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(共50张PPT)
要点梳理
一般地，形如　 　(a，b，c 是常数，　 　 ) 的函数，叫做二次函数．
y＝ax2＋bx＋c
a ≠ 0
[注意] (1) 等号右边必须是整式；
(2) 自变量的最高次数是 2；
(3) 当 b＝0，c＝0 时，y＝ax2 是特殊的二次函数．
1. 二次函数的概念
二次函数 y＝a(x + h)2 + k y＝ax2＋bx＋c
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值 a＞0
a＜0
增减性 a＞0
a＜0
2. 二次函数的图象与性质
a ＞ 0 开口向上
a ＜ 0 开口向下
x = -h
(-h，k)
y最小 = k
y最大 = k
在对称轴左边，x↗ y↘；在对称轴右边， x↗ y↗
在对称轴左边，x↗ y↗；在对称轴右边， x↗ y↘
y最小=
y最大=
3. 二次函数图象的平移
y＝ax2
左、右平移，自变量左加右减
上、下平移，常数项上加下减
y＝-ax2
写成一般形式
沿 x 轴翻折
4. 二次函数表达式的求法
（1） 一般式法：y＝ax2＋bx＋c (a ≠ 0)
（2）顶点法：y＝a(x－h)2＋k (a ≠ 0)
（3）交点法：y＝a(x－x1)(x－x2) (a ≠ 0)
5. 二次函数与一元二次方程的关系
二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴的交点有三种情况：有两个交点，有一个交点，没有交点，分别对应一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不同的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根.
当二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴有交点时，交点的横坐标就是当 y = 0 时自变量 x 的值，即一元二次方程 ax2＋bx＋c = 0 的根.
二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴的交点个数 一元二次方程
ax2＋bx＋c = 0的根 一元二次方程
ax2＋bx＋c = 0 根的判别式（b2 - 4ac）
有两个交点
有两个不同的实数根
b2 - 4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2 - 4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2 - 4ac < 0
6. 二次函数的应用
1. 二次函数的应用包括以下两个方面：
(1) 用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题 (即最值问题)；
(2) 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
2. 一般步骤：(1) 找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；(2) 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3) 利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4) 检验结果的合理性，是否符合实际意义；(5) 作答.
7. 反比例函数的概念
定义：形如_______ (k 为常数，k ≠ 0) 的函数称为反比例函数，其中 x 是自变量，y 是 x 的函数，k 是比例系数.
三种表达式： 或 xy＝k 或 y＝kx－1 (k ≠ 0)．
防错提醒：(1) k ≠ 0；(2) 自变量 x ≠ 0；(3) 函数值 y ≠ 0.
8. 反比例函数的图象和性质
(1) 反比例函数的图象：反比例函数 (k ≠ 0) 的
图象是 ，它是轴对称图形，两条对称轴
为直线 和 .
双曲线
y = x
y = -x
(2) 反比例函数的性质
图象 所在象限 性质
(k ≠ 0) k＞0 一、三象限(x，y 同号) 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小
k＜0 二、四象限(x，y 异号)
在每个象限内，y 随 x 的增大而增大
x
y
o
x
y
o
(3) 反比例函数中比例系数 k 的几何意义
反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之
积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过反比例函数图象
上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐
标轴所围成的矩形的面积为常数 |k|.
推论：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，
一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积
为常数 .
9. 反比例函数的应用
利用待定系数法确定反比例函数：
①根据两变量之间的反比例关系，设 ；
②代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对对应
值，求出 k 的值；
③写出解析式.
反比例函数与一次函数的图象的交点的求法
求直线 y＝k1x＋b (k1 ≠ 0) 和双曲线 (k2 ≠ 0)的交点坐标就是解这两个函数解析式组成的方
程组.
利用反比例函数相关知识解决实际问题
过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题
注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值.
考点一 求抛物线的顶点、对称轴、最值
考点讲练
例1 抛物线 y＝x2－2x＋3 的顶点坐标为_______．
【解析】
方法一：配方，得 y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，则顶点坐标为 (1，2)．
方法二代入公式 ， ，
则顶点坐标为(1，2)．
(1，2)
解决此类题目可以先把二次函数 y＝ax2＋bx＋c 配方为顶点式 y＝a(x＋h)2＋k 的形式，得到其对称轴是直线 x＝-h，顶点坐标为 (-h，k)，当自变量范围没有限制时，其最值为 y＝k；也可以直接利用公式求解.
方法归纳
1. 对于 y＝2(x－3)2＋2 的图象，下列叙述正确的是 (　 )
A. 顶点坐标为 (－3，2)
B. 对称轴为 y＝3
C. 当 x≥3 时，y 随 x 的增大而增大
D. 当 x≥3 时，y 随 x 的增大而减小
C
针对训练
y
x
考点二 二次函数的图象与性质及函数值的大小比较
例2 二次函数 y＝-x2＋bx＋c 的图象如图所示，若点 A(x1，y1)，B(x2，y2) 在此函数图象上，且 x1＜x2＜1，则 y1 与 y2 的大小关系是 (　　)
A. y1≤y2 B. y1＜y2 C. y1≤y2 D. y1＞y2
【解析】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是 x＝1，当 x＜1时，y 随 x 的增大而增大. ∵ x1＜x2＜1，∴ y1＜y2.
B
2. 下列函数中，当 x＞0 时，y 值随 x 值增大而减小的是（ ）
A. y = x2 B. y = x - 1
C. D. y = -3x2
D
针对训练
y
x
考点三 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a ≠ 0) 的图象与系数 a，b，c 的关系
例3 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　)
A．1　　　 B．2　　　　　
C．3　　　 D．4
y
x
解析：由图象开口向下可得 a＜0，由对称轴在 y 轴左侧可得 b＜0，由图象与 y 轴交于正半轴可得 c＞0，则 abc＞0，故①正确；由对称轴 x＞－1 可得 2a－b＜0，故②正确；由图象上横坐标为 x＝－2 的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；由图象上横坐标为 x＝1 的点在第四象限得 a＋b＋c＜0，由图象
上横坐标为 x＝－1 的点在第二象限得
a－b＋c＞0，则 (a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，
即 (a＋c)2－b2＜0，所以 (a＋c)2＜b2，
故④正确. 故选 D.
方法总结
1. 可根据对称轴的位置确定 b 的符号：b＝0 对称轴是 y 轴；a、b 同号 对称轴在 y 轴左侧；a、b 异号 对称轴在 y 轴右侧. 这个规律可简记为“左同右异”.
2. 当 x＝1 时，函数值 y＝a＋b＋c，当图象上横坐标 x＝1 的点在 x 轴上方时，a＋b＋c＞0；当图象上横坐标 x＝1 的点在 x 轴上时，a＋b＋c＝0；当图象上横坐标 x＝1 的点在 x 轴下方时，a＋b＋c＜0. 同理，可由图象上横坐标 x＝－1，±2 的点判断 a－b＋c，4a±b＋c 的符号.
3. 已知二次函数 y =－x2＋2bx＋c，当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是（ ）
A. b≥－1 B. b≤－1 C. b≥1 D. b≤1
针对训练
D
解析：由题意知该函数图象开口向下，在对称轴右侧，y 的值随 x 值的增大而减小. ∵当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，∴其对称轴应在直线 x = 1 处或其左侧，即 = b≤1，故选 D.
考点四 抛物线的几何变换
例4 将抛物线 y＝x2－6x＋5 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的抛物线解析式是 (　 )
A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2
C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－5
【解析】因为 y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的解析式为 y＝(x－3－1)2－4＋2，即 y＝(x－4)2－2. 故选 B.
B
4. 若抛物线 y =－7(x + 4)2－1 平移得到 y =－7x2，则可以（ ）
A. 先向左平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位
B. 先向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位
C. 先向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位
D. 先向右平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位
B
针对训练
考点五 二次函数表达式的确定
例5 已知关于 x 的二次函数，当 x = -1 时，函数值为 10；当 x = 1 时，函数值为 4；当 x = 2 时，函数值为 7.求这个二次函数的解析式.
待定系数法
解：设所求的二次函数为 y = ax2 + bx + c，由题意得
解得 a = 2，b = -3，c = 5.
∴ 所求的二次函数解析式为 y = 2x2 - 3x + 5.
5. 已知抛物线 y = ax2 + bx + c 与抛物线 y =－x2－3x + 7 的形状相同，顶点在直线 x = 1 上，且顶点到 x 轴的距离为 5，请写出满足此条件的抛物线的表达式.
解：∵抛物线 y = ax2 + bx + c 与 y =－x2－3x + 7 的形状相同，∴ a = ±1. 又∵顶点在直线 x = 1 上，且到 x 轴的距离为 5，∴顶点为 (1，5) 或 (1，－5). 所以表达式可为：
(1) y = (x－1)2 + 5； (2) y = (x－1)2－5；
(3) y =－(x－1)2 + 5；(4) y =－(x－1)2－5.
针对训练
例6 若二次函数 y = x2 + mx 的对称轴是 x = 3，则关于 x 的方程 x2 + mx = 7 的解为（　　）
A．x1 = 0，x2 = 6 B．x1 = 1，x2 = 7
C．x1 = 1，x2 = -7 D．x1 = -1，x2 = 7
解析：∵二次函数 y = x2 + mx 的对称轴是 x = 3，
∴ =3，解得 m = －6.
∴ 关于 x 的方程 x2 + mx = 7 可化为 x2－6x－7 = 0，
即 (x + 1)(x－7) = 0，解得 x1 = －1，x2 = 7． 故选 D．
考点六 二次函数与一元二次方程
D
例7 某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 45%，经试销发现，销售量 y (件) 与销售单价 x (元) 符合一次函数 y＝kx＋b，且 x＝65 时，y＝55；x＝75 时，y＝45.
(1) 求一次函数的表达式；
(2) 若该商场获得利润为 W 元，试写出利润 W 与销售单价 x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？最大利润是多少元？
考点七 二次函数的应用
解：(1) 根据题意，得
故所求一次函数的表达式为 y = -x + 120.
(2) W = (x - 60) (-x + 120) = -x2 + 180x - 7200
= -(x - 90)2 + 900.
∵ 抛物线的开口向下，
∴ 当 x＜90 时，W 随 x 的增大而增大.
而 60≤x≤60×(1 + 45%)，即 60≤x≤87，
∴ 当 x = 87 时，W 有最大值，
此时 W = -(87 - 90)2 + 900 = 891.
解得 k = -1，b = 120.
例8 如图，梯形 ABCD 中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中 15＜x＜30. 作 DE⊥ AB 于点 E，将 △ADE 沿直线 DE 折叠，点 A 落在 F 处，DF 交 BC 于点 G.
(1) 用含有 x 的代数式表示 BF 的长；
(2) 设四边形 DEBG 的面积为 S，
求 S 与 x 的函数关系式；
(3) 当 x 为何值时，S 有最大值？
并求出这个最大值．
解：(1) 由题意得 EF = AE = DE = BC = x，AB = 30.
∴ BF = 2x - 30.
(2)∵∠F =∠A = 45°，∠CBF =∠ABC = 90°，
∴∠BGF =∠F = 45°，BG = BF = 2x - 30.
∴ S = S△DEF - S△GBF = DE2 - BF2 = x2 - (2x - 30)2
= x2 + 60x - 450.
(3) S = x2 + 60x - 450 = (x - 20)2 + 150.
∵ ＜0，15＜20＜30，
∴ 当 x = 20 时，S 有最大值，最大值为 150.
考点八 反比例函数的概念
针对训练
1. 下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数
① y = 3x－1
② y = 2x2
⑤ y = 3x
③
④
⑥
⑦
⑧
2. 已知点 P(1，－3) 在反比例函数 的图象上，则
k 的值是 ( )
A. 3　　 B. －3 C. D.
B
3. 若 是反比例函数，则 a 的值为 ( )
A. 1 B. －1 C. ±1 D. 任意实数
A
解析：方法①分别把各点代入反比例函数求出 y1，y2，
y3 的值，再比较出其大小即可；
方法②：根据反比例函数的图象和性质比较．
考点九 反比例函数的图象和性质
例9 已知点 A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3) 都在反比例函数 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是 ( )
A. y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3
C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1
D　
方法总结：比较反比例函数值的大小，在同一个象限内可根据反比例函数的性质比较，在不同的象限内不能按其性质比较，可根据其正负来确定大小．
已知点 A (x1，y1)，B (x2，y2) (x1＜0＜x2) 都在反比例函数 (k＜0) 的图象上，则 y1 与 y2 的大小关系 (从大到小) 为 .
y1＞y2
针对训练
考点十 与反比例系数 k 有关的问题
例10 如图，两个反比例函数 和 在第一
象限内的图象分别是 C1 和 C2，设点 P 在 C1 上，PA
⊥x 轴于点 A，交 C2 于点 B，
则 △POB 的面积为 .
1
针对训练
如图，在平面直角坐标系中，点 M 为 x 轴正半轴上一点，过点 M 的直线 l∥y 轴，
且直线 l 分别与反比例函数 (x＞0)
和 (x＞0) 的图象交于 P，
Q 两点，若 S△POQ = 14，
则 k 的值为 .
-20
考点十一 反比例函数的应用
例11 如图，已知 A (－4， )，B (－1，2) 是一次函数
y = kx + b 与反比例函数 (m＜0) 图象的两个交点，AC⊥x 轴于点 C，BD⊥y 轴于点 D．
(1) 根据图象直接回答：在第二象限内，当 x 取
何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
O
B
A
x
y
C
D
解：当 －4＜x＜－1 时，一次函数的值大于反比例函数的值.
(2) 求一次函数解析式及 m 的值；
解：把 A(－4， )，B(－1，2) 代入 y = kx + b 中，得
－4k + b = ，
－k + b = 2，
解得
k = ，
b = .
所以一次函数的解析式为 y = x + .
把 B (－1，2) 代入 中，得 m =－1×2=－2.
方法总结：此类一次函数，反比例函数，二元一次方程组，三角形面积等知识的综合题，关键是理清解题思路. 在平面直角坐标系中，求三角形或四边形面积时，要选取合适的底边和高，正确利用坐标算出线段长度.
针对训练
如图，设反比例函数的解析式为 (k＞0)．
(1) 若该反比例函数与正比例函数 y = 2x 的图象有一个
交点 P 的纵坐标为 2，求 k 的值；
O
y
x
解：由题意知点 P 在正比例函数 y = 2x 上，把 P 的纵坐标 2 代入该解析式，
得 P (1，2)，把 P (1，2) 代入 ，
得到
P
2
(2) 若该反比例函数的图象与过点 M (-2，0) 的直线 l：y = kx + b 交于 A，B 两点，如图所示，当 △ABO 的面积为 时，求直线 l 的解析式；
解：把 M (-2，0) 代入 y = kx + b，
得 b = 2k，∴ y = kx + 2k.
O
A
y
B
x
M
l
N
解得 x1 = -3，x2 = 1.
y = kx + 2k，
∴
∴ B (-3，-k)，A (1，3k).
∵ △ABO 的面积为
∴ ×2×3k + ×2k =
解得
∴ 直线 l 的解析式为
y = x + ．
O
y
x
M
l
N
A (1，3k)
B (-3，-k)
(3) 在第(2)题的条件下，当 x 取何值时，一次函数的
值小于反比例函数的值？
O
y
x
M
l
N
A (1，3k)
B (－3，－k)
解：当 x＜－3 或 0＜x＜1 时，一次函数的值小于反
比例函数的值.
例4 病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小时，
每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知服药后，
2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克)与时间 x (单位：小时) 成正比例；2 小时后 y 与 x 成反比例 (如图). 根据以上信息解答下列问题：
(1) 求当 0≤x≤2 时，y 与 x 的函数解析式；
解：当 0≤x≤2 时，y 与 x 成正比例函数关系．
设 y＝kx，由于点 (2，4) 在线段上，所以 4＝2k，k＝2，即 y＝2x.
O
y/毫克
x/小时
2
4
(2) 求当 x ＞ 2 时，y 与 x 的函数解析式；
解：当 x ＞ 2 时，y 与 x 成反比例函数关系，设
解得 k ＝8.
由于点 (2，4) 在反比例函数的图象上，
所以
即
O
y/毫克
x/小时
2
4
(3) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有
效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？
解：当 0≤x≤2 时，含药量不低于 2 毫克，即 2x≥2，解得 x≥1，∴ 1≤x≤2；
当 x＞2 时，含药量不低于 2 毫克，
即 ≥2，解得 x≤ 4. ∴ 2＜x≤4.
所以服药一次，治疗疾病的有效时
间是 1＋2＝3 (小时)．
O
y/毫克
x/小时
2
4
二次函数
二次函数的概念
二次函数与一元二次方程的联系
二次函数的图象与性质
课堂小结
不共线三点确定二次函数的表达式
二次函数的应用
反比例函数
定义
图象
性质
x，y 的取值范围
增减性
对称性
k 的几何意义
应用
在实际生活中的应用
在物理学科中的应用

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