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山东省淄博市沂源县第一中学2024 2025学年高一下学期阶段测试（一）数学试题
一、单选题
1．下列量中是向量的为（ ）
A．功 B．距离 C．拉力 D．质量
2．设为虚数单位，若，则（ ）
A． B．
C． D．
3．在复平面内，复数满足，则复数对应的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．设向量.若，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．已知，，，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
7．若的三边为a，b，c，有，则是的（ ）
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
8．在中，内角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数，以下说法正确的是（ ）
A．z的实部是3 B．
C． D．在复平面内对应的点在第一象限
10．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列各组条件中使得恰有一个解的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．若复数是纯虚数，则实数 ．
13．如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则 ．
14．如图，为了测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高 .
四、解答题
15．已知复数．
（1）若复数为纯虚数，求实数的值；
（2）若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围．
16．（1）已知复数是关于x的方程的一个根，求实数p，t的值．
（2）已知平面向量，，满足，求与的夹角的余弦值．
17．在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，如图，是上的动点，且始终等于，记.当为何值时，的面积取到最小值，并求出最小值.
18．如图，在斜坐标系中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题：
（1）若，，求的坐标；
（2）若，，且，求实数的值；
（3）若，，求向量的夹角的余弦值.
19．已知函数．
（1）求函数的解析式及对称中心；
（2）若，且，求的值．
（3）在锐角中，角、、分别为、、三边所对的角，若，求周长的取值范围．
参考答案
1．【答案】C
【详解】功，距离，质量只有大小没有方向,不是向量；拉力既有大小又有方向，是向量.
故选C.
2．【答案】D
【详解】，故，
故选D
3．【答案】A
【详解】因为，所以对应的点的坐标是，
故选A.
4．【答案】A
【详解】因为，
所以，
解得：，
故选A
5．【答案】A
【详解】设与的夹角为，
则向量在方向上的投影向量为
.
故选A.
6．【答案】A
【详解】在中，取为基底，
因为点分别为的中点，，
所以，
所以.
故选A.
7．【答案】B
【详解】在，上分别取点，，使得，，则．
以，为邻边作平行四边形，如图，

则四边形是菱形，且．
为的平分线． ，
，
即，
．
，，三点共线，即在的平分线上，
同理可得在其它两角的平分线上，
是的内心．
故选B．
8．【答案】C
【详解】因为，则由正弦定理得．
由余弦定理可得，即，
根据正弦定理得，
所以．
又为三角形内角，则，则．
故选C．
9．【答案】ABC
【详解】对A：复数的实部为3，故A正确；
对B：因为，故B正确；
对C：根据共轭复数的概念，，故C正确；
对D：因为在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故D错误.
故选ABC
10．【答案】BC
【详解】∵，∴与共线，∴A错误；∵，∴与不共线，∴B正确；
∵，∴与不共线，∴C正确；∵，∴与共线，∴D错误；
故选BC．
11．【答案】BCD
【详解】对于A，由正弦定理，即，解得，
而，所以有两个可能的值，这表明有两个解，故A不符合题意；
对于B，由正弦定理，即，解得，而，
所以，由正弦定理可知也唯一确定，故B符合题意；
对于C，由正弦定理，即，解得，而，
所以，由正弦定理可知也唯一确定，故C符合题意；
对于D，由正弦定理，即，解得，
而，所以有唯一解，也随之唯一确定，故D符合题意；
故选BCD.
12．【答案】2
【详解】 由题意得解得．
13．【答案】/
【详解】．
因为N为线段AC上靠近A点的三等分点，所以．
又B，P，N三点共线，所以，．
14．【答案】
【详解】在中，则，
且，
由正弦定理得，
所以，
在中，，所以.
15．【答案】（1）
（2）．
【详解】（1）因为复数为纯虚数，所以，
解的
解得，；
（2）因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以
解之得
得．
所以实数的取值范围为．
16．【答案】（1）或；（2）
【详解】（1）因为复数是关于x的方程的一个根，
所以，
整理得，
当时，代入可得，
当时，有，
解得，
综上：或 .
（2）由已知，化简可得，
即，所以 ，
∴， .
∴，
设与的夹角为，
则，
即与的夹角的余弦值为．
17．【答案】(1)
(2)，最小值为
【详解】（1）在中，由正弦定理可得，
所以，
所以，即得，
因为，所以，所以，
因为，所以；
（2）因为，由（1）知，所以，
在中，由正弦定理可得，所以，
在中，由正弦定理可得，所以，
所以，
因为，所以，
当时，取得最小值，此时，即，
所以当时，的面积取到最小值，最小值为.
18．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）若，，则，
则
故的坐标为.
（2）若，，且，
则，，
由已知得，.
所以
，解得.
（3）若，，
则，
，
所以，
又，
向量，的夹角的余弦值为.
19．【答案】（1）,对称中心为
（2）
（3）
【详解】（1）.
令，则，，
函数的对称中心为，.
（2）由可知，，
化简得，
，，，
.
（3）由可得， 即，
又，则，则，所以.
由正弦定理有
所以
，
因为为锐角三角形，所以，解得.
所以，则，
所以，则，
所以的周长的取值范围为.

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