求出这个解．
21．随着科技的飞速发展，无人机已经广泛应用于各个领域，其中包括农业生产．无人机喷洒农药相比传统人工喷洒具有安全、便捷、效率高等优势，因此受到了广大农户的欢迎．某公司目前有A，B两款无人机为农户提供农药喷洒服务，据了解，3架A款无人机和2架B款无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒，2架A款无人机和3架B款无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒．问A，B两款无人机每架每小时各可为多少亩土地进行农药喷洒？
22．阅读下面解方程组的过程，回答相应的问题．
解方程组：
，得，即．③
把③代入①，得，
解得．
把代入③，得．
所以原方程组的解为，
以上解方程组的方法叫做消常数项法．
请用上面的方法解方程组：；
23．某牛奶加工厂现有鲜奶，若在市场上直接销售，每吨利润为300元；制成酸奶销售，每吨利润为1200元；制成奶片销售，每吨利润为2000元．该工厂的生产能力为：制成酸奶每天可加工鲜奶，制成奶片每天可加工鲜奶．受人员限制，两种加工方式不能同时进行．受气温条件限制，这批牛奶必须在6天内全部加工完毕．因此，该加工厂设计了两种可行性方案：
方案一：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜牛奶．
方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，恰好6天完成．
你认为选择哪种方案能够获得的利润最多？为什么？
24．合理膳食对健康至关重要．现对某份快餐进行检测，得到以下信息：
①快餐的营养成分：碳水化合物、脂肪、蛋白质、矿物质，四种成分的总质量为．②蛋白质和脂肪含量共占，矿物质的含量是蛋白质含量的，蛋白质和碳水化合物含量共占．
根据上述信息回答下列问题：
(1)这份快餐中蛋白质和脂肪的质量共_______．
(2)分别求出这份快餐中脂肪、矿物质的质量．
(3)如果每餐膳食中主要营养成分“理想比”为碳水化合物：脂肪：蛋白质，同时三者含量为总质量的．试判断这份快餐中此三种成分所占百分比是否符合“理想比”．如果符合，直接写出这份快餐中碳水化合物、脂肪、蛋白质、矿物质的质量比；如果不符合，求出符合“理想比”的四种成分中脂肪、矿物质的质量（四种成分的总质量仍为）．
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第十章 二元一次方程组 单元测试
（本卷共三道大题，总分120分，测试时间120分钟）
姓名：___________班级：___________得分：___________
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此求解即可．
解：A．最高次是二次，不是二元一次方程，不符合题意，
B．不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意，
C．含有三个未知数，不是二元一次方程，不符合题意，
D．是二元一次方程，符合题意，
故选：D．
2．若关于x，y的二元一次方程的一个解，则m的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【解析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，代数式求值，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出m的值即可得到答案．
解：∵关于x，y的二元一次方程的一个解，
∴，
∴，
故选：D．
3．用加减消元法解方程组，下列解法错误的是（ ）
A．，消去x B．，消去y
C．，消去x D．，消去y
【答案】D
【解析】本题考查了用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解本题的关键．用加减消元法解二元一次方程组时，必须使同一未知数的系数相等或者互为相反数．如果系数相等，那么相减消元；如果系数互为相反数，那么相加消元．
解： A、，可消去，故该选项正确，不符合题意；
B、，可消去，故该选项正确，不符合题意；
C、，可消去，故该选项正确，不符合题意；
D、，不能消去，故该选项不正确，符合题意．
故选：D
4．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重八斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】此题考查二元一次方程组应用，设一只雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，根据题意列出方程组即可．
解：设一只雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，
根据题意得，．
故选：C．
5．《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意写出的正整数解，即可求解．
解：∵
∴
正整数解为：，；，；，共3个，
故选：C．
6．在等式中，当时，；当时，；当时，；求a，b，c的值为（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【解析】本题考查三元一次方程组的应用．根据题意，正确的列出三元一次方程组，是解题的关键．根据题意，列出方程组进行求解即可．
解：∵等式中，当时，；当时，；当时，；
∴，解得：；
故选：B．
7．《算法统宗》里有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．李三公家的店有多少间客房？来了多少房客？请同学们列方程（组），求解得客房和房客分别为（ ）
A．8间，63人 B．9间，72人 C．10间，81人 D．10间，72人
【答案】A
【解析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设有x间客房，有房客y人，根据一房七客多七客，一房九客一房空建立方程求解即可．
解：设有x间客房，有房客y人，
由题意得，，
解得，
∴有8间客房，有房客63人，
故选：A．
8．利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按如图1所示的方式放置，再交换两木块的位置，按如图2所示的方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】本题考查了运用列三元一次方程组解决实际问题的运用及方程组的解法的运用，设长方体长，宽，桌子的高为，由图象建立方程组求出其解就可以得出结论．
解：设长方体长，宽，桌子的高为，由题意得
，
两式相加得：，
解得，
即桌子的高为．
故选：C．
9．已知关于、的二元一次方程组，给出下列结论：
①当这个方程组的解、的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论取什么实数，的值始终不变；
④若用表示，则．
其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③ B．①④ C．①③④ D．③④
【答案】C
【解析】本题考查二元一次方程组的解法和应用，正确的解出方程组的解是解决问题的关键．根据方程组的解法可以得到，①令，即可求出a的值，验证即可；②由①得，而，将代入验证得出答案；③④根据方程组的解得到，即可判断．
解：，
得，解得，
把代入（1）得，解得，
∴原方程组的解为，
当x，y的值互为相反数时，则，
解得：，故①正确；
原方程组的解满足，
当时，，
而方程的解不满足，故②错误；
∵，
∴，即的值始终不变，故③正确；
∴，故④正确；
故选：C．
10．我们知道自行车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶5000公里报废，后轮行驶3000公里报废，如果在自行车行驶若干公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（　　）公里．
A．4000 B．3750 C．4250 D．3250
【答案】B
【解析】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，一对新轮胎交换位置前走了x公里，交换位置后走了y公里，根据交换前磨损总量和交换后的磨损总量相等，可列出方程组，解方程组即可．
解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，
则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为，
设一对新轮胎交换位置前走了x公里，交换位置后走了y公里，
由题意得：，
两式相加，得，
解得：，
故选：B．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知，用含的代数式表示，则 ．
【答案】
【解析】本题考查了代入法解二元一次方程组．将移到方程的右边即可．
解：，
移项得：，
故答案为：．
12．已知方程的一个解为，则 ．
【答案】
【解析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，代数式求值，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程可得，再根据，利用整体代入法求解即可．
解：∵的一个解为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则 ．
【答案】2
【解析】本题考查了二元一次方程组的解，解方程组，用表示，把代入中得到关于的方程是解题的关键．解方程组用表示，把代入中得到关于的方程，解方程即可．
解：，
得：，
把③代入②得：，
，
，
，
故答案为：2．
14．如图，周长为的长方形中刚好铺满块完全相同的小长方形木块，则每块小长方形木块的面积为 ．
【答案】
【解析】本题考查的知识点是二元一次方程组的实际应用，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的实际应用．设小长方形木块的长为，宽为，由题意列出二元一次方程组，再根据长方形面积长宽即可得解．
解：设小长方形木块的长为，宽为，
依题得：，
解得，
则每块小长方形木块的面积为．
故答案为：．
15．小明和小华去书店买书．小明买2本小说，3本漫画、1本杂志共需支付45元；小华买3本小说，5本漫画、1本杂志共需支付60元．试问每种书各买一本共需支付 元．
【答案】30
【解析】本题考查了三元一次方程组的应用． 设小说的单价为x元，漫画的单价为y元，杂志的单价为z元，根据“小明买2本小说，3本漫画、1本杂志共需支付45元；小华买3本小说，5本漫画、1本杂志共需支付60元”，可列出关于x，y，z的三元一次方程组，利用，即可求出结论．
解：设小说的单价为x元，漫画的单价为y元，杂志的单价为z元，
根据题意得：，
得：，
∴每种书各买一本共需支付30元．
故答案为：30．
16．定义新运算：
在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着x轴正方向或负方向平移个单位长度，再沿着y轴正方向或负方向平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着x轴负方向平移2个单位长度，再沿着y轴正方向平移1个单位长度，记作；其加法运算法则为：，其中a，b，c，d为实数．若，则 ．
【答案】
【解析】本题考查直角坐标系中点的平移，二元一次方程组，熟练理解题意并根据题意列式是解题的关键．根据题意列出二元一次方程组，求解即可．
解：∵，
∴根据加法运算法则，得，
解得：，
则，
故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，第17-18小题每题6分，第19-20小题每题8分，第21-22小题每题10分，第23-24小题每题12分，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17．解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减法和代入法进行消元求解．
（1）利用代入消元法解答本题即可；
（2）利用加减消元法解答本题即可．
解：（1）
将②代入①，得：
，
解得：，
将代入②，得：
，
解得：
原方程组的解为．
（2）
①×2，得：③，
②+③，得：，
解得：，
将代入②得：
，
解得：，
原方程组的解为．
18．解下列方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【解析】本题考查了解二元一次方程组，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
（1）利用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）利用代入消元法解二元一次方程组即可．
解：（1），
由①可得：，
将③代入②得，
解得：，
把代入③得，
∴原方程组的解为；
（2），
由①得，
将③代入②得，
解得，
把代入③得，
则方程组的解为．
19．随着人们环保观念的不断加深，“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，选择自行车出行已是如今社会的一种潮流形式．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利1700元，销售2台甲型自行车和1台乙型自行车，可获利1000元，该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？
【答案】销售一台甲型自行车的利润是300元，一台乙型自行车的利润是400元
【解析】本题主要考查二元一次方程组的应用，设该公司销售一台甲型自行车的利润是x元，一台乙型自行车的利润是y元，根据“销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利1700元，销售2台甲型自行车和1台乙型自行车，可获利1000元”列出二元一次方程组求解即可．
解：设该公司销售一台甲型自行车的利润是x元，一台乙型自行车的利润是y元，
由题意得
解得
答：该公司销售一台甲型自行车的利润是300元，一台乙型自行车的利润是400元．
20．已知关于的方程组．
(1)请写出方程的所有正整数解．
(2)若方程组的解满足，求m的值．
(3)无论m取何值，方程总有同一个解，请求出这个解．
【答案】(1)或或
(2)
(3)
【解析】本题考查二元一次方程组的解．
（1）根据二元一次方程解的定义以及整数解的意义进行计算即可；
（2）写成方程组求出x、y的值，再代入方程求出m的值即可；
（3）把方程变形为：，结合无论实数m取何值，方程总有同一个解，可得：，从而可得答案．
解：（1）∵，
∴，
∴方程的正整数解为或或；
（2），
∵，
∴，
将③代入①得，
将代入③得，
将代入②得，；
（3）∵，
∴，
∵无论实数m取何值，总有一个公共解，
∴，
解得
∴方程的同一个解为．
21．随着科技的飞速发展，无人机已经广泛应用于各个领域，其中包括农业生产．无人机喷洒农药相比传统人工喷洒具有安全、便捷、效率高等优势，因此受到了广大农户的欢迎．某公司目前有A，B两款无人机为农户提供农药喷洒服务，据了解，3架A款无人机和2架B款无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒，2架A款无人机和3架B款无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒．问A，B两款无人机每架每小时各可为多少亩土地进行农药喷洒？
【答案】A款无人机每架每小时可为100亩土地进行农药喷洒，B款无人机每架每小时可为80亩土地进行农药喷洒
【解析】本题主要考查二元一次方程组的应用，设A款无人机每架每小时可为x亩土地进行农药喷洒，B款无人机每架每小时可为y亩土地进行农药喷洒，根据“3架A款无人机和2架B款无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒，2架A款无人机和3架B款无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒”列出二元一次方程组求解即可．
解：设A款无人机每架每小时可为x亩土地进行农药喷洒，B款无人机每架每小时可为y亩土地进行农药喷洒，
由题意得，
解得，
答：A款无人机每架每小时可为100亩土地进行农药喷洒，B款无人机每架每小时可为80亩土地进行农药喷洒．
22．阅读下面解方程组的过程，回答相应的问题．
解方程组：
，得，即．③
把③代入①，得，
解得．
把代入③，得．
所以原方程组的解为，
以上解方程组的方法叫做消常数项法．
请用上面的方法解方程组：；
【答案】
【解析】本题考查的是二元一次方程组的解法，由可得，再进一步求解即可．
解：，
，得，即③，
把③代入①，得，
即．
把代入③，得．
则方程组的解是．
23．某牛奶加工厂现有鲜奶，若在市场上直接销售，每吨利润为300元；制成酸奶销售，每吨利润为1200元；制成奶片销售，每吨利润为2000元．该工厂的生产能力为：制成酸奶每天可加工鲜奶，制成奶片每天可加工鲜奶．受人员限制，两种加工方式不能同时进行．受气温条件限制，这批牛奶必须在6天内全部加工完毕．因此，该加工厂设计了两种可行性方案：
方案一：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜牛奶．
方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，恰好6天完成．
你认为选择哪种方案能够获得的利润最多？为什么？
【答案】方案二能够获得的利润最多，见解析
【解析】本题考查了二元一次方程的应用，方案一：根据制成奶片每天可加工2吨，求出6天加工的吨数，剩下的直接销售鲜牛奶，求出利润；方案二：设生产x天奶片，则生产y天酸奶，根据题意列出方程组，解方程组，进而求出利润，比较即可得出结论．
解：方案一：最多生产奶片，其余的鲜奶直接销售，
则其利润为（元）；
方案二：设生产x天奶片，则生产y天酸奶，
得，
解得，
利润为（元）．
因为，
所以方案二能够获得的利润最多．
24．合理膳食对健康至关重要．现对某份快餐进行检测，得到以下信息：
①快餐的营养成分：碳水化合物、脂肪、蛋白质、矿物质，四种成分的总质量为．②蛋白质和脂肪含量共占，矿物质的含量是蛋白质含量的，蛋白质和碳水化合物含量共占．
根据上述信息回答下列问题：
(1)这份快餐中蛋白质和脂肪的质量共_______．
(2)分别求出这份快餐中脂肪、矿物质的质量．
(3)如果每餐膳食中主要营养成分“理想比”为碳水化合物：脂肪：蛋白质，同时三者含量为总质量的．试判断这份快餐中此三种成分所占百分比是否符合“理想比”．如果符合，直接写出这份快餐中碳水化合物、脂肪、蛋白质、矿物质的质量比；如果不符合，求出符合“理想比”的四种成分中脂肪、矿物质的质量（四种成分的总质量仍为）．
【答案】(1)165
(2)这份快餐中脂肪的质量为，矿物质的质量为
(3)不符合，脂肪的质量为，矿物质的质量为
【解析】本题考查列二元一次方程组解决实际问题，其中通过设未知数，找到等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）根据质量总质量百分比，这份快餐总质量为，蛋白质和脂肪共占，根据公式即可计算出这份快餐中蛋白质和脂肪的质量．
（2）根据矿物质的含量是蛋白质质量，设出矿物质的质量和脂肪的质量，表示出蛋白质的质量，然后根据题意，列出二元一次方程组，通过解方程求出值．
（3）通过计算这份快餐中碳水化合物，脂肪，蛋白质的质量比，判断是否符合理想比；根据碳水化合物，脂肪，蛋白质的“理想比”，设出这份快餐中碳水化合物，脂肪，蛋白质的质量，然后根据这三种成分的总质量占 300 克总质量的列出方程，从而计算出三种成分的质量．
解：（1）这份快餐中蛋白质和脂肪的质量：（克）．
故答案为：165．
（2）设矿物质的质量为，脂肪的质量为，则蛋白质的质量为，
根据题意，得，
解得：，
这份快餐中脂肪的质量为，矿物质的质量为．
（3）这份快餐的碳水化合物，脂肪，蛋白质的质量分别为，
这三种成分的质量比为，不符合“理想比”．
设符合“理想比”的碳水化合物的质量为，脂肪的质量为，蛋白质的质量为．
根据题意，得．
解得：．
所以脂肪的质量为，矿物质的质量为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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