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2024-2025 学年天津市滨海新区大港第三中学高二下学期 5 月月考
数学试卷
一、单选题：本大题共 12 小题，共 60 分。
1.已知集合 = {1,2,3,4,5}, = {2,3,5}, = {2,5}，则( )
A. B. = {1,3,4} C. ∪ = {2,5} D. ∩ = {3}
2.下列函数中，在区间(0, + ∞)上单调递增的是
1
A. = 2 B. = 2 C. = log1 D. = 1
2
3.“ + > + ”是“ > 且 > ”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从 4 名男教师和 5 名女教师中，选取 3 人，组成创文明志愿
者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有
A. 140 种 B. 84 种 C. 70 种 D. 35 种
5 = 4 .函数 2+1的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.下列说法正确的是( )
A.若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 的值越接近于 1
B.根据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到 2 = 4.712.依据 = 0.05 的独立性检验( 0.05 = 3.841)，可
判断 与 无关
C.对具有线性相关关系的变量 ， ，其线性回归方程为 = 0.3 ，若样本点的中心为( , 2.8)，则实数
的值是 4．
D. 1已知随机变量 服从二项分布 ( , 3 )，若 (3 + 1) = 6，则 = 6．
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7.在 10 件产品中有 8 件一等品和 2 件二等品，如果不放回地依次抽取 2 件产品，则在第一次抽到一等品
条件下，第二次抽到一等品的概率是
A. 4 B. 28 7 55 45 C. 9 D. 9
8.已知定义在 上的函数 ( ) = 2| |，记 = (log0.53)， = (log25)， = (0)，则 ， ， 的大小关系为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
( 3) + 5, ≤ 1
9.已知函数 ( ) = 2 , > 1是( ∞, + ∞)上的减函数，则 的取值范围是( )
A. (0,3) B. (0,3] C. (0,2) D. (0,2]
10.已知 ( )在 上是奇函数，且 ( + 4) = ( )，当 ∈ (0,2)时， ( ) = 2 2，则 (7) =
A. 2 B. 2 C. 98 D. 98
11.若定义在 的奇函数 ( )在( ∞, 0)单调递减，且 (2) = 0，则满足 ( 1) ≥ 0 的 的取值范围是( )
A. [ 1,1] ∪ [3, + ∞) B. [ 3, 1] ∪ [0,1] C. [ 1,0] ∪ [1, + ∞) D. [ 1,0] ∪ [1,3]
2 + , 0,
12.已知函数 ( ) = ln , ( ) = ( ) ，若 ( )有 4 个零点，则 的取值范围为( )
, > 0,
A. 0, 2 B. 0, 1 2 1 2 C. , 1 D. 2 , 1
二、填空题：本大题共 8 小题，共 40 分。
13 2.已知幂函数 ( )的图象过点(2, 2 )，则 (9) =

14.若 2 1 展开式中的所有二项式系数和为 512，则 = ；该展开式中
9的系数为 (结果用数
字表示)．
15 log (2 ).已知函数 ( ) = 2 +3 ，则函数 ( )的定义域为 ．
2
16.273 + 4log43 lg 52 2lg2 =
17 2 = 5 = 1 1.设 ，且 + = 2，则 = ．
18.中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣
赏和收藏价值．现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷器厂生产，其中甲、乙、丙瓷器厂分别生产 400
0 0 0
件、400 件、200 件，而且甲、乙、丙瓷器厂的次品率依次为 5 0 , 4 0 , 4 0 .现从这批瓷器中任取一件，取到
次品的概率是 ，若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为 ．
19.已知随机变量 1, 2 ，且 ( ≤ 0) = ( ≥ )，若 + = ( > 0, > 0) 1 2，则 + 的最小值为 ．
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( ) = , ≥ 020.已知函数 2 + 1, < 0，若 = 0，则不等式 ( ) < 2 的解集为 ；若 ( )恰有两个零点，
则 的取值范围为 ．
三、解答题：本题共 4 小题，共 50 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.已知函数 ( ) = 3 3 + + 在 = 1 处取得极值 1．
(1)求实数 , 的值；
(2)求 ( )在区间[ 2,2]上的最大值和最小值．
(3)若方程 3 3 + + = 0( ∈ )有三个不同的实数根，求实数 的取值范围．
22.2021 年 11 月 7 日，在《英雄联盟》 11 的总决赛中，中国电子竞技俱乐部 完成逆转，斩获冠军，
掀起了新一波电子竞技在中国的热潮．为了调查 地 25 岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度是
否具有相关性，研究人员随机抽取了 500 人作出调查，所得数据统计如下表所示：
热爱电子竞技 对电子竞技无感
男性 200 50
女性 100
(1)判断是否有 99.9％的把握认为 地 25 岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度有关？
(2)若按照性别进行分层抽样的方法，从被调查的热爱电子竞技的年轻人中随机抽取 15 人，再从这 15 人中
任取 3 人，记抽到的男性人数为 ，求 的分布列以及数学期望 ( )．
2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
2 ≥ 0 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
23 1 2.甲、乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标的概率为2，乙每次击中目标的概率为3．
(1)记甲击中目标的次数为 ，求 的概率分布及数学期望；
(2)求乙至多击目标 2 次的概率；
(3)求甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率．
24.已知函数 ( ) = 1 ln ( ∈ )．
(1)若 = 2，求 ( ) 1在 e , e 上的最大值和最小值；
(2)若 = 1，当 > 1 时，证明： ln > ( )恒成立；
(3)若函数 ( )在 = 1 处的切线与直线 : = 1 垂直，且 ( ) + ln + > 1 ln 对任意的 ∈ (1, +
∞)恒成立，求 的最大整数值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.13
14.9； 84
15.( 3,2)
16.11
17. 10
18. 11 5250 ； 11
19.32 + 2
20. 1, ln2 ； , + ∞
21.解：(1) ( ) = 3 3 + + ，则 ′( ) = 9 2 + ，
因函数 ( ) = 3 3 + + 在 = 1 处取得极值 1，
(1) = 3 + + = 1 = 9
则 ，得 ,
′(1) = 9 + = 0 = 5
此时 ( ) = 3 3 9 + 5， ′( ) = 9 2 9，
′( ) > 0 得 < 1 或 > 1， ′( ) < 0 得 1 < < 1，
则 ( )在( ∞, 1)和(1, + ∞)上单调递增，在( 1,1)上单调递减，
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故 ( )在 = 1 处取得极小值，故 = 9, = 5．
(2)由(1)可知 ( )在( 2, 1)和(1,2)上单调递增，在( 1,1)上单调递减，而 ( 2) = 1, ( 1) =
11, (1) = 1, (2) = 11，
则 ( )在区间[ 2,2]上的最大值为 11 和最小值 1．
(3)令 ( ) = 3 3 9 + 5 ，则 ′( ) = ′( ) = 9 2 9，
则 = ( )与 = ( )单调性相同，
因方程 3 3 + + = 0( ∈ )有三个不同的实数根，
( 1) = 11 > 0
则 (1) = 1 < 0，得 1 < < 11，
则实数 的取值范围为( 1,11)．
22.解：(1)(1)完善表格如下所示：
热爱电子竞技 对电子竞技无感 总计
男性 200 50 250
女性 100 150 250
总计 300 200 500
2 = 500×(200×150 100×50)
2 250
则 250×250×300×200 = 3 ≈ 83.333 > 10.828，
有 99.9％的把握认为 地 25 岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度有关；
(2)依题意，这 15 人中男生有 10 人，女生有 5 人，则 的可能取值为 0，1，2，3，
3 5×4×3
故 ( = 0) = 5 3×2×1 2
3
= 15×14×13 =
15 91
，
3×2×1
2 1 5×4×10
( = 1) = 5 10 2×1 20
3
= 15×14×13 =
15 91
，
3×2×1
1 2 5×10×9 ( = 2) = 5 103 = 2×1
45
15×14×13
= 91，15 3×2×1
3 10×9×8
( = 3) = 10 = 3×2×1 24
3 15×14×13
=
15 91
，
3×2×1
故 的分布列为：
0 1 2 3
2 20 45 24
91 91 91 91
( ) = 0 × 2 + 1 × 20 + 2 × 45 24则 91 91 91 + 3 × 91 = 2．
23.解：(1) 的概率分布列为
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0 1 2 3
1 3 3 1
8 8 8 8
( ) = 0 × 1 38+ 1 × 8 + 2 ×
3 1
8 + 3 × 8 = 1.5 或
( ) = 3 × 12 = 1.5．
(2)乙至多击中目标 2 次的概率为 1 ( 2 )33 =
19
2．
(3)设甲恰好比乙多击中目标 2 次为事件 ，甲恰击中目标 2 次且乙恰击中目标 0 次为事件 1，甲恰击中目
标 3 次且乙恰击中目标 1 次为事件 2，则 = 1 + 2， 1、 2为互斥事件，
( ) = ( 1) + (
3 1 1 2 1
2) = 8 × 2 + 8 × 9 = 24．
24. (1) = 2 2 1解： 当 时， ( ) = 2 1 ln ， ′( ) = ( > 0)，
′( ) = 0 = 1 ∈ 0, 1 ′( ) < 0 ( ) 0, 1令 可得 2，故当 2 时 ， 在 2 单调递减；
当 ∈ 12 , + ∞
1
时 ′( ) > 0， ( )在 2 , + ∞ 单调递增；
( ) 1 1 1故 递减区间为 e , 2 ，递增区间为 2 , e ，
1
函数 ( )的极小值 2 = ln2 是唯一的极小值，无极大值．
又 1 = 2e e , e = 2e 2 >
1
e ，
∴ ( ) 1在 e , e 上的最大值是 2e 2，最小值是 ln2；
(2)当 = 1 时，令 ( ) = ln ( ) = ln + ln + 1，
′( ) = ln + 1 ( > 0)．
当 > 1 时， ′( ) > 0，则 ( )在(1, + ∞)上单调递增，
所以当 > 1 时， ( ) > (1) = 0，所以 ln > ( )恒成立．
(3)因为函数 ( )的图象在 = 1 处的切线与直线 : = 1 垂直，
所以 ′(1) = 0，即 1 = 0，解得 = 1
所以 ( ) = 1 ln ．
因为对 ∈ (1, + ∞)， ( ) + ln + ≥ 1 ln 恒成立，
所以对 ∈ (1, + ∞)， ln ( 1) + > 0 恒成立．
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设 ( ) = ln ( 1) + ，则 ′( ) = ln + 2 ，
令 ′( ) = 0，得 = e 2．
当e 2 > 1 即 > 2 时，
由 ′( ) < 0，得 1 < < e 2；由 ′( ) > 0，得 > e 2，
所以函数 ( )在区间 1, e 2 上单调递减，在区间 e 2, + ∞ 上单调递增，
所以 ( ) = e 2min = e 2，需 e 2 > 0，得 > e 2．
当 = 3 时，3 > e，成立；当 = 4 时，4 > e2，不成立；当 ≥ 5 时， > e 2都不成立，
所以实数 的最大整数值为 3．
当e 2 ≤ 1 即 ≤ 2 时， ∈ (1, + ∞)， ′( ) > 0， ( )在(1, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) > (1) = 1 > 0，符合题意．
综上，实数 的最大整数值为 3．
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