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第十章 二元一次方程组 单元测试
（本卷共三道大题，总分120分，测试时间120分钟）
姓名：___________班级：___________得分：___________
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
2．由方程可以得到用x表示y的式子为（ ）
A． B． C． D．
3．已知是关于的方程的一个解，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
4．已知和是二元一次方程的两个解，则的值分别为（ ）
A． B． C．， D．
5．小明去商店买文具，已知铅笔每支元，笔记本每本元，小明买了支铅笔和本笔记本，一共花了元，且笔记本的数量比铅笔数量的倍少本，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
6．若方程组，的解为，则被“■”遮盖的数为（ ）
A． B． C． D．
7．已知是方程组的解，则的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．无法确定
8．已知关于的方程组下列结论正确的有（　　）
①当时，该方程组的解也是方程的解；②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
9．如图1，小明家餐厅地面是用块大小一样的长方形瓷砖铺设的，细心的小明发现自己家的卫生间也是用相同的块瓷砖铺设的，如图2所示，此时恰好中间留了一个正方形的排水口，已知排水口的边长为，则一块瓷砖的长和宽分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
10．已知关于的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论取何值：的值不可能互为相反数；
④都为自然数的解有2对．
以上说法中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知关于x，y的方程是二元一次方程，则 ．
12．已知方程组，则的值为 ．
13．若与 互为相反数， 则 ．
14．清代康熙年间编辑的算书《御制数理精蕴》（卷九）中记载一题：“设如有甲乙二人入山采果共得三百枚，但云甲数加六百枚乙数加二百枚，则甲数比乙数多二倍，问甲乙各得几何？”其大意是：甲、乙二人入山采果共得三百枚，若甲的采果数加六百枚，乙的采果数加二百枚．则新得到的甲的采果数比乙的采果数多二倍，问甲、乙原来各采果多少枚？如果设甲原来采果数是枚．乙原来采果数是枚，则根据题意可列方程组为 ．
15．如图，从标注的圆圈开始，顺时针方向按的规律（表示前一个圆圈中的数字，，是常数）转换后得到下一个圆圈中的数，例如：从“”得，则标注“？”的圆圈中的数是 ．
16．对于两个整数和，定义一种新运算“”，若为偶数，则；若为奇数，则．若对整数和，有，且，则的值为 ．
三、解答题（本题共8小题，第17-18小题每题6分，第19-20小题每题8分，第21-22小题每题10分，第23-24小题每题12分，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17．解方程组：
(1) (2)
18．已知，且，求、、的值．
19．若关于的二元一次方程组的解与方程的一组解相同，求的值．
20．已知关于的二元一次方程组的解为．
(1)求的值；
(2)求的值．
21．文昌航天科普中心和铜鼓岭是文昌市的两大热门旅游景点．五一期间，小明的学校组织师生前往这两个景点研学．根据以下对话，求学校租用的大巴和中巴各有多少辆？
22．小江在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯按图示的方式整齐地叠放在一起．
(1)求一个纸杯的高度约为多少厘米？
(2)若小江要把这些纸杯摆高，那么最多可摆多少个？
23．有这样一个问题；甲、乙、丙三种商品：①购买甲3件、乙5件、丙7件共需要490元；②购买甲4件、乙7件、丙10件共需要690元；③购买甲2件、乙3件、丙1件共需要170元．求购买甲、乙、丙三种商品各一件需要多少元？
欢欢认为：可以根据题意列出三元一次方程组，分别求出甲、乙、丙商品的单价，再相加即可求得答案．
乐乐认为：这道题目去掉条件③，只用①②两个条件，仍能求得答案．
(1)请你根据欢欢的思路解决问题．
(2)你认为乐乐的说法正确吗？如果正确，请根据乐乐的思路完成解答过程；如果不正确，请说明理由．
24．在一个现代化的园艺中心，园艺师计划购买三种不同类型的常绿乔木的树苗来装饰他的花园：黑松、油松以及龙柏．黑松树苗每棵的市场价格为50元；油松树苗每棵的市场价格为30元；三棵龙柏树苗的市场价格合计为10元．园艺师决定用1000元来购买这三种树苗总共100棵，以丰富他的花园生态．
(1)设购买黑松树苗棵，油松树苗棵，请用含的代数式填表：
数量（棵） 购买总价（元）
黑松树苗
油松树苗
龙柏树苗
(2)在（1）的条件下，若购买油松树苗数量是黑松树苗数量的5倍少2棵，求此时购买黑松、油松以及龙柏树苗分别有多少棵？
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第十章 二元一次方程组 单元测试
（本卷共三道大题，总分120分，测试时间120分钟）
姓名：___________班级：___________得分：___________
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】本题考查了二元一次方程组的定义，理解二元一次方程组的定义是解题的关键．根据二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组即可求解．
解：A． 未知数出现在分母中，不是整式方程，即不是二元一次方程组，故该选项符合题意；
B． 是二元一次方程组，故该选项不符合题意；
C． 是二元一次方程组，故该选项不符合题意；
D． 是二元一次方程组，故该选项不符合题意；
故选：A．
2．由方程可以得到用x表示y的式子为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】本题主要考查了解二元一次方程，把x看做已知，求出y即可得到答案．
解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
3．已知是关于的方程的一个解，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】本题考查了二元一次方程的解的含义及解一元一次方程，本题属于基础题型．已知方程的一个解，直接将解代入到方程中，得到关于的一个新的方程，求出它的解，即可解决问题．
解：∵是关于的方程的一个解，
∴
∴
∴
∴
故选：A．
4．已知和是二元一次方程的两个解，则的值分别为（ ）
A． B． C．， D．
【答案】C
【解析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
把和代入得：，解二元一次方程即可求解．
解：把和代入得：，
解得：，
故选：C．
5．小明去商店买文具，已知铅笔每支元，笔记本每本元，小明买了支铅笔和本笔记本，一共花了元，且笔记本的数量比铅笔数量的倍少本，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】本题主要考查二元一次方程的运用，重点在于理解实际问题中的数量关系，将其转化为数学语言即方程组．
根据买铅笔和笔记本的总花费以及笔记本数量与铅笔数量的关系列出方程组．
解：买支铅笔花费元，买本笔记本花费元，一共花10元，
；
又∵笔记本数量比铅笔数量的倍少本，
∴，
∴方程组为，
故选：A．
6．若方程组，的解为，则被“■”遮盖的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解，熟记定义是解题关键．先将方程组的解代入第二个方程求出，从而可得方程组的解，再将方程组的解代入第一个方程计算即可得．
解：由题意，将代入方程得：，解得：，
则方程组的解为，
将代入方程得：，
即被遮盖的表示的数为，
故选：D．
7．已知是方程组的解，则的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．无法确定
【答案】A
【解析】此题考查了三元一次方程组的解，以及解三元一次方程组，方程组的解为能使方程组中每一个方程左右两边相等的未知数的值，本题的技巧性比较强，求不要求出，及的值，而是整体求出．由题意，可将，及的值代入方程组得到关于，，的方程组，将方程组中三个方程左右两边相加，变形后即可求出的值．
解：由题意将代入方程组得：
，
得：，
即，
∴．
故选：．
8．已知关于的方程组下列结论正确的有（　　）
①当时，该方程组的解也是方程的解；②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】A
【解析】本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的方法和二元一次方程的解的定义是正确解题的关键．直接利用二元一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案．
解：①当时，原方程组可整理得：
，
解得：，
把代入得：，
∴当时，该方程组的解也是方程的解，
故①正确，
②解方程组得：，
∵，
则，
解得：，
故②正确，
∵解方程组得：，
∴不论取什么实数，的值始终不变．
故③正确，
故选：A．
9．如图1，小明家餐厅地面是用块大小一样的长方形瓷砖铺设的，细心的小明发现自己家的卫生间也是用相同的块瓷砖铺设的，如图2所示，此时恰好中间留了一个正方形的排水口，已知排水口的边长为，则一块瓷砖的长和宽分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】本题考查了二元一次方程组的应用；观察图形，三个长方形的长的和正好等于其余的长方形的宽的和，两个长方形的宽的和比长方形的长多中间小正方形的边长，解方程组，即可求解．
解：设小长方形的长为，宽为，由图1可知，, 由图2可知，，
联立得
解得：，
故选：D．
10．已知关于的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论取何值：的值不可能互为相反数；
④都为自然数的解有2对．
以上说法中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④
【答案】A
【解析】本题考查了消元法解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，二元一次方程的自然数解等知识，理解消元法解二元一次方程组的根据是等式的性质，掌握以上知识是解题关键．
将代入原方程组得，解得，经检验得是的解，故①正确；方程组两方程相加得，根据，解得，故②正确；设，代入解得，故③错误解方程，解得：，当 时，，，当 时，，，当 时，，，因此存在三对自然数解，④错误；
解：将代入原方程组得，解得：，将其代入，解得：，
∴当时，方程组的解也是的解，①正确；
方程组，得：，当，解得：；故②正确；
设，代入解得，此时，，互为相反数，故③错误；
解方程，解得：，
当 时，，，
当 时，，，
当 时，，，
因此存在三对自然数解，④错误；
综上所述：①②正确，
故选：A；
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知关于x，y的方程是二元一次方程，则 ．
【答案】
【解析】此题主要考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，像这样的方程叫做二元一次方程可得且，即可求解．
解：关于，的方程是二元一次方程，
且，
，，
．
故答案为：．
12．已知方程组，则的值为 ．
【答案】4
【解析】本题考查解二元一次方程组，两个方程相加后，变形即可得出结果．
解：
，得：，
∴；
故答案为：4．
13．若与 互为相反数， 则 ．
【答案】
【解析】本题考查了二元一次方程组，相反数，非负数的性质，熟练掌握运算法则是解答关键．
利用相反数的性质和非负数的性质列出方程求出和，再进行计算求解．
解： 与 互为相反数，
,
，，
，
解得，
．
故答案为：．
14．清代康熙年间编辑的算书《御制数理精蕴》（卷九）中记载一题：“设如有甲乙二人入山采果共得三百枚，但云甲数加六百枚乙数加二百枚，则甲数比乙数多二倍，问甲乙各得几何？”其大意是：甲、乙二人入山采果共得三百枚，若甲的采果数加六百枚，乙的采果数加二百枚．则新得到的甲的采果数比乙的采果数多二倍，问甲、乙原来各采果多少枚？如果设甲原来采果数是枚．乙原来采果数是枚，则根据题意可列方程组为 ．
【答案】
【解析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组．根据甲、乙二人入山采果共得三百枚，列出一个方程，根据甲的采果数加六百枚，乙的采果数加二百枚，则新得到的甲的采果数比乙的采果数多二倍，列出另一个方程，组成方程组即可．
解：设甲原来采果数是枚，乙原来采果数是枚，由题意，得：
；
故答案为：．
15．如图，从标注的圆圈开始，顺时针方向按的规律（表示前一个圆圈中的数字，，是常数）转换后得到下一个圆圈中的数，例如：从“”得，则标注“？”的圆圈中的数是 ．
【答案】
【解析】本题考查了二元一次方程组的应用，新定义运算，根据题意得，解得，则顺时针方向按的规律转换，再把时代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：根据题意得，
解得，
∴顺时针方向按的规律转换后得到下一个圆圈中的数，
∴当时， ，
故标注“？”的圆圈中的数是，
故答案为：．
16．对于两个整数和，定义一种新运算“”，若为偶数，则；若为奇数，则．若对整数和，有，且，则的值为 ．
【答案】3
【解析】本题考查了列方程组及解二元一次方程组，解决本题的关键是要熟练掌握分类讨论解决问题，由题意进行讨论分别列出方程组，并进行求解，再验证即可．
解：分析第二个方程
1.若为偶数，
则, 化简得：
，
2.若为奇数，
则, 化简得：
，
处理第一个方程，
情况1：，
1.计算内层运算，
，
因此，。
2.计算外层运算，和为：
奇偶性分析：
为奇数（因为奇数)，为偶数，故和为偶数。
因此，外层运算结果为：
，
根据方程：
，整理得：，
3.联立方程1和方程3，
，
解得：。
情况2：，
1.计算内层运算，
，
因此，。
2.计算外层运算，和为：(必为奇数)，
因此，外层运算结果为：，
根据方程：
，
解得： (非整数，不符合题意)，
综上所述，的值为3．
三、解答题（本题共8小题，第17-18小题每题6分，第19-20小题每题8分，第21-22小题每题10分，第23-24小题每题12分，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17．解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】本题考查了二元一次方程组的解法，做题关键是掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组．
（1）利用代入法解二元一次方程组；
（2）利用加减法解二元一次方程组．
解：（1） ，
把②代入①得，
解得，
把代入②得，
方程组的解为；
（2），
①②得，
解得，
把代入①得，
，
方程组的解为．
18．已知，且，求、、的值．
【答案】，，
【解析】本题考查了解三元一次方程组．设，得出，，，进而根据，求得的值，即可求解．
解：设，
则，，，
，，，
，
，
解得：，
，，．
19．若关于的二元一次方程组的解与方程的一组解相同，求的值．
【答案】
【解析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，根据题意可得方程组，解方程组得到，再把代入方程中求出的值即可．
解：由题意得：
解得，
将代入，得：，
∴．
20．已知关于的二元一次方程组的解为．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)2028
【解析】本题考查根据二元一次方程组的解，求参数的值，代数式求值：
（1）把代入方程组，进而解关于的方程组即可；
（2）把的值代入，计算即可．
解：（1）把代入关于的二元一次方程组
，得，解得．
把代入①，得，解得，
．
（2）由（1），得，
．
的值为2028．
21．文昌航天科普中心和铜鼓岭是文昌市的两大热门旅游景点．五一期间，小明的学校组织师生前往这两个景点研学．根据以下对话，求学校租用的大巴和中巴各有多少辆？
【答案】学校租用大巴车5辆，中巴车5辆
【解析】本题考查了二元一次方程组的应用.根据题意列出方程组求解即可.
解：设学校租用大巴车辆，中巴车辆，
依题意得
解得
答：学校租用大巴车5辆，中巴车5辆．
22．小江在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯按图示的方式整齐地叠放在一起．
(1)求一个纸杯的高度约为多少厘米？
(2)若小江要把这些纸杯摆高，那么最多可摆多少个？
【答案】(1)一个纸杯的高度约为厘米
(2)最多可摆个
【解析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键．
（1）设杯身高，杯口高，由此列方程组求解即可；
（2）设最多可摆个，由此列式即可求解．
解：（1）设杯身高，杯口高，
∴，
解得，，
∴设杯身高，杯口高，
∴一个纸杯的高度约为厘米；
（2）设最多可摆个，
∴，
解得，，
∴最多可摆个．
23．有这样一个问题；甲、乙、丙三种商品：①购买甲3件、乙5件、丙7件共需要490元；②购买甲4件、乙7件、丙10件共需要690元；③购买甲2件、乙3件、丙1件共需要170元．求购买甲、乙、丙三种商品各一件需要多少元？
欢欢认为：可以根据题意列出三元一次方程组，分别求出甲、乙、丙商品的单价，再相加即可求得答案．
乐乐认为：这道题目去掉条件③，只用①②两个条件，仍能求得答案．
(1)请你根据欢欢的思路解决问题．
(2)你认为乐乐的说法正确吗？如果正确，请根据乐乐的思路完成解答过程；如果不正确，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)正确，理由见解析
【解析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，
对于（1），先设甲，乙，丙商品的单价，再根据总价相等列出三元一次方程组，求出解即可；
对于（2），仿照（1）列出两个方程，再根据整体的思想求出答案即可．
解：（1）设甲，乙，丙商品的单价为x元，y元，z元，根据题意，得
，
解得，
∴．
答：购买甲，乙，丙三种商品各一件共需90元；
（2）乐乐的说法正确．
设购买甲，乙商品的单价为x元，y元，根据题意，得
，
得．
答：购买甲，乙，丙三种商品各一件共需90元．
24．在一个现代化的园艺中心，园艺师计划购买三种不同类型的常绿乔木的树苗来装饰他的花园：黑松、油松以及龙柏．黑松树苗每棵的市场价格为50元；油松树苗每棵的市场价格为30元；三棵龙柏树苗的市场价格合计为10元．园艺师决定用1000元来购买这三种树苗总共100棵，以丰富他的花园生态．
(1)设购买黑松树苗棵，油松树苗棵，请用含的代数式填表：
数量（棵） 购买总价（元）
黑松树苗
油松树苗
龙柏树苗
(2)在（1）的条件下，若购买油松树苗数量是黑松树苗数量的5倍少2棵，求此时购买黑松、油松以及龙柏树苗分别有多少棵？
【答案】(1)补全表格见解析
(2)此时购买黑松、油松以及龙柏树苗分别有4棵，18棵，78棵
【解析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用，理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
（1）设购买黑松树苗棵，油松树苗棵，根据题意列代数式即可；
（2）设购买黑松树苗棵，油松树苗棵，由题意可得方程组，解方程即可解答．
解：（1）补全表格如下：
数量（棵） 购买总价（元）
黑松树苗
油松树苗
龙柏树苗
（2）由题意得，解得，
，
∴此时购买黑松、油松以及龙柏树苗分别有4棵，18棵，78棵．
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