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2024-2025 学年吉林省梅河口市第五中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图是函数 ( )及其导函数 ′( )在同一坐标系中的图象，则图象正确的为( )
A. B. C. D.
2.已知函数 ( ) = ln e 2 在区间[1, + ∞)上单调递减，则实数 的最大值是( )
A. 1 B. e C. e + 2 D. e2
3.曲线 ( ) = 3ln + 2 在 1, (1) 处的切线方程为( )
A. + 3 = 0 B. + 1 = 0 C. + 1 = 0 D. 1 = 0
4.已知函数 ( ) = 1 33
2 + + 9 在 上无极值，则实数 的取值范围为( )
A. ( ∞,0) ∪ (1, + ∞) B. [0,1]
C. (0,1) D. ( ∞,0] ∪ [1, + ∞)
5.已知定义在 上的奇函数 ( )满足 ( 3) = 0，当 > 0 时， ′( ) ( ) < 0，则 ( ) > 0 的解集为( )
A. ( ∞, 3) ∪ (3, + ∞) B. ( ∞, 3) ∪ (0,3)
C. ( 3,0) ∪ (0,3) D. ( 3,0) ∪ (3, + ∞)
6.如图所示，在杨辉三角中，斜线 上方箭头所示的数组成一个数列：1，1，2，3，3，6，4，10，…….
记这个数列的前 项和为 ，则 24 =( )
A. 442 B. 441 C. 364 D. 298
′
7.已知函数 = ( )在 上可导且 (0) = 6 ( ) 2 ( )，其导函数 ′( )满足： e2 = 2 1，则 ( ) < 0 的解
集为( )
A. ( ∞,3) B. (1,3) C. ( 2,1) D. ( 2,3)
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8 1 1.已知连续型随机变量 服从正态分布 2 , 4 ，记函数 ( ) = ( ≤ )，则 ( )的图象( )
A. 1关于直线 = 2对称 B.关于直线 =
1
4对称
C. 1 1 1 1关于点 2 , 2 成中心对称 D.关于点 4 , 4 成中心对称
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8
9 2.关于 3 的展开式，下列说法正确的是( )
A.展开式共有 8 项 B.展开式的所有项系数之和为 1
C.展开式的二项式系数之和为 256 D.展开式中含有常数项
10.由一组样本数据 , ( = 1,2,3, , 8)得到的经验回归方程为 = 2 0.4, = 2，去除两个样本点(
2,7)和(2, 7)后，得到的新的经验回归直线的斜率为 3，则此时( )
A.相关变量 ， 具有正相关关系 B.新的经验回归方程为 = 3 3.2
C.随 值的增加， 值增加的速度变小 D.样本点(4,8.9)似残差为 0.1
11.下列说法中正确的是( )
A.将 6 个相同的小球放入 4 个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有 10 种放法
B. 502019 + 1 被 7 除后的余数为 5
C.若( 2)5 + (2 + 1)4 = 0 + 1 + 22 + 3 3 + 4 54 + 5 ，则 0 + 2 + 4 = 81
D.抛掷两枚骰子，取其中一个的点数为点 的横坐标，另一个的点数为点 的纵坐标，连续抛掷这两枚骰子
三次，点 在圆 2 + 2 = 16 7内的次数 的均值为12
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.( 1 )84 的展开式中的有理项共有 项．2
13.已知圆 2 + 2 = 1 和圆( + 3)2 + ( )2 = 16 相切，则 =
14.数列的综合求和方法有：错位相减法，裂项相消法，分组求和法及倒序相加法.在组合数的计算中有如下
性质：C = C ，C0 + C1 2 3 + C + C + + C = 2 .应用上述知识，计算
C1 + 2C2 + 3C3 + + C = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的准线方程为 = 1．
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)过点 (1,0)的直线与抛物线 交于 、 两点，若| | = 4，求| |的值．
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16.(本小题 15 分)
( ) = 1已知函数 2 + ln
1
2．
(1)求 ( )的单调区间；
(2)记 ( )的两个零点分别为 1, 2( 1 < 2)，求曲线 = ( )在点( 2, ( 2))处的切线方程．
17.(本小题 15 分)
如图，已知正方形 和矩形 所在的平面互相垂直， = 2， = 1， 是线段 的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)求二面角 的大小；
(3)试在线段 上一点 ，使得 与 所成的角是 60°．
18.(本小题 17 分)

已知函数 ( ) = e ．
(1)求 ( )在点 (1, e)处的切线方程；
(2) ( ) = ( )，若 ( )的一条切线 恰好经过坐标原点，求切线 的方程．
19.(本小题 17 分)
“停课不停学，停课不停教”，疫情防控静态管理期间，从高二年级随机抽取 120 名学生进行了问卷调查，
5
得到如下列联表：已知在这 120 人中随机抽取 1 人，抽到喜欢钉钉直播上课的学生的概率是12．
男生 女生 合计
喜欢钉钉直播上课 20
不喜欢钉钉直播上课 30
合计 120
(1)请将上面的列联表补充完整，并据此资料分析能否有 95%的把握认为喜欢钉钉直播上课与性别有关？
(2)校团委为进一步了解学生喜欢钉钉直播上课的原因，用分层抽样的方法从该类学生中抽取 5 人组成总结
交流汇报小组，从该小组中随机抽取 3 人进行汇报，记 3 人中男生的人数为 ，求 的分布列、数学期望．
附临界值表：
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2 ≥ 0 0.10 0.05 0.010 0.005
0 2.706 3.841 6.63 7.879
( )2
参考公式： 2 = ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13.0 或 4 或 4
14. ·2 1
15.(1) 抛物线 的准线方程为 = 2，所以 2 = 1，即 = 2，
因此，抛物线 的标准方程为 2 = 4 ．
(2)设点 1, 1 、 2, 2 ，由对称性，不妨设点 在第一象限，
由抛物线的定义可得| | = 1 + 1 = 4，可得 1 = 3，则 21 = 4 × 3 = 12，可得 1 = 2 3，
所以点 3,2 3 ，易知点 (1,0)，
2 3
所以直线 的斜率为 = = 3 1 = 3，则直线 的方程为 = 3( 1)，
= 3( 1)
联立 可得 3 2 10 + 3 = 0 1，解得 = 3， = ，
2 = 4 1 2 3
4
所以| | = 2 + 1 = 3．
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16.(1) 1 1函数 ( ) = 2 + ln 2的定义域为(0, + ∞)，求导得
′( ) = 12 2 +
1 2 1
= 2 2 ，
∈ (0, 1当 2 )时，
′( ) < 0 ∈ ( 1；当 2 , + ∞)时，
′( ) > 0，
所以函数 ( ) 1 1的单调递减区间为(0, 2 )，单调递增区间为( 2 , + ∞)．
2
(2)由(1) 1 1知 ( 2 ) = 2 ln2 < 0， (
1
e2 ) =
e 5
2 2 > 0, (1) = 0，
1
因此函数 ( )有两个零点 1, 2，且 0 < 1 < 2 < 2，即 2 = 1，
1 1 1
则所求切线的切点坐标为(1,0)，斜率 = ′(1) = 2，切线方程为 = 2 2
1 1
所以曲线 = ( )在点( 2, ( 2))处的切线方程为 = 2 2．
17.(1)设 , 的交点为 ，连接 ，因为四边形 为正方形，所以 为 的中点，
又在矩形 中，因为 是线段 的中点，所以 = ， // ，
所以四边形 为平行四边形，所以 // ，
又因为 面 ， 面 ，所以 //平面 ．
(2)正方形 和矩形 所在的平面互相垂直，
平面 ∩平面 = ， 平面 ， ⊥ ，
则 ⊥平面 ，
以 为原点， , , 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
2则 2 ,
2 2 2
2 , 0 ， (0,0,1)， 2, 2, 0 ， 2 , 2 , 1 ， 2, 2, 1 ， 2, 0,0 ， 0, 2, 0 ，
所以 = 2 , 2 , 1 ， 2 2 = 2, 2, 0
2 2
， = 2 , 2 , 1 ，
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因为 ⊥ , ⊥ , ∩ = ， , 平面 ，所以 ⊥平面 ，
所以 = 2, 0,0 为平面 的一个法向量，
因为 = 2 , 22 2 , 1 2, 2, 0 = 0，
= 22 ,
2 , 1 2 , 22 2 2 , 1 = 0，
所以 ⊥ , ⊥ ，所以 为平面 的一个法向量，
所以 cos

, = = 1 = 1 ，所以 与
π
的夹角为 ．
2× 2 2 3
即所求的二面角 π的大小为3．
法 2：在平面 中过 作 ⊥ 于 ，连接 ，
∵ ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ，
∴ ⊥平面 ，
∴ 是 在平面 上的射影，
由三垂线定理得 ⊥
∴ ∠ 是二面角 的平面角
Rt ASB 6在 中， = = 3 ， = 2，
∴ tan∠ = 3，∠ = 60°，
∴二面角 的大小为 60°；
(3)设 ( , , 0)，(0 ≤ ≤ 2)，则 = ( 2 , 2 , 1), = (0, 2, 0)，
因为 与 所成的角是 60°，
所以 cos60° = cos

= | | = 2 2 = 1，
| | | | 2 2 22× 2 + 2 +1
= 2 = 3 2解得 2 或 2 (舍)．
故 为线段 的中点．

18.(1)因为 ( ) = e ′ e e ( 1)e ，所以 ( ) = = ，
′(1) = (1 1)e
1
所以 1 = 0，
所以所求切线方程为 e = 0；
(2)因为 ( ) = ( ) = e ，所以 ′( ) = e ，
设过原点的切线 切 ( )于点( , e )，
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则切线方程为： e = e ( )，又其过原点，
所以 e = e ，所以 = 1，
所以切线 的方程为 e = e( 1)，即为 e = 0．
19.(1)由 120 5人中随机抽取 1 人抽到喜欢钉钉直播上课的学生的概率是12，
故喜欢钉钉直播上课的学生共有 50 人，列联表补充如下：
男生 女生 合计
喜欢钉钉直播上课 20 30 50
不喜欢钉钉直播上课 40 30 70
合计 60 60 120
120×(20×30 30×40)2 24
由已知数据可求得： 2 = 60×60×50×70 = 7 ≈ 5.429 > 3.841，
所以没有 95%的把握认为喜欢钉钉直播上课与性别有关．
(2)由(1)知喜欢钉钉直播上课的男女生比例为 2: 3，
按照分层抽样的方法，从该类学生中抽取 5 人组成总结交流汇报小组，抽取男生 2 人，
则 的可能取值为 0，1，2，
C0C3 1 C1C2 3 C2C1
则 ( = 0) = 2 33 = 10， ( = 1) =
2 3 = ， ( = 2) = 2 3 = 33 5 3 10，C5 C5 C5
所以 的分布列为：
0 1 2
1 3 3
10 5 10
的数学期望为： ( ) = 0 × 110 + 1 ×
3
5 + 2 ×
3 6
10 = 5．
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