资源简介

(共40张PPT)
学习目标
1. 体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，
提高运用代数方法解决问题的能力；
2. 能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反
比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数的图
象、性质的综合能力；(重点、难点)
3. 能够根据实际问题确定自变量的取值范围．
导入新课
三角形的面积 S 一定时，三角形底边长 y 是高 x
复习引入
的反比例函数 (答案不唯一)
函数解析式： ．
.
对于一个矩形，当它面积一定时，长 a 是宽 b 的反比例函数，其函数解析式可以写为 (S ＞ 0).
请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有
反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数解析式．
实例：
(S＞0)
讲授新课
反比例函数在实际生活中的应用
一
引例：某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积 S (m2) 的变化，人和木板对地面的压强 p (Pa) 将如何变化？
如果人和木板对湿地地面的压力合计 600 N，
那么：
(1) 用含 S 的代数式表示 p，p 是 S 的反比例
函数吗？为什么？
解：由 p＝ ，得 p＝
p 是 S 的反比例函数，因为给定一个 S 的值，就有唯一的一个 p 值和它相对应，这符合反比例函数的定义．
(2) 当木板面积为 0.2 m2 时，压强是多少？
解：当 S＝0.2 m2 时，p＝ ＝3000 (Pa) ．
答：当木板面积为 0.2 m2 时，压强是 3000 Pa．
(4) 在直角坐标系中，作出相应的函数图象．
解：图象如右.
(3) 如果要求压强不超过 6000 Pa，木板面积至少要多大？
解：当 p≤6000 Pa 时，S≥0.1 m2.
0.1
0.5
O
0.6
0.3
0.2
0.4
1000
3000
4000
2000
5000
6000
p/Pa
S/
例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为 104 m3 的圆柱形煤气储存室.
(1) 储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位：m)
有怎样的函数关系
解：根据圆柱体的体积公式，得
Sd =104，
∴ S 关于 d 的函数关系式为
典例精析
(2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队
施工时应该向下掘进多深
解得 d = 20.
答：如果把储存室的底面积定为 500 m ，施工时
应向地下掘进 20 m 深.
解：把 S = 500 代入 ，得
(3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相应地，储存室的底面积应改为多少 (结果保留小数点后两位)
解得 S≈666.67.
答：当储存室的深度为 15 m 时，底面积应改为 666.67 m .
解：根据题意，把 d =15 代入 ，得
第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方
程和求代数式的值的问题有何联系？
第 (2) 问实际上是已知函数 S 的值，求自变量
d 的取值，第 (3) 问则是与第 (2) 问相反．
想一想：
1. 矩形面积为 6，它的长 y 与宽 x 之间的函数关系用图象可表示为 ( )
B
练一练
A
x
y
O
B
x
y
O
C
x
y
O
D
x
y
O
2. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为 1 升 (1升＝1 dm3) 的圆锥形漏斗．
(1) 漏斗口的面积 S (单位：dm2)与漏斗的深 d (单位：dm) 有怎样的函数关系？
d
解：有反比例函数关系
(2) 如果漏斗的深为 10 cm，那么漏斗口的面积为多少 dm2？
解：10 cm = 1 dm，
把 d = 1 代入解析式，得 S = 3.
所以漏斗口的面积为 3 dm2.
(3) 如果漏斗口的面积为 60 cm2，那么漏斗的深为多少
解：60 cm2 = 0.6 dm2，把 S = 0.6 代入解析式，得
d = 5.
所以漏斗的深为 5 dm.
例2 码头工人每天往一艘轮船上装载 30 吨货物，装载完毕恰好用了 8 天时间.
(1) 轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度 v (单位：
吨/天) 与卸货天数 t 之间有怎样的函数关系
解：设轮船上的货物总量为 k 吨，根据已知条件得
k = 30×8 = 240，
所以 v 关于 t 的函数表达式为
(2) 由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5 天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨
从结果可以看出，如果全部货物恰好用 5 天卸载完，则平均每天卸载 48 吨. 而观察求得的反比例函数的解析式可知，t 越小，v 越大. 这样若货物不超过 5 天卸载完，则平均每天至少要卸载 48 吨.
解：把 t = 5 代入 ，得
练一练
某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把 1200 立方米的生活垃圾运走．
(1) 假如每天能运 x 立方米，所需时间为 y 天，写出 y
与 x 之间的函数关系式；
解：
(2) 若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的
拖拉机要用多少天才能运完？
解：x = 12×5 = 60，代入函数解析式得
答：若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的拖拉机要用 20 天才能运完.
(3) 在 (2) 的情况下，运了 8 天后，剩下的任务要在不超过 6 天的时间内完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？
解：运了 8 天后剩余的垃圾有 1200－8×60 = 720 (m3)，
剩下的任务要在不超过 6 天的时间完成，则每天
至少运 720÷6 =120 (m3)，
所以需要的拖拉机数量是：120÷12=10 (辆)，
即至少需要增加拖拉机 10－5 = 5 (辆).
例3 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80 千米/时的平均速度用 6 小时达到乙地.
(1) 甲、乙两地相距多少千米？
解：80×6 = 480 (千米)
答：甲、乙两地相距 480 千米.
(2) 当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t 有怎样的函数关系？
解：由题意得 vt = 480，
整理得 (t ＞0).
在物理中，我们知道，在阻力和阻力臂一定的情况下，动力臂越长就越省力，你能用反比例函数的知识对其进行解释吗？
想一想：
阿基米德有 500 牛顿的力量，阻力臂为 2000 千米，请你帮助阿基米德设计，该用多长的动力臂的杠杆才能把地球撬动？
假定地球重量的近似值为 6×1025 牛顿(即阻力)，
由已知得 F·l = 6×1025×2×106 = 1.2×1032，
当 F = 500 时，l = 2.4×1029，
解： 2000 千米 = 2×106 米，
练一练
变形得
故用 2.4×1029 米长的动力臂的杠杆才能把地球撬动.
例4 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110～220 Ω. 已知电压为 220 V，这个用电器的电路图如图所示.
(1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系
U
~
解：根据电学知识，当 U = 220 时，得
(2) 这个用电器功率的范围是多少
解：根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小.
把电阻的最小值 R = 110 代入求得的解析式，
得到功率的最大值
把电阻的最大值 R = 220 代入求得的解析式，
得到功率的最小值
因此用电器功率的范围为 220~440 W.
1. 在公式 中，当电压 U 一定时，电流 I
练一练
A.
I
R
B.
I
R
C.
I
R
D.
I
R
与电阻 R 之间的函数关系可用图象大致表示为 ( )
D
2. 在某一电路中，保持电压不变，电流 I (安培) 和电阻 R (欧姆) 成反比例，当电阻 R＝5 欧姆时，电流 I＝2 安培．
(1) 求 I 与 R 之间的函数关系式；
(2) 当电流 I＝0.5 时，求电阻 R 的值．
解：(1) 设 ∵ 当电阻 R = 5 欧姆时，电流 I = 2 安培，∴ U =10． ∴ I 与 R 之间的函数关系式为
(2) 当 I = 0.5 安培时， ，解得 R = 20 (欧姆)．
当堂练习
1. 面积为 2 的直角三角形一直角边为 x，另一直角边长为 y，则 y 与 x 的变化规律用图象可大致表示为 ( )
A.
x
y
1
O
2
x
y
4
O
4
B.
x
y
1
O
4
C.
x
y
1
O
4
1
4
D.
C
2. (1) 体积为 20 cm3 的面团做成拉面，面条的总长度 y
(单位：cm) 与面条粗细 (横截面积) S (单位：cm2)
的函数关系为 .
(2) 某家面馆的师傅手艺精湛，他拉的面条粗 1 mm2，
则面条的总长度是 cm.
2000
3. A、B 两城市相距 720 千米，一列火车从 A 城去 B 城.
(1) 火车的速度 v (千米/时) 和行驶的时间 t (时)
之间的函数关系是________．
(2) 若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求
在 3 小时内回到 A 城，则返回的速度不能低
于____________．
240 千米/时
4. 学校锅炉旁建有一个储煤库，开学时购进一批煤，现在知道：按每天用煤 0.6 吨计算，一学期 (按 150 天计算) 刚好用完. 若每天的耗煤量为 x 吨，那么这批煤能维持 y 天.
(1) 则 y 与 x 之间有怎样的函数关系？
解：煤的总量为：0.6×150 = 90 (吨)，
根据题意有
(x＞0).
(2) 画出函数的图象；
解：如图所示.
30
90
1
x
y
O
(3) 若每天节约 0.1 吨，则这批煤能维持多少天？
解：∵ 每天节约 0.1 吨煤，
∴ 每天的用煤量为 0.6－0.1=0.5 (吨)，
∴ 这批煤能维持 180 天．
5. 王强家离工作单位的距离为 3600 米，他每天骑自行车上班时的速度为 v 米/分，所需时间为 t 分钟．
(1) 速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？
解：(1)
(2) 若王强到单位用 15 分钟，那么他骑车的平均速度是多少？
(2)把 t = 15 代入函数的解析式，得：
答：他骑车的平均速度是 240 米/分.
(3) 如果王强骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少
需要几分钟到达单位
解：把 v = 300 代入函数解析式得：
解得：t = 12．
答：他至少需要 12 分钟到达单位．
6. 蓄电池的电压为定值．使用此电源时，电流 I (A) 是电阻 R (Ω) 的反比例函数，其图象如图所示．
(1) 求这个反比例函数的表达式；
解：设 ，把 M (4，9) 代入得
k =4×9=36.
∴ 这个反比例函数的
表达式为 .
O
9
I(A)
4
R(Ω)
M (4，9)
(2) 当 R =10 Ω 时，电流能是 4 A 吗？为什么？
解：当 R =10 Ω 时，I = 3.6 ≠ 4，
∴电流不可能是 4 A．
7. 某汽车的功率 P 为一定值，汽车行驶时的速度 v (m/s) 与它所受的牵引力 F (N) 之间的函数关系如下图所示：
(1) 这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式；
O
20
v (m/s)
3000
F(N)
解：
(3) 如果限定汽车的速度不超过 30 m/s，则 F 在什
么范围内？
(2) 当它所受牵引力为 1200 牛时，汽车的速度为多
少 km/h？
解：把 F = 1200 N 代入求得的解析式得 v = 50，
∴汽车的速度是 3600×50÷1000 = 180 km/h.
答案：F ≥ 2000 N.
8. 在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数 y (天) 与每天完成的工程量 x (m/天) 的函数关系图象如图所示.
(1) 请根据题意，
求 y 与 x 之间的函数表达式；
50
24
x (m/天)
y (天)
O
解：
(2) 若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够
开挖水渠 15 m，问该工程队需用多少天才能完
成此项任务？
解：由图象可知共需开挖水渠 24×50 =1200 (m)；
2 台挖掘机需要 1200÷(2×15) = 40 (天).
(3) 如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内
(按 30 天计算) 完成任务，那么每天至少要完成多
少 m？
解：1200÷30 = 40 (m)，
故每天至少要完成 40 m．
课堂小结
实际问题中的反比例函数
过程：
分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题
注意：
实际问题中的两个变量往往都只能取非负值；
作实际问题中的函数图像时，横、纵坐标的单
位长度不一定相同.

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