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苏州市2024-2025学年第二学期初二数学期末模拟卷（四）
一．选择题（共10小题）
1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（　　）
A．天气预报说明天的降水概率是95%，则明天不一定会下雨
B．“通常加热到100℃，水沸腾”是随机事件
C．抛掷一枚硬币100次，一定有50次正面向上
D．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是不可能事件
3．学生的心理健康问题越来越被关注，为了了解学生的心理健康状况，某中学从该校3000名学生中随机抽取600名学生进行问卷调查，下列说法正确的是（　　）
A．每一名学生的心理健康状况是个体； B．3000名学生是总体；
C．600名学生是总体的一个样本； D．600名学生是样本容量。
4．下列命题中正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形； B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形； D．对角线相等的菱形是正方形
5．如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
6．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0的一个根为0，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．m≠1
7．若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数y的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
第5题第8题第10题
8．如图所示，在下列给出的条件中，不能够判定△ABC∽△ACD的是（　　）
A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C．AC2＝AD AB D．
9．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点 A、C在坐标轴上，B在第一象限，反比例函数的图象经过OB中点E，与AB交于点F，将矩形沿直线EF翻折，点B恰好与点O重合．若矩形面积为，则点B坐标是（　　）
A．（） B．） C． D．
二．填空题（共8小题）
11．某校为了有效落实“双减”政策，切实减轻学生过重的作业负担，针对八年级500名学生每天做课后作业的总时间情况进行调查，从中随机抽取了50名学生进行每天做课后作业的时间情况的调查，该调查中的样本容量是 　 　 ．
12．若x＝2是关于x的方程mx2﹣nx＝6的解，则2024﹣2m+n的值为 　 　 ．
13．如图，点D、E分别为AB，AC的中点，BF平分∠ABC交DE于点F，若AB＝4，BC＝6，则EF＝　 　 ．
14．如图，正方形OABC的边长为12，A，C两点分别位于x轴，y轴上，点P在AB上，CP交QB于点Q，函数的图象经过点Q，若，则k的值为 　 　 ．
第13题第14题
15．已知一个菱形的边长为5，其中一条对角线长为8，则这个菱形的面积为　 　 ．
16．如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△ADE：S四边形BDEC＝　 　 ．
第16题第17题第18题
17．如图，正方形ABCD中，等腰直角△EBF绕着B点旋转，BF＝EF，∠BFE＝90°，则DE：AF＝　 　 ．
18．如图，O是正方形ABCD边BC的中点，在△EFG中，EF＝FG，∠EFG＝90°，O也是EF的中点，其中AB＝4，EF＝2，M，N分别为AE，DG的中点，将△EFG绕点O旋转的过程中，MN的取值范围为 　 　 ．
三．解答题（共11小题）
19．计算：．
20．先化简再求值：，其中．
21．解方程：
（2）x2﹣6x+7＝0
22．“安全教育平台”是中国教育学会为方便家长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应用软件．某校为了了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生做调查，把收集的数据分为以下4类情形： A．仅学生自己参与；B．家长和学生一起参与：C．仅家长自己参与；
D．家长和学生都未参与．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了 　 　 名学生；
（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算D类所对应扇形的圆心角的度数；
（3）根据抽样调查结果，估计该校5000名学生中“家长和学生都未参与”的人数．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，延长ED至F，使DF＝DE，连接AE，AF，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若BE＝1，EC＝3，求EF的长．
24．如图，点A（2m﹣1，m+2）、B（﹣3m，m﹣4）是反比例函数与一次函数．y＝ax+b图象的交点，连接AO、BO．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出当反比例函数的函数值大于一次函数的函数值时x的取值范围，并求出△AOB的面积．
25．我校图书馆储存了许多书．已知科学类读物和文学类读物各有1000本，但文学类读物需求量大，学校分两次进行加购文学类读物，每次增加百分率相同，最后文学类读物有1440本．
（1）求文学类读物每次增加的百分率是多少？
（2）这些书由我校七、八年级书香社团同时进行统计，其中七年级统计文学类读物，八年级统计科学类读物，七年级比八年级平均每小时多统计34本．由于时间紧急，七年级在完成任务的后，增派了一些人员，使工作效率比原来提高了，结果七、八年级同时完成任务，求八年级平均每小时的统计数量以及完成任务的时间．
26．如图，在菱形ABCD中，E是边BC上的点，连接DE，点C关于直线DE的对称点F恰好落在边AB上，连接DF，EF，延长FE交DC的延长线于点G．
（1）求证：△DFG∽△FAD；
（2）连接BD，若BD＝4，菱形ABCD的边长为．
①求菱形ABCD的面积；
②求CG的长．
27．关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣3）x+k+2＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取得最大整数值时，方程的两个实数根分别为x1，x2，求的值．
28．如图，四边形ABCD是矩形，点P为CD边上一动点（与点C，D不重合），连接AP，过点A作AQ⊥AP交CB的延长线于点Q，连接PQ，交AB于点E．设AB＝m，AD＝n．
（1）当m＝4，n＝2时．
①若点P是CD中点时，求BQ的长；
②若△AEP是等腰三角形，求PD的长；
（2）取PQ的中点M，连接AM，BM，BP，若在点P运动过程中存在某一位置，使得四边形AMBP是平行四边形，则m，n之间的数量关系为 　 　 ．
29．在平面直角坐标系xOy中，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点．
（1）如图，过点P的直线分别与x轴，y轴交于点A，B，且AB＝BP．
（i）求反比例函数的表达式；
（ii）点D为x轴正半轴上一点，点E在反比例函数图象上，若以点B，D，E，P为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标；
（2）过定点P的直线y＝mx﹣3m+2交反比例函数在第一象限的图象于另一点Q，交y轴于点M，连接OP，OQ，设△POQ的面积为S1，△MOP的面积为S2，若2S1＝S2，求m的值．
9．【解答】解：A．因为，所以A选项错误，不符合题意；
B．因为，所以B选项错误，不符合题意；
C．因为 ，所以C选项错误，不符合题意；
D．因为，所以D选项正确，符合题意；故选：D．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质以及二次根式的加减乘除运算法则，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
10．【解答】解：设点B（m，n），∵点E是OB的中点，∴E（，），
∵矩形面积为8，∴mn＝8，
∴kmn2，∴反比例函数解析式为y，
∵图形对折后点B与点O重合，∴EF是线段OB的垂直平分线，
∴F（，n），BF＝mOF，
在Rt△AOF中，OA2+AF2＝OF2，
∴n2+（）2＝（）2，解得：n＝2m＝4，
∴点B坐标为（4，2）．故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及矩形折叠，熟练掌握勾股定理计算n值是关键．
二．填空题（共8小题）
11．【解答】解：某校为了有效落实“双减”政策，切实减轻学生过重的作业负担，针对八年级500名学生每天做课后作业的总时间情况进行调查，从中随机抽取了50名学生进行每天做课后作业的时间情况的调查，该调查中的样本容量是50，故答案为：50．
【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
12．【解答】解：∵x＝2是关于x的方程mx2﹣nx＝6的解，∴4m﹣2n＝6，即2m﹣n＝3，
∴2024﹣2m+n＝2024﹣（2m﹣n）＝2024﹣3＝2021．故答案为：2021．
【点评】此题主要考查了一元一次方程解的定义，求代数式的值，理解一元一次方程解的定义，熟练掌握求代数式值的方法是解决问题的关键．
13．【解答】解：∵点D、E分别为AB，AC的中点，AB＝4，
∴DE是△ABC的中位线，BDAB＝2，∴DEBC＝3，DE∥BC，∴∠DFB＝∠FBC，
∵BF平分∠ABC，∴∠DFB＝∠FBC，∴∠DBF＝∠DFB，∴DF＝BD＝2，
∴EF＝DE﹣DF＝3﹣2＝1，故答案为：1．
【点评】本题主要考查三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
14．【解答】解：∵PB∥OC（四边形OABC为正方形），∴△PBQ∽△COQ，∴（）2，
∵正方形OABC的边长为12，∴PBOC＝4．
∴点C（0，12），点P（﹣12，8），直线OB的解析式为y＝﹣x①，
∴设直线CP的解析式为y＝ax+12，∵点P（﹣12，8）在直线CP上，
∴8＝﹣12a+12，解得：a，故直线CP的解析式为yx+12②．
联立①②得：，解得：，∴点Q的坐标为（﹣9，9）．
函数的图象经过点Q，∴k＝﹣9×9＝﹣81．故答案为：﹣81．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是求出点Q的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方结合给定条件求出点Q的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可．
15．【解答】解：如图，∵菱形ABCD中，BD＝8，AB＝5，∴AC⊥BD，OBBD＝4，
∴OA3，∴AC＝2OA＝6，∴这个菱形的面积为：AC BD6×8＝24．答案：24．
【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意菱形的面积等于其对角线积的一半．
16．【解答】解：∵BE、CD是中线，∴DE是三角形的中位线，∴△ADE∽△ABC，相似比为，
∴，∴S△ADE：S四边形BDEC，故答案为：．
【点评】本题考查中线的性质和相似三角形的性质，熟悉性质是解题关键．
第15题第17题
17．【解答】解：如图，连接BD，由题知，四边形ABCD为正方形，△EBF为等腰直角三角形
∵∠FBA+∠ABE＝∠FBE＝45°，∠ABE+∠EBD＝∠ABD＝45°，∴∠FBA＝∠EBD，
由题知，△EBF为等腰直角三角形，△ABD为等腰直角三角形，∴，
∴△AFB∽△EBD，∴，故答案为：．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，根据∠FBA＝∠EBD，，证△AFB∽△EBD是解题的关键．
18．【解答】如图1，当EG∥BC时，MN取得最大值，延长NM交AB于点H，延长GE交AB于点I，
∵∠AHM＝∠AIE，∠HAM＝∠IAE，∴△AHM∽△AIE，∵M分别为AE的中点，
∴HM∥IE，HMIE，∵IG＝BC＝AB＝4，∴EG2，
∴IE＝IG﹣EG＝4﹣2，∴HMIE＝2，∴MNmax＝HN﹣HM＝4﹣（2）＝2；
图1图2
如图2，当GE∥BC时，MN可取得最小值，将图形补全为矩形，记顶点为J，延长MN交AB于点K，交CD于点L，易证△AKM∽△AGE，△DLN∽△DJG，∵M，N分别为AE，DG的中点，
∴KMGE，NLGJ，∴GE2，GJ＝BC＝AB＝4，
∴KMGE，NLGJ＝2，∴MNmin＝KL﹣KM﹣NL＝42＝2，
∴MN的取值范围为2MN≤2，故答案为：2MN≤2．
【点评】此题考查的是正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
三．解答题（共11小题）
19．【解答】解：原式＝﹣1+4﹣2﹣（2）﹣1＝﹣1+4﹣2﹣212．
【点评】本题考查实数的运算，零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20．【解答】解：原式＝（） ，
当m2时，原式．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
21．【解答】解：（1）去分母，得4+x﹣5（x﹣1）＝2x，去括号，得4+x﹣5x+5＝2x，
移项、合并同类项，得﹣6x＝﹣9，化系数为1，得x，
检验：当x时，x﹣1≠0，则x是原方程的解，所以原方程的解为x；
（2）x2﹣6x+7＝0，x2﹣6x＝﹣7，x2﹣6x+9＝﹣7+9，（x﹣3）2＝2，x﹣3＝±，
（2）解：①如图，连接AC，BD相交于O，
∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOB＝90°，OBBD＝2，AC＝2OA，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得，OA3，
∴AC＝2OA＝6，∴S菱形ABCDAC BD6×4＝12；
②过点D作DH⊥AB于H，∴S菱形ABCD＝AB DHDH，
由①知，S菱形ABCD＝12，∴DH＝12，∴DH，
在Rt△DAH中，AH，
由对称知，DF＝CD，∵DH⊥AF，∴AF＝2AH，
由（1）知，△DFG∽△FAD，∴，∴，∴DG，∴CG＝DG﹣CD．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了菱形的性质，菱形的面积公式，对称的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，判断出△DFG∽△FAD是解本题的关键．
27．【解答】解：（1）由题知，因为关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣3）x+k+2＝0有实数根，
所以Δ＝[﹣（2k﹣3）]2﹣4k（k+2）≥0，解得，
又因为k≠0，所以k的取值范围是且k≠0．
（2）由（1）知，k的最大整数值为﹣1，则此时方程为﹣x2+5x+1＝0，即x2﹣5x﹣1＝0．
因为方程的两个实数根分别为x1，x2，所以，
则
＝1+5+（﹣1）+4＝9．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键．
28．【解答】解：（1）①如图1，∵点P为中点，∴DPDC＝2，∵AD＝2，∠D＝90°，
∴∠PAD＝45°，∴∠PAB＝45°，∵∠PAQ＝90°，∴∠BAQ＝45°，∵∠ABQ＝90°，∴BQ＝AB＝4；
图1图2
②如图2，当AE＝AP时，∴∠AEP＝∠APE，∵AB∥CD，∴∠AEP＝∠CPQ，∴∠APQ＝∠CPQ，
∵∠PAQ＝∠PCQ＝90°，PQ＝PQ，∴△APQ≌△CPQ（AAS），∴PA＝PC＝4﹣PD，
在Rt△ADP中，∵AD2+DP2＝AP2，即22+DP2＝（4﹣DP）2，∴DP；
当PA＝PE时，∵∠BAD＝∠PAQ＝90°，∴∠BAQ＝∠PAD，
∵∠ABQ＝∠ADP＝90°，∴△ABQ∽△ADP，∴AD：AB＝DP：BQ＝2：4＝1：2，∴BQ＝2DP，
∵PA＝PE，∴∠PAE＝∠PEA，∴∠APD＝∠QPC，∵∠D＝∠C＝90°，∴△ADP∽△QPC，
∴AD：DP＝QC：PC，即2：DP＝（2DP+2）：（4﹣DP），∴DP1（负值舍去）；
当EA＝EP时，∠EAP＝∠EPA，∵∠EAP+∠EAQ＝90°，∠EPA+∠EQA＝90°，∴∠EAQ＝∠EQA，
∴EA＝EQ，∴EP＝EQ，∵BE∥CP，∴QB＝BC，∴2DP＝2，∴DP＝1；
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