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2024-2025 学年山西省朔州市怀仁大地学校高二下学期第四次月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过点 (2, 3)且与直线 + 2 9 = 0 平行的直线方程是( )
A. 2 + 8 = 0 B. 2 + 7 = 0 C. + 2 + 4 = 0 D. + 2 1 = 0
2.已知随机变量 服从正态分布 4, 2 ，且 ( ≤ 8) = 0.8，则 (0 < ≤ 4)等于( )
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5
3.若 2 1 = +320 20 ，则 的值为( )
A. 4 B. 4 或 5 C. 6 D. 4 或 6
4.(1 + )(2 + )(3 + )(4 + )的展开式中 2项的系数为( )
A. 10 B. 24 C. 35 D. 45
5
2 2
.已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)，两条渐近线的夹角为 60°，则双曲线的离心率为( )
A. 2 3 B. 3 C. 2 D. 2 33 3 或 2
6.一个袋子中装有除颜色外再无其它差别的 2 个红球和 3 个白球，从中不放回地抽取 2 个球，每次只取 1
个．则在第一次抽到红球的情况下，第二次也抽到红球的概率为( )
A. 2 B. 1 C. 1 15 5 4 D. 2
7.将 10 个诗歌朗诵比赛名额全部分给 6 个不同的班，每个班至少有 1 个名额，则不同的分配方案种数为( )
A. 56 B. 126 C. 210 D. 462
8.已知抛物线 : 2 = 8 的焦点为 ，点 在抛物线 上，点 在 轴上的投影为点 ，则 的最小值是
( )
A. 1 B. 1 C. 2 2 D. 2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 与 线性相关，且求得回归方程为 = + 3.5，变量 ， 的部分取值如表所示，则( )
30405060
25304045
A. 与 负相关 B. = 0.7
C. = 10 时， 的预测值为 10.5 D. (40,30)处的残差为 1.5
10.已知随机变量 满足 ( ) = 4， ( ) = 5，下列说法正确的是( )
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A. (1 ) = 5 B. (1 ) = 5 C. (1 ) = 5 D. (1 ) = 5
11.已知数列 的通项公式为 = 2 15, 为其前 项和，则下列说法正确的是( )
A. 是首项为 13，公差为 2 的等差数列
B. 是首项为 13，公差为 1 的等差数列
C. = 7 或 8 时， 取得最小值
D.若 > 0，则正整数 的最小值为 15
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 2
12 .已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的两条渐近线互相垂直，则 的离心率为 ．
13.一个袋子中有 ∈ N 个红球和 5 个白球，每次从袋子中随机摸出 2 个球．若“摸出的两个球颜色不
相同”发生的概率记为 ( )，则 ( )的最大值为 ．
14.直线 + + 2 = 0 被圆( + 2)2 + 2 = 6 所截得的弦长的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，现用简单随机抽样的方法从该地区调查了 500 位老年人，
结果如下：
男 女
需要 45 35
不需要 155 265
(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
(2)判断是否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．
( )2
附： 2 = ( + )( + )( + )( + )， = + + + ．
( 2 ≥ 0)
0.050 0.010 0.001
0
3.841 6.635 10.828
16.(本小题 15 分)
已知线段 的端点 的坐标为( 2,3)，端点 在圆 ：( 8)2 + ( 1)2 = 4 上运动．
(1)求线段 中点 的轨迹 的方程；
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(2)若一光线从点 射出，经 轴反射后，与轨迹 相切，求反射光线所在的直线方程．
17.(本小题 15 分)
如图，四棱锥 的底面是矩形， ⊥底面 ， = = 2, = 2 2， 为 的中点．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求平面 与平面 所成角的余弦值；
(3)求 到平面 的距离．
18.(本小题 17 分)
某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的材积量，随机选取了 10
棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：
样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
根部横截面积
0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材积量 0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9
由散点图知根部横截面积与材积量线性相关，并计算得10 =1
2 10
= 0.038, =1 = 0.2474．
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的回归直线方程；
(3)现测量了该林区 2500 棵这种树木的根部横截面积，并得到这些树木的根部横截面积总和为2500 =1 =
153m2.利用(2)中所求的回归直线方程，估计这些树木的总材积量．

附：回归直线方程的斜率 = =1 ，截距 = ．
=1
2 2

19.(本小题 17 分)
在数列 中， 2 = 2, 3 + 7 = 10，且 +1 = 2 1( ≥ 2)．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在数列 中，满足 2 ( 为正整数)的项有 项，求数列 的前 项和 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13.59
14.2
15.解：(1)调查的 500 名老年人中有 80 位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，
80
需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为500 × 100％ = 16％．
2
(2) 2 = 500×(45×265 35×155) 2112580×300×200×420 = 2016 ≈ 10.479，
因为 10.479 > 6.635，
所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．
0 2 =
16.解：(1)设 ( , )， ( 0, 0)，由题意得 2 0+3 ,
2 =
= 2 + 2
整理得 0 = 2 3，又点 在圆 上，则( 0 8)
2 + ( 1)20 = 4，
0
整理得：轨迹 的方程为( 3)2 + ( 2)2 = 1；
(2)由题意得 ( 2,3)关于 轴对称点 ′( 2, 3)，
由题意得过点 ′( 2, 3)的直线斜率存在，且设为 ，
所以直线 ： + 3 = ( + 2)，即 + 2 3 = 0
|3 2+2 3|
因为直线 与 相切，所以 = = 1，
2+1
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所以(5 5)2 = 2 + 1，整理得 25( 2 2 + 1) = 2 + 1，
所以 24 2 50 + 24 = 0，即(3 4)(4 3) = 0，
解得 = 4 33或 = 4，
4 3
所以反射光线 ： + 3 = 3 ( + 2)，即 4 3 1 = 0 或 + 3 = 4 ( + 2)，即 3 4 6 = 0．
17.解：(1)因为 = 2, = 2 2， 为 的中点，

所以 = = 2，
因为四棱锥 的底面是矩形，
所以∠ = ∠ = 2，
所以 ∽ ，所以∠ = ∠ ，
而∠ + ∠ = 2，即∠ + ∠ =

2 ⊥ ，
因为 ⊥底面 ， 底面 ，
所以 ⊥ ，而 ∩ = , , 平面 ，
所以 ⊥平面 ；
(2)因为 ⊥平面 ， , 平面 ，
所以 ⊥ , ⊥ ，
因为因为四棱锥 的底面是矩形，
所以 ⊥ ，建立如下图所示的空间直角坐标系，
(0,0,0), (0,0,2), 2 2, 0,0 , 2, 2,0 ，
因为 ⊥平面 ，
所以平面 的法向量为 = (0,0,2)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 2 2, 0, 2 ， = 2, 2,0 ，
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⊥ 2 2 2 = 0于是有
⊥
= 2, 1,2 ,
2 2 = 0


2×2 2
平面 与平面 所成角的余弦值为
= = 7；
2 72× 2 +12+22
(3)由(2)可知平面 的法向量为 = 2, 1,2 ，cos , = 27 7，
所以 到平面 的距离为 cos , = 2 × 27 7 =
4
7 7．
18. (1) 0.6 3.9解： 由题意得： = 10 = 0.06， = 10 = 0.39，
估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 0.06，平均一棵的材积量为 0.39；
10
(2) = =1 10 = 0.2474 10×0.06×0.39 = 0.013410 2 = 6.7， =1 10
2 0.038 10×0.062 0.002
= = 0.39 6.7 × 0.06 = 0.012，
故该林区这种树木的根部横截面积与材积量的回归直线方程为 = 6.7 0.012；
(3)因为2500 = 153m2 1，所以 2500 153 2 =1 2500 =1 = 2500m ，
153
将 = 2500代入 = 6.7 0.012 中，得到 = 0.39804，
则估计这些树木的总材积量为 0.39804 × 2500 = 995.1．
19.解：(1)因为 +1 = 2 1( ≥ 2)，所以 +1 = 1( ≥ 2)，
则 是等差数列.设 的公差为 ，
2 = 1 + = 2,由 + = 2 + 8 = 10,解得 1 = = 1，故 = ．3 7 1
(2)满足 2 ( 为正整数)的项有 项，所以 = 2 + 1．
= 21 + 22 + + 2 (1 + 2 + + ) +
= 2 1 2

(1+ )
2
1 2 2 + = 2
+1 + 2 2 2．
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