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2024-2025 学年四川省泸县第五中学高二下学期 5 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某学校初中部和高中部分别有 400 名和 200 名学生，为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分
层随机抽样方法从该校学生中抽取一个容量为 的样本，已知从高中部中抽取 40 名学生，则 为( )
A. 60 B. 80 C. 100 D. 120
2.若直线 1: + 1 = 0 与 2: (2 + ) + 1 = 0 互相垂直，则 =( )
A. 0 B. 3 C. 1 D. 2
3.若方程 2 + 2 2 + 2 + 2 2 + + 1 = 0 表示圆，则实数 的取值范围是( )
A. ( 1, + ∞) B. ( ∞, 1] C. ( ∞, 1) D. [ 1, + ∞)
2 2
4.已知直线 = ( ≠ 0) : 与椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)交于 ， 两点，椭圆 右焦点为 ，直线 与
的另外一个交点为 ，若 ⊥ ，若| | = 3| |，则 的离心率为( )
A. 1 5 2 2 22 B. 3 C. 2 D. 3
5.《九章算术》是世界上最古老的数学著作之一，书中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重
十斤，斩末一尺，重四斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长 5 尺，一头粗，一头细，
在粗的一端截下 1 尺，重 10 斤；在细的一端截下 1 尺，重 4 斤，问依次每一尺各重多少斤？”假设金杖
由粗到细是均匀变化的，则截去粗端 2 尺后，金杖剩余部分的重量为( )
A. 15.5 斤 B. 16.5 斤 C. 17.5 斤 D. 18.5 斤
6 1 .函数 ( ) = 2 ln 图象上一点 到直线 = 2的最短距离为( )
A. 2 B. 2 C. 5 D. 5 2 2ln22 5 5
7.十一中学高三(1)班的九名身高互不相同的挚友想拍一张毕业照，要求排成三行三列，每列后面的人身高
都高于前面的人，其中小伟与小豪两位好朋友在这九人中身高由低到高分别位居第 1 位与第 5 位，他们要
求要站在同行且不相邻，则不同的排列方式共有( )种．
A. 200 B. 180 C. 120 D. 100
8.已知 ( ) = ( 1)e + ，若 0 是 ( )的极小值点，则 的取值范围为( )
A. [0, + ∞) B. (1, + ∞) C. ( ∞,1) D. ( ∞,0)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等比数列 的前 项和 = 2 +1 + ( ∈ )，则( )
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A. = 1 B.等比数列 的公比为 2
11
C. 2 2 2 4 1 = 2 D. 1 + 2 + + 10 = 3
10.如图，已知正方体 1 1 1 1的棱长为 2，则下列说法正确的是( )
A. 1 ⊥ 1
B. 平面 1
C.直线 1与平面 所成的角为45
D.点 与平面 1的距离为
2 3
3
11.设抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，过点 作一直线交 于 1, 1 ， 2, 2 两点，过点 作 的准
线 的垂线，垂足为 ，则( )
A.以线段 为直径的圆与 有且只有一个公共点
B.若 = 2，则 1 2 = 4
C.若 = 2 3，直线 的斜率为 3 ，则| | = 15
D.若 cos∠ = 45，则直线 的斜率为±3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.圆 2 + 2 4 + 4 + 4 = 0 与圆 2 + 2 = 4 的公共弦长为 ．
1 813.在二项式 2 3 的展开式中常数项为 ．
14.“四进制”是一种以 4 为基数的计数系统，使用数字 0，1，2，3 来表示数值.四进制在数学和计算的世
界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响.四进制数转换为十进制数的
方法是通过将每一位上的数字乘以 4 的相应次方(从 0 开始)，然后将所有乘积相加.例如：四进制数 013 转
换为十进制数为 0 × 42 + 1 × 41 + 3 × 40 = 7；四进制数 0033 转换为十进制数为 0 × 43 + 0 × 42 + 3 × 41 +
3 × 40 = 15.现将所有由 0，1，2，3 组成的 4 位(如：1233，3201)四进制数转化为十进制数，在这些非零
十进制数中任取一个，则这个数能被 3 整除的概率为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
为响应“书香重庆”全民阅读活动，育才中学举办了“阅读之星”比赛活动．为了解比赛情况，现从高一
年级随机抽取了 300 名学生的比赛成绩样本，将样本数据按照[50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]分
成 5 组，制成了如图所示的样本频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中 的值；
(2)学校从比赛成绩落在区间[60,70)和[80,90)的学生中，按照分层抽样随机抽取了 5 名学生，现从已抽取的
5 名学生中随机抽取 2 名学生代表参与社区阅读推广活动．
①设抽取的 2 名学生中比赛成绩落在区间[80,90)的学生人数为 ，求随机变量 的分布列；
②抽取的 2 名学生中，求有一名学生的比赛成绩落在区间[80,90)的条件下，另一名学生的比赛成绩也落在
区间[80,90)内的概率．
16.(本小题 15 分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， = 1, , 分别为 , 1的中点，且 ⊥ 1．
(1)证明： ⊥平面 1 1．
(2)若 = 3 102，在线段 1上是否存在点 ，使平面 1与平面 夹角的余弦值为 34 ？若存在，确定
点 的位置；若不存在，请说明理由．
17.(本小题 15 分)
在科技飞速发展的今天，人工智能领域迎来革命性的突破，各种 的人工智能大模型拥有强大的解决问题
的能力.某机构分别用 , 两种人工智能大模型进行对比研究，检验这两种大模型在答题时哪种更可靠，从某
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知识领域随机选取 180 个问题进行分组回答，其中 人工智能大模型回答 100 个问题，有 91 个正确; 人工
智能大模型回答剩下的 80 个问题，有 65 个正确．
(1)完成下列 2 × 2 列联表，并根据小概率值 = 0.10 的独立性检验，能否认为人工智能大模型的选择与回
答正确有关
回答正确回答错误合计
人工智能大模型
人工智能大模型
合计
(2)将频率视为概率，用 人工智能大模型随机回答该知识领域的 ( ≥ 2)道题目，且各题回答正确与否，相
互之间没有影响.记其中恰有 2 个问题回答错误的概率为 ，求 取得最大值时 的值．
( )2
参考公式及参考数据： 2 = ( + )( + )( + )( + ) , = + + + ．
0.15 0.10 0.05 0.010
2.0722.7063.8416.635
18.(本小题 17 分)
已知抛物线 的顶点为坐标原点 ，焦点为(1,0)，过点 (2,0)的直线与 交于 、 两点，过点 作 轴的垂线
与直线 相交于点 ．
(1)求 的方程；
(2)证明：点 在定直线 上；
(3)延长 交(2)中的直线 于点 ，求四边形 面积 的最小值．
19.(本小题 17 分)
拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数 ( )在闭区间[ , ]上连续，在开区
间( , )内的导数为 ′( )，那么在区间( , )内至少存在一点 ，使得 ( ) ( ) = ′( )( )成立，其中
叫做 ( )在区间[ , ]上的“拉格朗日中值点”.已知函数 ( ) = e + e ( , ∈ )是奇函数， ( ) =
( ) + e 2.
(1)当 = 1 时，求 ( )在区间[ 1,1]上的“拉格朗日中值点”的个数；
(2)已知 ( ) = ( ) + ln ，若 ( )在定义域内有三个不同的极值点，求实数 的取值范围；
(3)若 ( )在区间[0,1]上有且只有一个“拉格朗日中值点”，求实数 的取值范围．
参考数据：ln e 1 ≈ 0.54．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 2
13.112
14.13
15.(1)由频率分布直方图可得(0.004 + + 0.032 + 0.03 + 0.014) × 10 = 1，
解得 = 0.02；
(2) [60,70) 5 × 0.02 0.03依题意 组抽取 0.02+0.03 = 2 人，[80,90)组抽取 5 × 0.02+0.03 = 3 人；
①依题意 的可能取值为 0，1，2，
2 1 1 2
则 ( = 0) = C22 =
1
10， ( = 1) =
C2C3 = 6 = 3， ( = 2) = C3 = 3，
C5 C
2
5 10 5 C
2
5 10
所以 的分布列为：
0 1 2
1 3 3
10 5 10
②记有一名学生的比赛成绩落在区间[80,90)为事件 ，两名学生的比赛成绩都落在区间[80,90)为事件 ，
C2 9 2
则 ( ) = 1 22 = 10， ( ) =
C3
2 =
3
10，C5 C5
3
( ) 1
所以 ( | ) = 10 ( ) = 9 = 3．
10
16.(1)证明：因为 = 1，
所以由题在 Rt 和 Rt 1中， = , = 1，故 Rt ≌ Rt 1，
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所以∠ 1 + ∠ 1 = ∠ + ∠
π
1 = 2，
所以可得 ⊥ 1，又 ⊥ 1， ∩ = ， 、 平面 ，
所以 1 ⊥平面 ，又 平面 ，所以 1 ⊥ ，
又由直三棱柱性质可得 1 ⊥ ， 1 ∩ 1 = 1, 1 、 1 平面 1 1，
所以 ⊥平面 1 1．
(2)由题意和(1)可以 为原点， , , 1为 , , 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
若 = ，则可设 = = 1 = 2，
则 (0,0,0), (0,2,0), (1,0,0), 1(0,2,2), (2,0,1), 1(0,0,2)，设 ( , 0,2 2 )(0 ≤ ≤ 1)，
则 = ( , 2,2 2 ), 1 = (0,0,2), = (1, 2,0)，
设平面 1的一个法向量为 = 1, 1, 1 ，平面 的一个法向量为 = 2, 2, 2 ，
⊥ , ⊥ 则 ,
⊥ 1 ⊥
· = 1 2 1 + (2 2 ) 1 = 0 · = 2 2 2 + (2 2 ) 则 , 2
= 0
,
· 1 = 2 1 = 0 · = 2 2 2 = 0
取 1 = 2, 2 = 2，则 = (2, , 0), = (2,1,1)，
cos , = · = 4+ 3 102所以 = 34 16
2 34 + 13 = 0，
4+ 2× 6
解得 = 13 18 (舍去)或 = 2，
= 3 102所以若 ，在线段 1上存在点 ，使平面 1与平面 夹角的余弦值为 34 ，此时 为线段 1
的中点．
17.(1)
回答正确 回答错误 合计
人工智能大模型 91 9 100
人工智能大模型 65 15 80
合计 156 24 180
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零假设 0：人工智能大模型的选择和回答正确无关，
2 = 180(91×15 65×9)
2
100×80×156×24 ≈ 3.656 > 2.706，
故根据小概率值 = 0.10 的 2独立性检验，推断 0不成立，
故可以判断人工智能大模型的选择和回答正确有关；
(2) 91由题意， 人工智能大模型回答题目正确的概率为100，
9 2 91 2
恰有 2 个问题回答错误的概率为 2 = C × 100 × 100 ，
C2
2 1
× 9 × 91 2 91 91
≥ 2, +1 = +1 100 100
C ×
= +1 100
( +1) 100
2 9 2 2C × × 91 C
2 = 1
< 1，
100 100
所以，当 ≥ 22 时， +1 < ，当 ≤ 21 时， +1 > ，
所以 22 > 23 > 24 > ， 22 > 21 > 20 > > 1，
所以 取得最大值时 = 22．
18.(1)由题意，设抛物线 的标准方程为 2 = 2 ，则2 = 1，可得 = 2，
故抛物线 的标准方程为 2 = 4 ．
(2)若直线 与 轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线 的方程为 = + 2，设点 1, 1 、 2, 2 ，
= + 2
联立 可得 2 2 = 4 4 8 = 0， = 16
2 + 32 > 0，
由韦达定理可得 1 + 2 = 4 ， 1 2 = 8，
由题意可知，直线 的方程为 = 2，
直线 4 的方程为 = 1 =
1 = ，
1 21 1
4
= 2 4
联立直线 、 的方程得 1 2 = 4 可得 = 2，所以， = 4 = 2． 1 1
因此，点 在定直线 : = 2 上.
(3)如下图所示：
易知点 2, 4 2 ，直线 的方程为 = 2 =
2 = ，
2 22 2
4
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= 2 8
联立直线 与直线 的方程可得 = 4 可得 = 1，故点 2, 1 ，则 ⊥ ， 2 2
且| | = 1 + 2，| | = 2 + 2，
2 2
所以， = 12 | | + | |
1 8 1 1 2 8
1 2 = 2 1 + 2 + 4 1 + =1 2 4
+ 4 + 4 1 + 1
1 2= 1 + 16
3
2 4 2 + 4 +
8 = 1 2 + 16 + 64 + 8 = 1 8
11 8
1 + ，
1 2 11
1
1 8 1
+ 8 8因为 1 = 1 + ≥ 2
8
1 = 4 2，
1 1 1
8
当且仅当 1 = 时，即当 1 =± 2 2时，等号成立，1
= 1 8
3 1 3
所以， 8 1 + ≥ 8 × 4 2 = 16 2．1
因此，四边形 面积 的最小值为 16 2．
19.(1)因为函数 ( ) = e + e 是奇函数，
所以 ( ) = ( )，即 e + e = e e ，
所以( + ) e + e = 0，所以 + = 0．
所以当 = 1 时， ( ) = e e ，所以 ′( ) = e + e ，
e e 1 e 1 e
由题意知即求方程e + e = 11 ( 1) = e e 在( 1,1)上的实根个数，

令 ( ) = e + e e e 1 ，则 ′( ) = e e = e +1 e 1e ，
所以当 1 < < 0 时， ′( ) < 0，所以 ( )单调递减；
当 0 < < 1 时， ′( ) > 0，所以 ( )单调递增．
所以 ( ) 1min = (0) = 2 + e e < 0，
又 ( 1) = 2e 1 > 0， (1) = 2e 1 > 0，
所以由函数零点存在定理知， 1 ∈ ( 1,0)， 2 ∈ (0,1)，使得 1 = 0， 2 = 0．
所以当 = 1 时， ( )在区间[ 1,1]上的“拉格朗日中值点”的个数为 2．

(2)由题知 ( ) = e 2，即 ( ) = e + ln ，其定义域为(0, + ∞)，

′( ) = ( )e 1 + 1 = e ( 1)则 2 2 ， > 0．
令 ′( ) = 0 = 1 ，得 或 = e ，
设 ( ) = ′ 1 e ( > 0)，则 ( ) = e ，
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当 ∈ (0,1)时， ′( ) > 0，所以 ( )单调递增；
当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) < 0，所以 ( )单调递减，
又当 → 0 时， ( ) → 0；当 →+∞时， ( ) → 0 1，且 (1) = e，
所以 ( )的大致图象如图所示．
因为 ( )在定义域内有三个不同的极值点，
1
所以 ( )与 = 有两个不同的交点，所以 0 < < e．
(3) (2) ′( ) = e 2 e 2 = e 1 由 得 ，由 1 0 = e 1，
令 ( ) = e 2 e 1 ，则 (0) = 2 + 1 e， (1) = 1， ′( ) = e 2．
①若 ≤ 0，则 ′( ) < 0，所以 ( )单调递减，
因为 ( )在区间[0,1]上有且只有一个“拉格朗日中值点”，
(0) > 0, 2 + 1 e > 0,
所以 (1) < 0,即 1 < 0,解得 ≤ 0．
②若 > 0，当 ≥ 2 时， ′( ) ≥ 0， ( )在[0,1]上单调递增，
(0) < 0, 2 + 1 e < 0
则 (1) > 0,即 1 > 0，解得 a ≥ 2；
当 0 < ≤ 2 ′e时， ( ) ≤ 0， ( )在[0,1]上单调递减，
(0) > 0 2 + 1 e > 0 2
则 (1) < 0，即 1 < 0，解得 0 < ≤ e．
2
当e < < 2 时，令
′( ) = 0 得 = ln 2 .当 0 ≤ < ln
2
时， ′ ( ) < 0，所以 ( )单调递减，
当 ln 2 < ≤ 1 时， ′ ( ) > 0，所以 ( )单调递增，
2 2 2
所以 ( )min = ln = 2 2ln e 1 = 3 2ln e + ，
令 ( ) = 3 2ln2 + 2ln e + 2e < < 2 ，则
′( ) = 2 e + 1，
令 ′( ) = 2 e + 1 = 0
2
，得 = e 1，
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2
所以当e < <
2 ′
e 1时， ( ) > 0， ( )单调递增，
2
当e 1 < < 2 时，
′( ) < 0， ( )单调递减，
2
则 ( )max = e 1 = 1 2ln e 1 < 0，即 ( )min < 0．
(0) ≤ 0 (0) > 0 2 1 2
由题意知 (1) > 0或 (1) ≤ 0，结合e < < 2，解得e 2 ≤ < 2 或e < ≤ 1．
综上，若 ( )在区间[0,1]上有且只有一个“拉格朗日中值点”，
则实数 的取值范围为( ∞,1] ∪ 1e 2 , + ∞ ．
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