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2024-2025学年山东省枣庄市市中区辅仁高级中学高二下学期 5月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知随机变量 服从正态分布 3, 22 ，且 ( > + 3) = ( < 2 )，则 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. ， ， ， ， 五人并排站成一排，如果 ， 两人必须相邻，那么不同的排法种数有( )
A. 24 种 B. 48 种 C. 72 种 D. 96 种
3.某校食堂为打造菜品，特举办菜品评选活动.已知评委团由家长代表，学生代表和教工代表组成，人数比
为 1: 2: 2，现由评委团对 1 号菜品和 2 号菜品进行投票(每人只能投一票且必须投一票).若投票结果显示，
2 1 1家长代表和学生代表中均有3的人投票给 号菜品，教工代表中有4的人投票给 2 号菜品，那么，从 1 号菜
品的投票人中任选 1 人，他是学生代表的概率为( )
A. 821 B.
13
21 C.
4
21 D.
3
7
4.已知函数 ( ) = 2 + cos π，则曲线 = ( )在 = 2处的切线方程为( )
A. = + π π2 B. = 3 2 C. = +
π π
2 + 1 D. = 3 2 + 1
2
5.已知函数 ( ) = 1 ( > 1)有最大值 8，则 的值为( )
A. 2 B. 4 C. 8 D. 12
6.甲 乙 丙 丁四名农业专家被派驻到 ， ， 三个村进行农业技术指导，若要求每个村至少派驻一名专家，
且每名专家只能被派驻到一个村，则在甲被派驻到 村的条件下，甲 乙被派驻到同一个村的概率为( )
A. 16 B.
1 2 5
2 C. 3 D. 6
7.盲盒中有大小相同的 3 个红球，2 个黑球，随机有放回的摸两次球，记 为摸到黑球的个数，随机无放回
的摸两次球，记 为摸到黑球的个数，则( )
A. ( ) < ( )， ( ) > ( ) B. ( ) = ( )， ( ) > ( )
C. ( ) < ( )， ( ) < ( ) D. ( ) = ( )， ( ) < ( )
8. ( )是定义在 R 上的偶函数， ′( )为其导函数且 ( 1) = 0，且 > 0 时， ′( ) ( ) < 0，则不等
式 ( ) > 0 的解集为( )
A. ( ∞, 1) ∪ (1, + ∞) B. ( ∞, 1) ∪ (0,1)
C. ( 1,0) ∪ (0,1) D. ( 1,0) ∪ (1, + ∞)
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.以下 的值，能使 1 2 的展开式恰有 2 项二项式系数最大的是( )
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
10.一批产品有 23％的次品，现从中随机抽样(不放回)，直到抽出 1 件次品为止，令 表示直到抽出一件次
品时已经抽出的产品个数，且 的概率分布由下列公式给出： ( ) = 0.23 0.77 1， = 1,2,3, ，则下列
说法正确的是( )
A. (1) = 0.23
B. (5)表示前四次抽到正品，第五次抽到次品的概率
C. (3)表示第三次抽到次品的概率
D. ( ≥ 2) = 0.77
11.关于函数 ( ) = ln ，则下面四个命题中正确的是( )
A.函数 ( )在(0, e)上单调递减 B.函数 ( )在(e, + ∞)上单调递增
C.函数 ( )没有最小值 D.函数 ( )的最小值为 e
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.将 5 名大学毕业生全部分配给 3 所不同的学校，不同的分配方式的种数为 ．
13.已知曲线 = e ，则曲线过原点的切线方程为 ．
14.一个不透明的袋子中装有 3 个黑球， 个白球( ∈ )，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意
9
取出 3 个球，已知取出 2 个黑球，1 个白球的概率为20，设 为取出白球的个数，则 ( ) = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2025 武汉马拉松于 3 月 23 日鸣枪开跑，4 万名跑者踏上一条串联历史与诗意、自然与繁华的赛道，感受
这座“每天不一样”的城市的蓬勃心跳．本次赛事设置全程马拉松、半程马拉松和 13 公里跑 3 个项目，社
会各界踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等 5 名大学生志愿者拟安排在三个项目进行志愿者活动，求
(1)若将这 5 人分配到三个比赛项目，每个比赛项目至少安排 1 人，有多少种不同的分配方案？
(2)若全程马拉松项目安排 3 人，其余两项各安排 1 人，且甲乙不能安排在同一项目，则有多少种不同的分
配方案？
16.(本小题 15 分)
某老师在课堂测验上设置了一种新的大题题型，这种大题题型由一个题干和五个与题干有关的判断题组成，
得分规则是：五道题中，全部正确判断则该大题得 5 分，有一道错误判断则该大题得 3 分，有两道错误判
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断则该大题得 1 分，有三道及以上错误判断则该大题不得分.假定随机判断时，每道题正确判断和错误判断
的概率相等．
(1)若考生所有题目都随机判断，求此时得分的分布列和数学期望;
(2)若考生能够正确判断其中两道题目，其余题目随机判断，求此时得分的数学期望．
17.(本小题 15 分)
甲和乙两个箱子中各装有 6 个球，其中甲箱中有 3 个红球、3 个白球，乙箱中有 ( ≥ 2)个红球，其余都
是白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为 1 或 2，从甲箱中随机摸出 2 个球；如果点数为 3，4，5，6，
2
从乙箱中随机摸出 2 个球.已知摸到白球的概率是3．
(1)求 ；
(2)记摸到红球的个数为随机变量 ，求 的分布列和均值．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ( 1)e ln ，其中 > 0．
(1)若曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线经过点(2,2)，求 的值；
(2)证明：函数 ( )存在极小值；
(3)记函数 ( )的最小值为 ( )，求 ( )的最大值．
19.(本小题 17 分)
为弘扬中华民族传统文化、增强民族自豪感，某学校开展中华古诗词背诵比赛，分为初赛和复赛.全校同学
都参加了初赛，并随机抽取一个班级进行初赛成绩统计，已知该班级共有 40 位学生，他们的初赛分数的频
率分布直方图如图所示：
(1)计算 的值，并估计该校这次初赛的平均分数．
(2)初赛分数达到 80 及以上的同学，称为优秀参赛选手，现从班级中随机选出 2 位同学，用 代表其中的优
秀参赛选手人数，求 的分布；
(3)为增加比赛的趣味性，复赛规则如下：复赛试题将从题库中随机抽取，每位参赛选手将有机会回答填空、
选择和简答各 1 题；每答对 1 题得 1 分，答错或不答得 0 分，每位选手可以自行选择回答问题的顺序，若
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答对一题可继续答下一题，直到 3 题全部答完；若答错或不答则比赛结束.例如：选手甲可自行按“简答—
填空—选择”顺序答题，甲答对第一题得 1 分，并继续回答第二题且答错得 0 分，结束比赛，总分为 1 分．
小杨作为优秀参赛选手，代表班级参加复赛.根据他初赛的答题正确频率，可估计他填空、选择和简答的答
题正确概率分别为：
题型 填空 选择 简答
80％ 90％ 80％
答题正确概率
若小杨每次答题的结果都相互独立，那么为尽量在比赛中获得较高分数，小杨应该采用怎样的答题顺序？
请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.243
13. = e
14.32或 1.5
15.解：(1)将 5 个人分成 3 组，且每组至少 1 人，有两种分法，
若为 1，1，3，则有C35 = 10 种分组方式，
再将分好的组进行分配，则不同的分配方案有共有10A33 = 60 种；
2 2
若为 1，2，2 C C，则有 5 3 = 15 种分组方式，
A22
再将分好的组进行分配，则不同的分配方案有共有 15A33 = 90 种，
所以由分类加法计数原理可知，共有 60 + 90 = 150 种不同的分配方案．
(2)先从 5 人中选 3 人安排到全程马拉松项目，有C35 = 10 种方法，
然后剩下 2 人安排到其余两个项目，每个项目安排 1 人，有A22 = 2 种，
则共有 10 × 2 = 20 种分配方案，
若甲乙两人在同一个项目，则甲乙只能安排到全程马拉松项目，则剩下的 3 人每个项目安排 1 人即可，有
A33 = 6 种分配方案，
最后共有 20 6 = 14 种分配方案．
16.解：(1)设得分为 ，
1
由题意知： 可能取值为 0,1,3,5，该考生每道题答对和答错的概率均为2，
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∴ ( = 5) = 1
5 1 1 1 1 4= 4 52 32； ( = 3) = 5 2 × 2 = 32；
2 3
( = 1) = 3 1 1 105 2 × 2 = 32； ( = 0) = 1
1 5 10 132 32 32 = 2；
∴ 的分布列为：
0 1 3 5
1 10 5 1
2 32 32 32
∴ ( ) = 0 × 1+ 1 × 10 5 1 152 32 + 3 × 32 + 5 × 32 = 16．
(2)设得分为 ，
1
由题意知： 可能取值为 0,1,3,5，该考生剩下 3 道题每道题答对和答错的概率均为2，
3 1 2
∴ ( = 5) = 1 = 1； ( = 3) = 2 1 1 32 8 3 2 × 2 = 8；
1 2 1 1 3 1 3 ( = 1) = 13 2 × =
1
2 8； ( = 0) = 2 = 8；
∴ 的分布列为：
0 1 3 5
1 3 3 1
8 8 8 8
∴ ( ) = 0 × 1 + 1 × 3+ 3 × 3 + 5 × 1 = 178 8 8 8 8．
17.解：(1)记 = ＂摸到白球＂， = ＂掷一枚质地均匀的骰子点数为 1 或 2＂，
则 = ＂摸出的 2 个球都是红球＂， = ＂朕一枚质地均匀的 子点数为 ，
( ) = 2 1 2 1
2 2
则 6 = 3 , = 3 , = 1 ( ) = 3， ∣ =
C3 = 12 5 , ∣ =
C = ( 1)
C 26 C6 30
根据全概率公式： = ( ) ∣ + ∣ 1 1 1 2 ( 1)，即3 = 3 5 + 3 30 ，
整理得：( 4)( + 3) = 0，解得 = 4
2 2
(2) 的所有可能取值为：0,1,2，由题可知 ( = 2) = 1 , ( = 0) = 1 C3 + 2 C2 5 13 3 C2 3 C2 =6 6 45
= 9，
1 1 1 1
( = 1) = 1 C3C3 + 2 C4C2 25 53 C26 3 2
= = ，
C6 45 9
故 的分布列为：
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0 1 2
1 5 1
9 9 3
( ) = 0 × 1+ 1 × 5 + 2 × 3 = 11 11从而 9 9 9 9，故 的均值为 9．
18.解：(1)求导，得 ′( ) = e 1 ，
所以 (1) = 0， ′(1) = e 1，
故曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线方程为 = e 1 ( 1)，
将点(2,2) 3代入切线方程，得 = e．
2
(2) e 1函数 ( )的定义域为(0, + ∞), ′( ) = ．
设函数 ( ) = 2e 1，则 ′( ) = 2 + 2 e ，
由 > 0，得 ′( ) > 0，
所以函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
1 1
因为 (0) = 1 < 0, = e 1 > 0，
1
所以存在唯一的 0 ∈ 0, ，使得 0 = 0，即
′ 0 = 0．
当 变化时， ′( )与 ( )的变化情况如下：
0, 0,0 0 +∞
′( )
0 +
( ) ↘ ↗
极小值
所以函数 ( )在 0, 0 上单调递减，在 0, + ∞ 上单调递增．
故函数 ( )存在极小值 0 ．
(3)由(2)知，函数 ( )有最小值 ( )min = 0 = ( )．
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由 ′ 0 = 0e 0
1 = 0 = 1 ，得0 e
．
0 20
所以 ( ) = 0 10 = 0 1 e 0 ln 0 = 2 ln 0． 0
( ) = 1 ln ′( ) = ( +2)( 1)设函数 2 ，则 3 ．
今 ′( ) = 0，得 = 2(舍)或 = 1．
当 变化时， ′( )与 ( )的变化情况如下：
(0,1) (1,
1 + ∞)
′( )
+ 0
( ) ↗ ↘
极大值
所以函数 ( )在(0,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单调递减．
所以当 = 1 时， ( )max = (1) = 0，即当 0 = 1 时， 0 max = 0．
结合 = 1 = 1 = 1 2，知当 0 时， e．e 0 0
1 ( +2)
由函数 = e 2 ( > 0)的导数
′ = e 3 < 0，知其在区间(0, + ∞)上单调递减，
= 1故当且仅当 e时 0 = 1．
所以当 = 1e时， ( )取得最大值 0．
19.解：(1)由频率分步直方图中小矩形的面积和为 1 可得：
20 × (0.005 + + 0.020 + 0.015) = 1，
解得 = 0.010；
该校这次初赛的平均分数为 20 × (30 × 0.005 + 50 × 0.010 + 70 × 0.020 + 90 × 0.015) = 68．
(2)初赛分数达到 80 及以上的同学为 0.015 × 20 × 40 = 12 人，非优秀为 28 人，
由题意可得 的可能取值为 0,1,2，
2 28×27
( = 0) = C282 = 2 =
63
C 40×3940 130
，
2
C1 1 ( = 1) = 28C12 28×12 56 28
C2
= 40×39 = = ，
40 130 652
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C2 12×11 ( = 2) = 12 = 2 = 11，
C2 40×3940 1302
所以 的分布列为：
0 1 2
63 28 11
130 65 130
(3)按照不同题目顺序分类讨论：
填空，选择，简答：
得零分的概率：1 0.8 = 0.2，
得一分的概率：0.8 × (1 0.9) = 0.08，
得两分的概率：0.8 × 0.9 × 0.2 = 0.144，
得三分的概率：0.8 × 0.9 × 0.8 = 0.576，
期望为 1 = 0 × 0.2 + 1 × 0.08 + 2 × 0.144 + 3 × 0.576 = 2.096 分；
因为填空和简答的正确率相同，所以“简答，选择，填空”的期望与之相同；
填空，简答，选择：
得零分的概率：1 0.8 = 0.2，
得一分的概率：0.8 × 0.2 = 0.16，
得两分的概率：0.8 × 0.8 × 0.1 = 0.064，
得三分的概率：0.8 × 0.8 × 0.9 = 0.576，
期望为 2 = 0 × 0.2 + 1 × 0.16 + 2 × 0.064 + 3 × 0.576 = 2.016 分；
因为填空和简答的正确率相同，所以“简答，填空，选择”的期望与之相同；
选择，填空，简答：
得零分的概率：1 0.9 = 0.1，
得一分的概率：0.9 × (1 0.8) = 0.18，
得两分的概率：0.9 × 0.8 × 0.2 = 0.144，
得三分的概率：0.9 × 0.8 × 0.8 = 0.576，
期望为 3 = 0 × 0.1 + 1 × 0.18 + 2 × 0.144 + 3 × 0.576 = 2.196 分；
因为填空和简答的正确率相同，所以“选择，简答，填空”的期望与之相同；
所以 3 > 1 > 2，
小杨应采用“选择，填空，简答”或“选择，简答，填空”的顺序．
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