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2025年河南省郑州市中考数学第三次模拟试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是( )
A. B. C. D.
2.据统计，截至年初引江济淮二期工程累计完成投资亿元，占二期工程总投资的其中亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫构件示意图，则榫的俯视图是( )
A. B.
C. D.
4.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.某班同学为了解所住小区居民的用水情况，随机问卷调查了户家庭的某月用水量，统计结果如表所示：
月用水量吨
户数
关于这户家庭该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的是( )
A. 平均数是吨 B. 中位数是吨 C. 众数是吨 D. 方差是
6.如图，，点在直线上，点，在直线上，已知，，则的度数是( )
A. B. C. D.
7.已知，为常数，且点在第二象限，则关于的一元二次方程的根的情况为( )
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
8.将盛有一半水的小圆柱形水杯放入没有水的大圆柱形水杯中，拿去接水时，让水先进入大圆柱形水杯，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致为图中的( )
A. B.
C. D. 卷Ⅱ非选择题
9.如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图所示，在矩形中，动点从点出发，沿的路径运动，当点到达点时停止运动过点作，交于点，设点运动的路程为，，已知关于的函数图象如图所示，当时，的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.要使分式有意义，则的取值范围是______．
12.不等式组的所有整数解的和是______．
13.在张相同的小纸条上分别写有“石头”“剪子”“布”将这张小纸条做成支签，放在不透明的盒子中搅匀甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”甲先从盒子中任意抽出支签不放回，乙再从余下的支签中任意抽出支签，则甲取胜的概率为______．
14.数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，无人机的飞行高度为米，无人机与旗杆的水平距离是米时，观测旗杆顶部的俯角为，则旗杆的高度约为 米．结果精确到米，参考数据：，
15.如图，正方形的边长为，点，分别在，上将该正方形沿折叠，使点落在边上的点处，连接，与折痕交于点．
若是的中点，则的长为______；
若为的中点，随着折痕位置的变化，的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：；
解不等式组：，并求出其最大整数解．
17.本小题分
年月日是第十个国家安全教育日，树立国家安全意识，自觉关心、维护国家安全，是每个公民的义务为了增强学生国家安全意识，某中学组织七、八年级各名学生举行了国家安全法知识竞赛，现分别从七、八两个年级参赛学生中抽取名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据整理、统计如下：
【数据收集】
七年级名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，，．
八年级名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，；，．
【数据分析】两组数据的平均数、中位数、众数如表所示：
年级 平均数 中位数 众数
七年级
八年级
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：
______；
若测试成绩不低于分可以被评定为优秀，请估计该学校七年级和八年级共有多少人被评定为优秀？
为了使样本数据更精确的反映总体情况每个年级又各随机抽调了人测试，若七年级新抽调的人成绩的平均数为分，则七年级名同学测试成绩的平均数为______；若八年级新抽调的人成绩均为整数且互不相同，中位数为，则八年级名同学测试成绩的中位数为______．
18.本小题分
如图，四边形是的内接四边形，是的直径，为的中点，过点作的切线交的延长线于点．
求证：；
若，求的半径．
19.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，．
求一次函数和反比例函数的表达式；
延长交反比例函数图象于点，点在轴正半轴上，，求的面积．
20.本小题分
学校决定按年级开展师生研学活动，该校八年级师生共人将参加研学活动，计划租用辆大客车，现有甲、乙两种型号的大客车，它们的满座载客量和租车费用如下表：
甲型号大客车 乙型号大客车
满座载客量人辆
租车费用元辆
若租用的辆大客车恰好能一次将八年级师生送到研学基地，求应分别租用甲、乙型号的大客车多少辆？
设租用甲型号大客车辆，租车总费用为元．
求出元与辆的函数关系式，并求出的取值范围；
当租用甲型号大客车多少辆时，租车的总费用最少，最少费用是多少？
21.本小题分
西安汉城湖景区巨大的汉武帝雕像斜跨长剑异常威猛、霸气，豪华的车架，高大的马匹、俯首的群臣，无不展示着一代雄主傲视天下的气派某天，小红和小明相约去测量该雕像的高度，如图，测量方案如下：首先，小红在处放置一平面镜，她从点沿后退，当退行米到处时，恰好在镜子中看到雕像顶端的像，此时测得小红眼睛到地面的距离为米；然后，小明在处竖立了一根高米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和雕像顶端在一条直线上，此时测得为米，为米，已知，，，点、、、、在一条直线上请根据以上所测数据，计算该雕像的高度平面镜的大小、厚度忽略不计
22.本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线是常数，与轴交于点．
如图，若抛物线经过，两点，
求抛物线的解析式；
设抛物线顶点为，求的面积；
点是抛物线对称轴上的动点，则的最小值为______；
若抛物线经过，，三点，对于，，都有，求的取值范围．
23.本小题分
综合实践课上，数学兴趣小组以三角形为研究对象进行了数学探究活动．
初步探究：
如图，在中，，以为斜边作等腰直角，其中分别过点，作于点，于点则与的数量关系为______．
拓展延伸：
如图，将图中的绕点沿顺时针方向旋转得到，射线与直线交于点．
当时，四边形的形状为______；
当时，请你写出，，的数量关系，并证明你的结论．
综合运用：
在旋转的过程中，若，当，时，请直接写出的长度．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：亿．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：该几何体的俯视图如图，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C正确，符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
5.【答案】
【解析】解：根据众数、平均数、中位数、方差的定义及求法逐项分析判断如下：
这组数据的平均数为：吨，故A不正确；
这组数据共有个，故把这组数据从小到大排列后，第个和第个数据的平均数为这组数据的中位数，第个数据为，第个数据为，故这组数据的中位数为：，故B不正确；
吨出现的次数最多，故这组数据的众数是，故C正确；
这组数据的方差为：，故D不正确；
故选：．
6.【答案】
【解析】解：，，
，
，
两直线平行，内错角相等，
即的度数为，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：在第二象限，
一元二次方程有两个不相等的实数根
故选：．
8.【答案】
【解析】解：根据函数图象可知：
用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，随的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度不再变化．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：由条件可知，，，
，
；
故选：．
10.【答案】
【解析】解：由图象得：，，
在矩形中，有，
当在上时，，
当时，，
当在上时，如下图所示：
，
，
，
，
∽，
，即，
，
当时，，
故选：．
11.【答案】
【解析】解：要使分式有意义，
，
．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：解得，
解得，
，
整数解有：，，，，，
所有整数解的和是．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：列表如下：
石头 剪子 布
石头 石头，剪子 石头，布
剪子 剪子，石头 剪子，布
布 布，石头 布，剪子
共有种等可能的结果，其中甲取胜的结果有：石头，剪子，剪子，布，布，石头，共种，
甲取胜的概率为．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：如图：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
则米，米，，，
在中，米，
米，
米，
旗杆的高度约为米，
故答案为：．
15.【答案】；
．
【解析】解：根据折叠的性质可得是的垂直平分线，
，
设，则．
是的中点，
，
在中，，
即，
解得，
即的长为，
故答案为：；
如图，取的中点，连接，，，由折叠的对称性可知．
为的中点，为直角三角形，
，
，
当且仅当，，三点共线时最小，最小值，
16.【答案】【解析】原式
；
，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
则不等式组的最大整数解为．
17.【解析】根据众数的定义，出现次数最多，则，
故答案为：；
根据样本估计总体可得：七年级和八年级共有，
若七年级新抽调的人成绩的平均数为分，则七年级名同学测试成绩的平均数为，
八年级新抽调的人成绩均为整数且互不相同，中位数为，
这人成绩从小到大排列第人的成绩为，人小于，人大于，
八年级名同学测试成绩的中位数为，将第人的成绩加入排序，则位于第，
将人成绩加入，排序后，位于第，即八年级名同学测试成绩的中位数为．
故答案为：，．
18.【解析】证明：为的切线，如图，连接，
．
为的中点，
．
，
．
，
．
，
；
解：如图，连接，过点作于点，
，，
．
在和中，
，
≌，
，．
为的中点，
，
．
在和中，
，
，，
≌，
．
，
，
，
的半径为．
19.【解析】由条件可将代入得：
，
反比例函数表达式为．
把代入反比例函数，
则，即．
把，代入一次函数，得：
．
解得．
一次函数表达式为．
与关于原点对称，
．
，
．
，且在轴正半轴，
．
过作轴于，过作轴于，
则，．
．
，．
．
20.【答案】解：设租用甲型号大客车辆，乙型号大客车辆，
根据题意，得，
解得，
答：租用甲型号大客车辆，乙型号大客车辆；
由题意得，，且，
解得，
，
；
，
随着增大而增大，
当时，取得最小值，此时租用甲型号大客车辆，最少费用为元，
答：当租用甲型号大客车辆时，租车总费用最少，最少费用为元．
21.【解析】解：，，
，
，
∽，
，即，
．
，，
，
，
∽，
，即，
，
答：该雕像的高度为米．
22.【答案】；；；
或．
【解析】解：抛物线经过，两点，
，解得，
抛物线的解析式为；
抛物线是常数，与轴交于点，
，
，
抛物线顶点，
设直线的解析式为，与轴的交点为，
解得，
直线的解析式为，
，
，
；
连接交抛物线的对称轴于，此时，的值最小，最小值为，
，，
即的最小值为，
故答案为：；
由条件可知：抛物线的对称轴是直线，
当时，此时抛物线开口向上，
当时，随着的增大而增大，
对于，，都有，
，
，
又，
；
当时，抛物线开口向下，对称轴为直线，
此时，
解得，
又，
；
综上，当或时，都有．
23.【解析】由题意可得：，
，，
，
，
，
，
故答案为：；
由题意可得：，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
四边形是矩形，
又，
，
四边形是正方形，
故答案为：正方形；
连接，
为等腰直角三角形，，
为的中点，
，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，，，
，
．
当，由可得：，
，，
；
如图，当时，连接，
同可得，
，
，，，
，
，
，，
，
的长为或．
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