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2024-2025 学年吉林省长春外国语学校高二下学期 5 月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导运算正确的是( )
A. e3 ′ = e3 B. ( cos )′ = sin C. log ′ = ln22 D. 3
′ =
3 ln3
2.已知函数 ( )的导函数为 ′( ) lim 0 ，若 0+ = 4，则 ′ =( )
→0 3 0
A. 12 B. 43 C.
4
3 D. 12
3.经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中 9 环的概率为 0.6，在第一次击中 9 环的条件下，第
二次也击中 9 环的概率为 0.8.那么她两次均击中 9 环的概率为( )
A. 0.24 B. 0.36 C. 0.48 D. 0.75
4.若曲线 ( ) = 2 32 ln(2 + 1)在点 1, (1) 处的切线与直线 = 2 垂直，则实数 的值为( )
A. 3 B. 5 C. 2 D. 1
5.随机变量 3服从两点分布，若 ( ) = 16，则 ( = 1) =( )
A. 1 B. 3 C. 1 34 4 4或4 D.
1
5
6.深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能
够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为 0.2，0.5，0.2，0.1，当乙球员担当前锋、
中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为 0.4，0.2，0.5，0.2.当乙球员参加比赛时，该球队某场比
赛不输球的概率为( )
A. 0.3 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.7
7.国际高峰论坛上，组委会要从 6 个国内媒体团和 3 个国外媒体团中选出 3 个媒体团进行提问，要求这 3
个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国外媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为( )
A. 306 B. 198 C. 268 D. 378
8 1.若函数 ( ) = ln 在(1,2)上单调递增，则实数 的值不可能为( )
A. 2 B. 32 C. 2 D. 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.下列说法正确的是( )
A.已知C +2 = C2 518 18 ，则 可能取值为 7
B.已知C +2 2 518 = C18 ，则 可能取值为 6
9
C.在 2 1 的二项式展开式中，常数项是 84
9
D.在 2 1 的二项式展开式中，所有二项式系数和为 1024
10.如图，用 种不同的颜色把图中 , , , , 五块区域涂上颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则( )
A. ≥ 3
B.当 = 4 时，若 , 同色，共有 48 种涂法
C.当 = 4 时，若 , 不同色，共有 48 种涂法
D.当 = 5 时，总的涂色方法有 420 种
11.已知函数 ( )的定义域是 ， ′( )是 ( )的导函数，若对任意的 ∈ ，都有 ′( ) + ( ) > ( )，
则下列结论正确的是( )
A. (1) < 0 B. e (1) < 2 (2)
C. ln2 < 2ln2 D.当 > 0 时，e ( ) 2 (2 ) < 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知函数 ( ) = 2 2 ′(1)，则 ′(2) = ．
13.设离散型随机变量 的分布列如下，若 = 4 3，则 ( ) = ．
2 3 4
0.3 0.4
14.若过点(1, )可以作曲线 = 2 ( > 0)的两条切线，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
若(1 2 )5 = 50 + 1 + + 5 = 0 + 1( + 1) + + 5( + 1)5 ∈
(1)求 1 + 2 + 3 + 4 + 5；
(2)求 0 + 2 + 4；
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(3)求 3．
16.(本小题 15 分)
有 5 个男生和 3 个女生，从中选出 5 人分别担任 5 门不同学科的科代表(要求每人只担任一科科代表，每科
只有一名科代表)，求分别符合下列条件的安排方法数．(写出必要的数学式，结果用数字作答)
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)女生甲一定担任语文科代表；
(3)男生乙必须包括在内，但不担任语文科代表．
17.(本小题 15 分)
已知 ( ) = 2 3 2 12 + 6 的一个极值点为 2．
(1)求 的值；
(2)求函数 ( )的单调区间；
(3)求函数 ( )在区间[ 2,2]上的最值
18.(本小题 17 分)
某项人工智能新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行量化检测．假设该项新技术
2 1 1
的指标甲、乙、丙独立地通过检测合格的概率分别为3 , 2 , 3，指标甲、乙、丙检测合格分别记 4 分、2 分、
4 分，若某项指标不合格，则该项指标记 0 分，各项指标检测结果互不影响．
(1)求该项技术量化得分不低于 8 分的概率；
(2)记该技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量 ，求 的分布列与数学期望．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln + 1 22 2 ， > 0．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)若 ( )有两个极值点 1 > 0， 2 > 0，证明： 1 + 2 + 3 > 0．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.6
13.9.6 48或 5
14.( 1,1)
15.解：(1)由(1 2 )5 = 0 + 51 + + 5 ，
令 = 0 得： 0 = 1，
令 = 1 得： 0 + 1 + + 5 = 1，
所以 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 1 1 = 2；
(2)再令 = 1 得： 0 1 + 52 5 = 3 = 243，
243 1因为 0 + 1 + + 5 = 1，所以 0 + 2 + 4 = 2 = 121；
(3)由(1 2 )5 = 0 + 1( + 1) + + 55( + 1) ( ∈ )，
等价于 3 2( + 1) 5 = 0 + 1( + 1) + + 5( + 1)5 ∈ ，
所以 3 2 33 = C5 × 3 × ( 2) = 720．
16.解：(1)先选后排，5 人可以是 2 女 3 男，也可以是 1 女 4 男，
所以先选有C3C25 3 + C4 1 55C3 = 45 种方法，后排有A5 = 120 种方法，
所以共有不同选法 45 × 120 = 5400(种)．
(2)先在剩余的 7 人中选出 4 人，有C47 = 35 种选法，然后排列，有A44 = 24 种方法，根据分步乘法计数原
理，即可得出共有不同选法 35 × 24 = 840(种)．
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(3)分步：
第一步，先安排不担任语文科代表的男生乙，有C14 = 4 种方法；
第二步，然后从剩余的 7 人中选出 4 人，有C47 = 35 种选法；
第三步，选出的 4 人排列，有A44 = 24 种方法．
根据分步乘法计数原理，共有不同选法 4 × 35 × 24 = 3360(种)．
17.解：(1)因为 ( ) = 2 3 2 12 + 6，所以 ′( ) = 6 2 2 12，
∵ ( ) = 2 3 12 + 6 的一个极值点为 2，
∴ ′(2) = 6 × 22 2 × 2 12 = 0，解得 = 3，
经验证 = 3 时， ( )有极值点 2．
(2)由(1) ( ) = 2 3 3 2 12 + 6， ′( ) = 6 2 6 12 = 6( + 1)( 2)，
令 ′( ) = 0，得 = 1 或 = 2，
令 ′( ) < 0，得 1 < < 2；令 ′( ) > 0，得 < 1 或 > 2，
故函数 ( )在区间( 1,2)上单调递减，在区间( ∞, 1)，(2, + ∞)上单调递增．
(3)由(2)知， ( )在[ 2, 1]上为增函数，在( 1,2]上为减函数，
∴ = 1 是函数 ( )的极大值点，又 ( 2) = 2， ( 1) = 13， (2) = 14，
∴函数 ( )在区间[ 2,2]上的最小值为 14，最大值为 13．
18.解：(1)设该项人工智能新技术的三项不同指标独立通过检测合格分别为事件 , , ，
2 1
则 ( ) = 3 , = 3 , ( ) =
1 , = 1 , ( ) = 1 , = 22 2 3 3，
则可知该项技术量化得分不低于 8 分为 + ，
2 × 1 × 1 + 2 × 1 × 1 2所以概率为3 2 3 3 2 3 = 9．
2
所以该项技术量化得分不低于 8 分的概率为9．
(2)由题意可知： 的所有可能取值为 0，1，2，3．
则 ( = 0) = = 2 × 1 1 13 2 × 3 = 9，
( = 1) = + + = 13 ×
1 × 1 2 1 2 1 12 3 + 3 × 2 × 3 + 3 × 2 ×
2 = 73 18，
( = 2) = + + = 23 ×
1
2 ×
2 + 2 × 1 × 1 1 1 1 73 3 2 3 + 3 × 2 × 3 = 18，
( = 3) = ( ) = 23 ×
1 × 1 = 12 3 9，
所以随机变量 的分布列
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0 1 2 3
1 7 7 1
9 18 18 9
随机变量 的期望 ( ) = 0 × 2 7 7 2 318 + 1 × 18 + 2 × 18 + 3 × 18 = 2．
19. (1) ′( ) = + 2 =
2 2 +
解： 由题得 ，其中 > 0，
令 ( ) = 2 2 + ， > 0，其中对称轴为 = 1， = 4 4 ．
①若 ≥ 1，则 ≤ 0，此时 ( ) ≥ 0，则 ′( ) ≥ 0，所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增；
②若 0 < < 1，则 > 0，
此时 2 2 + = 0 在 R 上有两个根 1 = 1 1 ， 2 = 1 + 1 ，且 0 < 1 < 1 < 2，
当 ∈ (0, 1)时， ( ) > 0，则 ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 ∈ ( 1, 2)时， ( ) < 0，则 ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 ∈ ( 2, + ∞)时， ( ) > 0，则 ′( ) > 0， ( )单调递增，
综上，当 ≥ 1 时， ( )在(0, + ∞)上单调递增；
当 0 < < 1 时， ( )在(0,1 1 )上单调递增，在(1 1 , 1 + 1 )上单调递减，在(1 +
1 , + ∞)上单调递增．
(2)由(1)知，当 0 < < 1 时， ( )有两个极值点 1， 2，且 1 + 2 = 2， 1 2 = ，
所以 ( 1) + (
1 2 1 2
2) + 3 = ln 1 + 2 1 2 1 + ln 2 + 2 2 2 2 + 3
1
= (ln 1 + ln ) + ( 2 + 22 2 1 2) 2( 1 + 2) + 3
1
= ln 1 2 + 2 [( 1 +
2
2) 2 1 2] 2( 1 + 2) + 3
= ln + 12 (4 2 ) 4 + 3 = ln + 1．
令 ( ) = ln + 1，0 < < 1，则 ′( ) = ln < 0，故 ( )在(0,1)上单调递减，
所以 ( ) > (1) = 0，所以 ln + 1 > 0，即 ( 1) + ( 2) + 3 > 0．
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