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学习目标
1. 能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题；（重点）
2. 弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.（难点）
导入新课
情境引入
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家，追求利润最大化是永恒的追求.
如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
一个制造商制造一种产品，它的成本可以分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、建造厂房、购置设备、培训工人等费用，如果没有更换产品，我们将它看为常数；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用. 例如，生产一种收音机的成本（单位：元）可以近似的表示为 .
C = 120t + 1000 ①
如何定价利润最大
讲授新课
其中 C 表示生产 t 台收音机的总成本，当 t = 0 时，
C = 120t + 1000 ①
C = 120×0 + 1000 = 1000.
1000 元是固定成本，由此可知 ① 式中 120 t 表示可变成本.
制造商出售产品得到的年总收入等于出售产品的年销售量 t 和产品的销售单价 x 的乘积，设 R 表示年总收入，则
R年总收入 = t ·x ②
制造商的年利润是出售产品的年收入和生产这些产品的总成本之间的差额，通常设为 P 表示年利润，则
P利润 = R年总收入 - C成本.
∴ P利润 = R - C = t·x - c ③.
问题①
当一个工厂在决定是否要生产某种产品时，往往向市场分析专家咨询该产品的销路，一种产品的销售量通常与销售单价有关，当单价上涨时，销售量就下降．假设某市场分析专家提供了下列数据：
销售单价 x/元 50 100 150 300
年销售量 t/件 5000 4000 3000 0
设生产 t 件该产品的成本为 C = 50t + 1000.
(1)在右图中，描出上述表格中各组数据对应的点.
4000
1000
2000
3000
5000
50
100
150
200
250
300
x/元
t/件
O
·
·
·
·
销售单价 x/元 50 100 150 300
年销售量 t/件 5000 4000 3000 0
(2) 描出的点在一条直线上吗？求 t 和 x 间的函数关系式.
解：由右图可知：这些点在一条直线上，故可设函数关系式为 t = kx + b.
任意选取两点代入，
求得 k = -20，b = 6000.
∴ t = -20x + 6000.
4000
1000
2000
3000
5000
50
100
150
200
250
300
x/元
t/件
O
·
·
·
·
(3) 销售单价 x 和年销售量 t 各为多少时，年利润 P 最大？
解：∵ R年总收入 = t·x
= (-20x + 6000)·x，
∴ P年利润 = R年总收入 - C成本
= (-20x + 6000)·x - 50(-20x + 6000) - 1000
= -20x + 6000x + 1000x - 300000 - 1000
C成本 = 50t + 1000 = 50(-20x + 6000) + 1000，
= -20x + 7000x - 301000.
当 x = = 175 (元) 时，年利润 P 最大，
此时 t = -20x + 6000 = 2500 (件).
例 某商店试销一种新商品，新商品的进价为 30 元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同. 令每月销售量为 y 件，售价为 x 元/件，每月的总利润为 Q 元.
（1）当售价在 40～50 元/件时，每月销售量都为 60 件，则此时每月的总利润最多是多少元？
解：由题意知，当 40≤x≤50 时，Q = 60(x－30) = 60x－1800. ∵ 60＞0，Q 随 x 的增大而增大，∴ 当 x = 50 时，有 Q最大 = 1200. 答：此时每月的总利润最多是 1200 元.
y/件
x/元
（2）当销售单价在 50～70 元时，每月销售量与单价的关系如图所示，则此时当该商品单价 x 是多少元时，该商店每月获利最大？最大利润是多少元？
解：当 50≤x≤70 时，设 y 与 x 函数关系式为 y = kx + b.
∵ 图象过点 (50，60) 和 (70，20)，
50k + b = 60，
70k + b = 20.
∴
∴ y =－2x + 160 (50≤x≤70).
解得
k =－2，
b = 160.
∴ y =－2x + 160 (50≤x≤70).
∴ Q = (x－30)y = (x－30)(－2x + 160)
=－2x2 + 220x－4800
=－2(x－55)2 + 1250 (50≤x≤70).
∵ －2＜0，图象开口向下，
∴ 当 x = 55 时，Q最大 = 1250.
∴ 当售价在 50～70 元时，售价 x 是 55 元时，获利最大，最大利润是 1250 元.
解：∵ 当 40≤x≤50 时， Q最大= 1200＜1218；
当 50≤x≤70 时， Q最大= 1250＞1218，
∴ 销售单价 x 应在 50~70 元之间.
令－2(x－55)2 +1250 = 1218，解得 x1 = 51，x2 = 59.
当 x = 51 时，y =－2x + 160 =－2×51+160 = 58；
当 x = 59 时，y =－2x + 160 =－2×59+160 = 42.
∴ 该商品的销售单价为 51 元，销售量为 58 件；或销售单价为 59 元，销售量为 42 件.
（3）若 4 月份该商品销售的总利润为 1218 元，则该商品的销售单价与当月的销售量各是多少？
变式：（1）若该商品售价在 40～70 元之间变化，根据例题的分析、解答，直接写出每月总利润 Q 与售价 x 的函数关系式；并说明，当该商品单价 x 是多少元时，该商店每月获利最大？最大利润是多少元？
解：Q 与 x 的函数关系式为：
60x－1800（40≤x≤50），
－2(x－55)2 + 1250（50≤x≤70）.
Q =
由例题可知：
若 40≤x≤50， 则当 x = 50 时，Q最大 = 1200；
若 50≤x≤70， 则当 x = 55 时，Q最大 = 1250.
∵ 1200＜1250，
∴ 单价 x 是 55 元时，获利最大，最大利润是 1250 元.
（2）若该商店销售该商品所获利润不低于 1218 元，试确定该商品的售价 x 的取值范围；
① 当 40≤x≤50 时，
∵ Q最大 = 1200＜1218，
∴ 此情况不符合题意.
60x－1800（40≤x≤50 ），
－2(x－55)2 + 1250（50≤x≤70）.
解：Q =
② 当 50≤x≤70 时，
令 Q = 1218，
得－2(x－55)2 +1250 = 1218.
解得 x1 = 51，x2 = 59.
由 Q =－2(x－55)2 +1250 的图象和性质可知，
当 51≤x≤59 时，Q≥1218.
∴ 若该商品所获利润不低于 1218 元，则单价 x 的取值范围是 51≤x≤59.
x
Q
O
55
1218
59
51
1250
（3）在（2）的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款不低于 1620 元，则销售单价 x 为多少元时，利润最大？最大利润是多少元？
解：由题意得
51≤x≤59，
30(－2x + 160)≥1620.
解得 51≤x≤53.
如图所示，
抛物线 Q =－2(x－55)2 +1250 中，
当 51≤x≤53 时，
Q 随 x 的增大而增大.
∴ 当 x = 53 时，有 Q最大 = 1242.
即当销售单价 x 定为 53 元时，
利润最大，最大利润是 1242 元.
x
Q
O
55
1242
53
51
制造商为了获得最大利润，进行了市场调查，取得了该种电子产品的销售单价 x 和年销售量 t 之间的一组数据：
问题②
年销售量 t/件 750 3000 5096 8500 9417
销售单价 x/元 3850 3400 3000 2300 2100
设生产 t 件某种电子产品的成本（单位：元）可以近似的表示为：
C = 1000t + 2 000 000.
（1）在下图中描出上述表格中各组数据对应的点：
3500
2000
2500
3000
4000
1000
2000
3000
4000
7000
8000
t/件
x/元
0
5000
6000
9000
10000
·
·
·
·
·
年销售量 t/件 750 3000 5096 8500 9417
销售单价 x/元 3850 3400 3000 2300 2100
（2）假如该企业高薪聘你，请你分析，当年销售量 t 和销售单价 x 分别是多少时，年利润 P 最大？并说说你有几种求解方法，与同学进行交流.
解：通过观察图象可知，这些点几乎在一条直线上，不妨设解析式为 x = kt + b.
将点 (3000，3400) 和点 (8500，2300) 代入， 可解得
∵ R年总收入 = t·x
∴ P利润 = R年总收入 - C成本
C成本 = 1000t + 2000000，
当 t = - = 7500 时，P 最大，
= 9250000.
答：当年销售量 t 和销售单价 x 分别是 7500 件和 2500 元时，年利润 P 最大，最大年利润是 9250000 元.
1. 进价为 80 元/件的某种衬衣，定价为 100 元/件时，每月可卖出 2000 件．价格每上涨 1 元，销量便减少 5 件，那么每月售出该衬衣的总件数 y 与衬衣售价 x (元/件) 之间的函数关系式为 .每月利润 w (元) 与衬衣售价 x (元/件) 之间的函数关系式为 (以上关系式只列式不化简）.
y = 2000 - 5(x - 100)
w = [2000 - 5(x - 100)](x - 80)
当堂练习
x (元) 15 20 30 …
y (件) 25 20 10 …
若日销售量 y 是销售单价 x 的一次函数. （1）求出日销售量 y（件）与销售单价 x（元）的函数关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日的销售利润是多少元？
2. 某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下：
（2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为 w 元. 则
∴当每件产品的销售价 x 定为 25 元时，每日获得的销售利润 w 最大，最大销售利润为 225 元.
解得 k =－1，b = 40.
解：（1）设此一次函数解析式为 .
∴ 一次函数解析为 .
则
课堂小结
最大利润问题
建立函数关系式
总利润 = 单件利润×销售量或总利润 = 总售价 - 总成本.
确定自变量取值范围
涨价：要保证销售量≥0；
降件：要保证单件利润≥0
确定最大利润
利用配方法或公式求最大值或利用图象和性质求出

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