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2024-2025 学年吉林省长春汽车经济技术开发区第三中学高二下学期 5
月期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1.若函数 ( ) = 22 + 2
′(0)cos + ，则 ′ 6 的值为( )
A. 0 B. 6 C.

3 D.
2.( )( + )4的展开式中 2 3的系数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.抛物线 2 = 4 在点(2,1)处的切线的斜率为( )
A. 1 B. 1 12 C. 2 D. 1
4.某中学派 6 名教师到 ， ， ， ， 五个山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师
前去支教．学校考虑到教师甲的家乡在山区 ，决定派教师甲到山区 ，同时考虑到教师乙与丙为同一学科，
决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有( )
A. 360 种 B. 336 种 C. 216 种 D. 120 种
5.甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用 3 局 2 胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为 0.7，乙获胜的概率为
0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了 3 局的概率为( )
A. 316 B.
3 3 3
13 C. 8 D. 4
6.设某医院仓库中有 10 盒同样规格的 光片，其中有 5 盒、3 盒、2 盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．若
1 1 1
甲、乙、丙三厂生产该种 光片的次品率依次为10、15、20，现从这 10 盒中任取一盒，则取得的 光片是次
品的概率为( )
A. 0.08 B. 0.1 C. 0.15 D. 0.2
7 1.已知随机变量 服从二项分布 , 2 .若 (3 + 2) = 36，则 =( )
A. 144 B. 48 C. 24 D. 16
2 1
8 +.已知函数 ( ) = 2 , < 0，若函数 = ( ) 有且只有 3 个零点，则实数 的取值范围为( )
ln( + 1), ≥ 0
A. 0, 1 B. 12 2 , 1 C. (1, + ∞) D.
1
4 , 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9 1

.已知 2 的展开式的第 2 项与第 3 项系数的和为 3，则( )
A. = 8 B. 1展开式的各项系数的和为32
C.展开式的各二项式系数的和为 256 D.展开式的常数项为第 5 项
10.下列说法中正确的是( )
A.若随机变量 ～ 1, 2 ， ( < 4) = 0.79，则 ( < 2) = 0.21
B. 1 10若随机变量 ～ 10, 3 ，则期望 ( ) = 3
C. 2已知随机变量 的分布列为 ( = ) = ( +1) ( = 1,2,3)，则 ( = 2) = 3
D.从 3 7名男生，2 名女生中选取 2 人，则其中至少有一名女生的概率为10
11.离散型随机变量 的分布列如表所示，则( )
0 1 2 4
1 1 1
6 6 3
A. = 1 13 B. ( < 2) = 3 C. ( ) = 2 D. ( ) =
7
3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知随机变量 服从 1, 2 ，若 ( < 0.5) = 0.2，则 (0.5 1.5) = ．
13.已知(2 1)10 = 2 3 100 + 1 + 2 + 3 + + 10 ， ∈ .则 1 + 2 + 3 + + 10 = ．
14.已知函数 ( ) = 2 + ， ( ) = 2e 1，若对任意的 2 ∈ [ 1,1]，存在 1 ∈ 2 , 2 使得 1 = 2 ，
则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
“茶文化”在中国源远流长，近年来由于人们对健康饮品的追求，购买包装茶饮料的消费者日趋增多，调
查数据显示，包装茶饮料的消费者中男性占比 35％，男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过 10 元的概
率分别为 0.5,0.7．
(1)从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取 1 名消费者，求该消费者购买包装茶饮料的单价不超过 10 元的
概率；
(2)若 1 名消费者购买了单价不超过 10 元的包装茶饮料，求该消费者是女性的概率(结果用分数表示)
16.(本小题 15 分)
某企业举行招聘考试，共有 1000 人参加，分为初试和复试，初试成绩总分 100 分，初试通过后参加复试．
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(1)若所有考生的初试成绩 近似服从正态分布 , 2 ，其中 = 65, = 10，试估计初试成绩不低于 75 分
的人数；(精确到个位数)
(2)复试共三道题，每答对一题得 10 分，答错得 0 分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知
3 3
某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为4，后两题答对的概率均为5，且每道题回答正确与否互
不影响．记该考生的复试成绩为 ，求 的分布列及期望．
附：若随机变量 服从正态分布 , 2 ，则： ( < < + ) = 0.6827， ( 2 < < + 2 ) =
0.9545, ( 3 < < + 3 ) = 0.9973．
17.(本小题 15 分)
某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了
如下选拔方案：设计 6 道题进行测试，若这 6 道题中，甲能正确解答其中的 4 道，乙能正确解答每个题目
2
的概率均为3，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这 6 道测试题中分
别随机抽取 3 题进行解答
(1)求甲、乙共答对 2 道题目的概率；
(2)设甲答对题数为随机变量 ，求 的分布列、数学期望和方差；
(3)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？
18.(本小题 17 分)
为了研究新高考数学多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率
1 1
为2，正确答案是“选三项”的概率为2 .现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，
只能靠猜．
(1)求三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率；
(2)学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的答题策略是“猜两个选项”，(“选两项”全对得 6 分，
选对一个得 3 分，有错选得 0 分，“选三项”全对得 6 分，选对一个得 2 分，对两个得 4 分，有错选得 0
分)试分别计算甲、乙两位同学得分的数学期望．
19.(本小题 17 分)
设函数 ( ) = 2 + ln( + 1)( ∈ R)．
(1)若 = 1，当 ∈ (1, + ∞)时，求证： ( ) < 3；
(2)若函数 ( )在区间(0,1)上存在唯一零点，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.6/35
13.0
14.e ≤ ≤ 4
15.解：(1)设该消费者购买包装茶饮料的单价不超过 10 元为事件 ，从购买包装茶饮料的消费者中随机抽
取 1 名消费者为男性为事件 ，
( ) = 0.35, = 0.65, ( | ) = 0.5, | = 0.7，
所以 ( ) = ( ) ( | ) + | = 0.35 × 0.5 + 0.65 × 0.7 = 0.63；
(2)设从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取 1 名消费者为女性为事件 ，
( ) = 0.65, ( | ) = 0.7，
则 ( | ) = ( ) ( | ) = 0.65×0.7 ( ) 0.63 =
455
630 =
13
18．
16.解：(1)由学生初试成绩 服从正态分布 ( , 2)，其中 = 65， = 10，得 75 = 65 + 10 = + ，
因此 ( ≥ 75) = ( ≥ + ) = 12 [1 ( ≤ ≤ + )] =
1 0.6827
2 = 0.15865，
所以估计初试成绩不低于的人数为 0.15865 × 1000 ≈ 159 人.
(2) 的可能取值为 0，10，20，30，
则 ( = 0) = (1 3 3 2 1 3 3 3 2 3 64 ) × (1 5 ) = 25， ( = 10) = 4 × (1 5 )
2 + (1 ) × C14 2 × 5 × 5 = 25，
第 4页，共 6页
( = 20) = 3 × C1 × 2 × 3 + (1 3 ) × ( 3 2 94 2 5 5 4 5 ) = 20， ( = 30) =
3 × ( 3 24 5 ) =
27
100，
所以 的分布列为：
0 10 20 30
1 6 9 27
25 25 20 100
1
数学期望为 ( ) = 0 × 25 + 10 ×
6 + 20 × 9 + 30 × 2725 20 100 = 19.5．
17.解：(1)由题意得甲、乙两名学生共答对 2 个问题的概率：
2 1 0 3 1 2 2
= C4C2 × C0 × 2 × 1 + C4C2 × C1 × 23 3 3 3 3 3 3 ×
1
3 =
1
15．C6 C6
(2)设学生甲答对的题数为 ，则 的所有可能取值为 1，2，3．
C1C2 1 C2C1 3 ( = 1) = 4 23 = 5， ( = 2) =
4 2 = 33 5， ( = 3) =
C4 = 1
C6 C6 C
3
6 5
．
1 2 3
1 3 1
5 5 5
的分布列为：
( ) = 1 × 1+ 2 × 3所以 5 5 + 3 ×
1
5 = 2， ( ) =
1 2 3
5 (1 2) + 5 (2 2)
2 + 15 (3 2)
2 = 25．
(3) 2设学生乙答对的题数为 ，则 的所有可能取值为 0，1，2，3.则 ～ 3, 3 ．
所以 ( ) = 3 × 23 = 2
2 2
， ( ) = 3 × 3 × 1 3 =
2
3．
因为 ( ) = ( )， ( ) < ( )，即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定，
所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛．
1 318. 3解：(1)由题得三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率为C23 2 = 8．
(2)记甲同学答一道多选题得分为 ，则 = 0,2,3，
( = 0) = 1 × 1 + 1 × 1 = 3 ( = 2) = 1 × 3 = 3 ( = 3) = 1 1 12 2 2 4 8； 2 4 8； 2 × 2 = 4，
3 3 2 12 3
所以甲同学得分的数学期望为 ( ) = 0 × 8 + 2 × 8 + 3 × 8 = 8 = 2．
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记乙同学答一道多选题得分为 ，则 = 0,4,6，
1 2
( = 0) = 1 × 1 1 + 1 × C3 = 1 × 1 1 + 1 × 1 = 2 ( = 4) = 1 × C3 = 1 × 3 = 1 12 ；C2 24 2 C4 2 6 2 2 3 2 C24 2 6 4
； ( = 6) = 2 ×
1
2 =
1 1 1
C4 2
× 6 = 12，
2 1 1 3
所以乙同学得分的数学期望为 ( ) = 0 × 3 + 4 × 4+ 6 × 12 = 2．
3 2
19.解：(1)令 ( ) = ( ) 3 = 2 ln( + 1) 3，则 ′( ) = 2 1 2 3 +( 1) +1 3 = +1 ，
当 ∈ (1, + ∞)有 ′( ) < 0，即 ( )在 ∈ (1, + ∞)单调递减，又 (1) = ln2 < 0，
所以 ( ) < 0，即 2 ln( + 1) < 3，即 ( ) < 3，
所以当 ∈ (1, + ∞)时 ( ) < 3，得证．
2
(2)由 ( ) = 2 + ln( + 1)， ∈ (0,1)，可得 ′( ) = 2 + 2 +2 + +1 = +1 ，
令 ( ) = 2 2 + 2 + 1且 ∈ (0,1)，其开口向上且对称轴为 = 2，又 (0) = ， (1) = 4 + ，
当 ≥ 0 时， ( ) > 0，即 ′( ) > 0， ( )单调递增，则 ( ) > (0) = 0，
此时 ( )在(0,1)上没有零点，不合题意；
当 4 < < 0 时，则 (0) < 0 < (1)，设 0 ∈ (0,1)使得 ( 0) = 0，
当 ∈ (0, 0)时， ( ) < 0， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 ∈ ( 0, 1)时， ( ) > 0， ′( ) > 0， ( )单调递增，
因为 (0) = 0 1，要使 ( )在(0,1)上存在唯一零点，则满足 (1) = 1 + ln(1 + 1) > 0，解得 > ln2，
当 ≤ 4 时， ( ) < 0 在(0,1)上恒成立，即 ′( ) < 0， ( )在(0,1)上递减，
所以 ( ) < (0) = 0，故 ( )在(0,1)上没有零点，不合题意．
1
综上，实数 的取值范围为( ln2 , 0)．
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