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2024-2025 学年上海师范大学附属中学宝山分校高二下学期五月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为负数，对此描述正确的是( )
A.气候温度高，海水表层温度就高
B.气候温度高，海水表层温度就低
C.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势
D.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势
2.甲、乙两选手进行乒乓球比赛，采取五局三胜制(先胜三局者获胜，比赛结束)，如果每局比赛甲获胜的概
率为 (0 < < 1)，乙获胜的概率为 1 ，则甲选手以 3：1 获胜的概率为( )
A. C2 3 2 23 (1 ) B. C3 (1 ) C. C3 34 (1 ) D. 3(1 )
3.若过点 (1, )可以作三条直线与曲线 : = 相切，则 的取值范围是( )
A. 5 5 3 1 2 , 0 B. 2 , C. (0, + ∞) D. 2 ,
4.如图，图中外形轮廓像阿拉伯数字“8”的曲线叫双纽线，它不仅体现了数学美的简洁、对称、和谐、抽
象、精确、统一、奇异、突变，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基
石．图中双纽线 的方程： 2 + 2 2 = 9 2 2 ，于此曲线，给出如下结论：
①曲线 的图象关于原点对称
②曲线 经过 5 个整点(横、纵坐标均为整数的点)
③曲线 上任意一点到坐标原点 的距离都不超过 3
④若直线 = 与曲线 只有一个交点，则实数 的取值范围为 ∞, 1 ∪ 1, + ∞
其中正确结论的个数为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
5.抛物线 2 = 的焦点到其顶点的距离为 ．
6.已知随机变量 ( , )，若 ( ) = 30, ( ) = 20，则 = ．
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7.函数 ( ) = 3 在 = 1 处取得极值，则实数 的值为 ．
1 0 1 2
8.设随机变量 的分布 1 1 1 1 ，则 [2 + 1] = ．
8 2 8 4
9.某校面向高二全体学生共开设 3 门体育类选修课，每人限选一门．已知这三门体育类选修课的选修人数
之比为 6: 3: 1，考核优秀率分别为 20%，10%和 12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一
名，其成绩是优秀的概率为 ；
10 1 1 2.已知两个随机事件 , ，若 ( ) = 5， ( ) = 4， ( | ) = 3，则 = ．
11 1.某次数学考试中，学生成绩 服从正态分布 105, 2 .若 (90 ≤ ≤ 120) = 2，则从参加这次考试的学生
中任意选取 3 名学生，恰有 2 名学生的成绩高于 120 的概率是 ．
2 2
12.已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的左，右焦点分别为 1, 2， 是 上一点，
2 1 2 = 0，且
2 , 1 2 , 1 成等差数列，则 的离心率为 ．
13.从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活．世界性与区域性温度的异
常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会．已知蝗虫的产卵量 与温度 的关系可以用模型 = e 2 1 (其中 e
为自然对数的底数)拟合，设 = ln ，其变换后得到一组数据：
20 23 25 27 30
2 2.4 3 3 4.6
由上表可得经验回归方程 = 0.2 + ，则当 = 35 时，蝗虫的产卵量 的估计值为 ．
14.若实数 , 满足2 2 = 5，则 3 的最小值为 ．
15.将一枚均匀的硬币连续抛掷 次，以 表示没有出现连续 3 次正面的概率，则 的递推关系式为 ．
16
2
.椭圆 ： 22024 + = 1 的内接等腰三角形，其中它有至少两个顶点是椭圆的顶点，这样的等腰三角形的
个数为 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
如图所示，在四棱锥 中， ⊥平面 ， ⊥ ， // ， = = 2， = 4．
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(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2) π若异面直线 和 所成角为3，求点 到平面 的距离．
18.(本小题 14 分)
已知函数 ( ) = ( 2)e 12
2 + ∈ R ．
(1)当 = 0 时，求曲线 = ( )在点 0, (0) 处的切线方程；
(2)当 ≥ 2 时， ( ) ≥ 0 恒成立，求 的取值范围．
19.(本小题 14 分)
2024 年某瓷器公司计划向市场推出两种高档中国红瓷杯 和 ，已知 和 烧制成功率分别为 80％和 90％，
烧制成功一个 ，盈利 30 元，否则亏损 10 元；烧制成功一个 ，盈利 80 元，否则亏损 20 元．
(1)设 为烧制一个 和一个 所得的利润之和，求随机变量 的分布和数学期望；
(2)求烧制 4 个 所得的利润不少于 80 元的概率；
(3)公司将用户对中国红瓷器的喜欢程度分为“非常满意”(得分不低于 85 分)和“满意”(得分低于 85 分)
两类，通过调查完成下表．
[75,80) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100)
年龄低于 45 岁 6 14 42 31 7
年龄不低于 45 岁 4 6 47 35 8
根据调查数据完成下列 2 × 2 列联表，并依据显著性水平 = 0.05 的独立性检验，判断居民对瓷器的喜欢
程度是否与年龄有关联？
非常满意 满意 合计
年龄低于 45 岁
年龄不低于 45 岁
合计
( )2
附： 2 = 2( + )( + )( + )( + )， = + + + ， ( ≥ ) ≈ ， 与 的若干对应数值见下表：

0.25 0.05 0.005

1.323 3.841 7.879
20.(本小题 14 分)
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2 2
在平面直角坐标系 中，已知 1, 2是椭圆 :

2 +

2 = 1( > > 0)的左右焦点，以 1 2为直径的圆和椭
圆 在第一象限的交点为 ，若三角形 1 2的面积为 1，其内切圆的半径为 2 3．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若点 是椭圆 的上顶点，过点 (2,1)的直线 与椭圆 交于 , 两点，其中点 在第一象限，点 在 轴下
方且不在 轴上，设直线 ， 的斜率分别为 1, 2
(ⅰ)若 1 2 = 1 + 2 ，求出 的值；
(ⅱ)设直线 与 轴交于点 ，求 的面积 的最大值．
21.(本小题 14 分)
定义域为 R 的可导函数 = ( )满足，在曲线 = ( )上存在三个不同的点
1, 1 , 2, 2 , 3, 3 1 < 2 < 3 ，使得直线 与曲线 = ( )在点 处的切线平行(或重合).若
1, 2, 3成等差数列，则称 ( )为“等差函数”；若 1, 2, 3成等差数列且 1, 2, 3均为整数，则称 ( )为“整
数等差函数”．
(1)设 ( ) = 2 + ， ( ) = sin ，分别判断 ( )和 ( )是否为“整数等差函数”，直接写出结论；
(2)若 ( ) = 1 2+ 为“整数等差函数”，求实数 的最小值；
(3)已知 = ( )的导函数 = ′( )在 R 上为增函数，且存在一个正常数 ，使得对任意 ∈ R， ( + ) =
′( )成立，证明： ( )为“等差函数”的充要条件是 ( )为常值函数．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.14/0.25
6.13
7.3
8.2
9.0.162
10. 715
11. 964
12.2
13.e5
14.2log25 + 3log23 2(或log2675 2)
15. =
1
2 ×
1 1
1 + 4 × 2 + 8 × 3( ≥ 4)
16.24
17.(1)
取 的中点 ，连接 ，
∵ = 4，∴ = = 12 = 2，
∵ // ， = 2，∴ // 且 = ，
∴四边形 是平行四边形，∴ = = 2， // ，
∵ ⊥ ，∴ ⊥ ， ⊥ ，
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∴ = 2 + 2 = 2 2， = 2 + 2 = 2 2，
∴ 2 + 2 = 2，∴ ⊥ ，
∵ ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ，
∵ ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 ⊥平面 ；
(2)
连接 ， ， ，
由(1)可知 // ， = ，∴四边形 是平行四边形，
∴ // ，且 = ，
∴ ∠ 是异面直线 和 π所成角，即∠ = 3，
设 = ，∵ = = 2，∴ = = 2 + 4， = = 2 2，
∴△ 是等边三角形，∴ 2 + 4 = 2 2，∴ = 2，即 = 2，
∵ = 2 2， ⊥ ，∴ = 2 + 2 = 2 3，
由(1)知， ⊥平面 ，∴ ⊥ ，
∴ 1 1 = 2 × × = 2 × 2 2 × 2 3 = 2 6，
= 1 2 × × =
1
2 × 2 × 2 = 2，
设点 到平面 的距离为 ，
∴ 1 1 = ，即3 = 3 ，即 2 6 = 4，
∴ = 4 = 6 62 6 3 ，即点 到平面 的距离为 3 ．
18.(1)当 = 0 时， ( ) = ( 2)e ， (0) = (0 2)e0 = 2，
′( ) = ( 1)e ， ′(0) = (0 1)e0 = 1，
所以切线方程为 + 2 = ，即 + + 2 = 0；
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(2)解法一： ′( ) = ( 1) e ，
①当 ≤ 0 时，因为 ≥ 2，所以 1 > 0，e > 0，所以 ′( ) > 0，
则 ( )在[2, + ∞)上单调递增， ( ) ≥ (2) = 0 成立．
②当 0 < ≤ e2时， ′( ) ≥ 0，所以 ( )在[2, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) ≥ (2) = 0 成立．
③当 > e2时，在区间 2, ln 上， ′( ) < 0；在区间 ln , + ∞ 上， ′( ) > 0，
所以 ( )在 2, ln 上单调递减，在 ln , + ∞ 上单调递增，
由于 (2) = 0，故在 2, ln 上 ( ) < 0，不符合题意．
综上所述， 的取值范围是 ∞, e2 ．
1
解法二：当 ≥ 2 时， ( ) ≥ 0 恒成立，等价于当 ≥ 2 时，( 2)e 22 + ≥ 0 恒成立．
1
即 2 2 ≤ ( 2)e 在[2, + ∞)上恒成立．
当 = 2 时，0 ≤ 0，所以 ∈ R．

当 > 2 1时， 22 > 0
( 2)e 2e
，所以 ≤ 1 2 = 恒成立．
2
( ) = 2e

设 ，则
′( ) = 2( 1)e 2 ，因为 > 2，所以
′( ) > 0，
所以 ( )在区间(2, + ∞)上单调递增．所以 ( ) > (2) = e2，所以 ≤ e2．
综上所述， 的取值范围是 ∞, e2 ．
19.(1)由题意可知： 和 烧制成功率分别为 0.8 和 0.9，
随机变量 的可能取值为 30,10,70,110，则有：
( = 30) = (1 0.8) × (1 0.9) = 0.02, ( = 10) = 0.8 × (1 0.9) = 0.08，
( = 70) = (1 0.8) × 0.9 = 0.18, ( = 110) = 0.8 × 0.9 = 0.72，
所以随机变量 的分布列为
30
10 70 110

0.02 0.08 0.18 0.72
随机变量 的期望 ( ) = 30 × 0.02 + 10 × 0.08 + 70 × 0.18 + 110 × 0.72 = 92(元)．
(2)设烧制 4 个 成功的件数为 ，则 (4,0.8)，
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设烧制 4 个 所得的利润为 ，则 = 30 10(4 ) = 40 40，
令 = 40 40 ≥ 80，解得 ≥ 3，
所以 ( ≥ 80) = ( ≥ 3) = ( = 3) + ( = 4) = C34 × 0.83 × (1 0.8) + 0.84 = 0.8192．
(3)根据题意完善 2 × 2 列联表可得：
非常满意 满意 合计
年龄低于 45 岁 80 20 100
年龄不低于 45 岁 90 10 100
合计 30 170 200
零假设 0：居民对瓷器的喜欢程度是否与年龄没有关联，
2
2 = 200(20×90 10×80) = 200则 100×100×30×170 51 ≈ 3.9216 > 3.841，
依据显著性水平 = 0.05 的独立性检验，可知零假设 0不成立，
所以居民对瓷器的喜欢程度是否与年龄有关联．
20.(1) 1由题意知∠ 1 2 = 90°，则 1 2 = 2 1 2 = 1 1 2 = 2，
又 2 + 21 2 = 2 2 2 2 2 2 21 2 = 4 ， 1 + 2 2 1 2 = 4 4 4 = 4 2 = 1，
2
= 又 1 2内 2 +2 = 2 3 + = 2 + 3， = 2 3，解得 = 2， = 3， = 1，
2
所以椭圆 的方程为 4 +
2 = 1．
(2)(ⅰ)设直线 的方程为 1 = ( 2) 1，其中 > 4，且 ≠ 1，即 = 2 + 1，
设直线 与椭圆 交于点 1, 1 ， 2, 2 ，
= 2 + 1,
联立方程组 2 2 整理得 4
2 + 1 2 16 2 8 + 16 2 16 = 0，
4 + = 1,
= 16 2 8 2 4 4 2 + 1 16 2 16 > 0，
+ = 16
2 8 16 2 16
所以 1 2 4 2+1 ， 1 2 = 4 2+1 ，
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(ⅰ) ∵ 1 2 = 1 + 2 ，∴
1
=
1+ 2 1
= +
1
1 2 1 2
1 1 1
+ =
1 + 2 1 2 1 2
1 2 1 1 2 1
= 1 2
+ 2 = 2 1 2
+ 2 2
2 1 = 2 1 + 2 2 1 2 1 + 2 1 2
=
2 2
1 2 2 1 + 2 +4
16 2 16 16 2 8 8
2
= 4
2 +1 4 2 +1 2 4 2 +1
=16 2 16 2× 16
2 8 +4
4 = 4
4 2 +1 4 2 +1 4 2 +1
1
即 = 4
1
， = 4
(ⅱ) 1 1法一：直线 的方程为 = 1 + 1，令 = 0，得 = ，故 , 0 ，1 1
设直线 与 轴交于点 ，直线 的方程为 = 2 + 1，令 = 0
1 1
，得 = ，故 ,0 联立方程组2 2
= 2 + 1,
2 2 整理得 4
2 2
+ = 1, 2
+ 1 + 8 2 = 0，
4
= 8
2
解得 22 或 0(舍)，
8 2 8 2
4 2+1 2
= 2 2 + 1 = 2 2 + 1 = 4 +1 4 2 + 1，2 2 2+1
所以 的面积
2 2
= 12 | | 2 =
1
2
1
+
1 1 8 2 2 + 1 =
1 + 1 4 2
1 2 4 2+1 1
，
2 4 22+1
(ⅰ) 1 1由 可知， + = 4，故
1
= 4 +
1
，代入上式，
1 2 1 2
2 4 2 = 4 + 2 = 2+ 1 8
2
所以 2 2 4 22+1
，
2 4 22+1
因为点 在 1 1 1轴下方且不在 轴上，故 2 < 2或 2 > 2，得 2 + > 0，2
= 2 + 1 8
2
2 = 8 2 2
2
2+1 4 2+2 2 2 2 1所以 2 4 2+1 4 2
= 4 = 4 1 + ，
2 2+1 4
2+1 4 22 2+1
< 1 = 4 1 + 2 2 1显然，当 2 2时， 2 < 4
1 2 2 1，当
4 +1 2
> 2时， = 4 1 + 2 > 4，2 4 2+1
1
故只需考虑 2 > 2，令 = 2 2 1，则 > 0，
= 4 1 + = 4 1 + 1 ≤ 4 1 + 1所以 ( +1)2+1 +2
= 2 2 + 2，
+2 2 2 +2
= 2当且仅当 ， = 2，即 2 =
2+1
2 时，不等式取等号，
所以 的面积的最大值为 2 2 + 2．
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法二：直线 1 1的方程为 = 1 + 1，令 = 0，得 = ，故 , 0 ，设直线 与 轴交于点 ，直线1 1
的方程为 = 2 + 1，令 = 0，得 =
1
，故
1
, 0 ，2 2
1 1 1
由(ⅰ)可知， + = 4，故
1
= 4，所以点 (2,0)是线段 的中点，1 2 1 2
故 1的面积 = 2 = 2 × 2 | | × = 5 ，
其中 为点 到直线 的距离，
思路 1 显然，当过点 且与直线 平行的直线 ′与椭圆 相切时， 取最大值，
′ 1设直线 的方程为 = 2 + ( < 0)，即 + 2 2 = 0，
= 12 + ,
联立方程组 2 2 2 整理得 2 + 2 2 = 0，+ 24 = 1,
据Δ = ( 2 )2 4 2 2 2 = 0，解得 = 2(正舍)，
所以平行直线 ′: + 2 + 2 2 = 0 与直线 : + 2 2 = 0 之间的距离为
2 2 ( 2) = 2 2+2 2 2+25 5 ，即 的最大值为 5 ，
2 2+2
所以 的面积的最大值为 5 × 5 = 2 2 + 2．
思路 2 因为直线 的方程为 + 2 2 = 0，所以 = 5 = 5 2+2 2 2 = + 2 2 ，
12+22 2 2
2
因为 2, 2 在椭圆

上，故 24 +
2
2 = 1，设 2 = 2cos ， 2 = sin ，不妨设 ∈ π,
3π ∪ 32 2π, 2π ，
所以 = 2 + 2 2 2 = 2cos + 2sin 2 = 2 2sin +
π
4 2 ，
当 = 5π 24， 2 = 2， 2 = 2 时， ≤ 2 2 + 2，
即 的面积的最大值为 2 2 + 2．
21.(1)假设 1, 2, =
1+
3成等差数列，得
3
2 2 ，
设公差为 ，则 = 2 1 = 3 2 > 0，
2 2
对于 ( ) + ：直线 的斜率 = 3 1 3 3 1 1 3
= = 3 + 1 + 1，1 3 1
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因为 ′( ) = 2 + 1，所以曲线 = ( )在点 处的切线斜率为 ′ 2 = 2 2 + 1，
由题意， = ′ 2 3 + 1 + 1 = 2 2 + 1 恒成立，
取 2 = 2， = 1，则 1, 2, 3成等差数列且均为整数，故 ( )是“整数等差函数”．
( ) = 3 sin sin 对于 ，直线 的斜率 1 = 3 1 = sin 2+ sin 2 cos 2sin 2 = ，3 1 3 1
因为 ′( ) = cos ，所以曲线 = ( )在点 处的切线斜率为 ′ 2 = cos 2，
由题意 = ′ cos 2sin 2 = cos 2 cos 2 sin = 0，
1若 2 ∈ Z，则 2 ≠ + 2 π, ∈ Z cos 2 ≠ 0，
令 ( ) = sin ， ∈ (0, + ∞)，则 ′( ) = cos 1 ≤ 0 恒成立，所以 ( )在(0, + ∞)上单调递减，
所以 ( ) = sin < (0) = 0，即 sin < 0 在(0, + ∞)上恒成立，
即 sin < 0( > 0)恒成立，所以 cos 2 sin = 0 无解，
故 ( )不是“整数等差函数”．
(2)因为 ( )为“整数等差函数”，所以 1, 2, 3成等差数列且 1, 2, 3均为整数，
设公差为 ，则 = 2 1 = 3 2 > 0，且 ∈ Z，
1 1
2+ 2
直线 的斜率 = 3 1 = 3 1
+
= 1+ 3 3 1
，
3 1 21+
2
3+
因为 ′( ) = 2 2，所以曲线 = ( )在点 处的切线斜率为 ′ 2 =
2 2 ，
2+ 2
2
2+
= ′ 1+ 3 = 2 由题意， 2 2 2+ 2 ，1 3+ 2 22+
又 = ( )的定义域为 R，有 > 0，
当 2 = 0 时， 1 + 3 = 0，此时 > 0，无最小值；
当 2 ≠ 0 时，因为 1 = 2 ， 3 = 2 + ，
2
所以 2 + = 22 1 + 23 +
42 + 2 22 = 2 2 2 + 2 + 2 2 + 2 + 2
4 + 2 22 2 = 4 2 2 2 42 2 + + 2 22 + 2 2
2 2
= 2 2 2 ，
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则 ≥ 1 12，可取 2 = = 1 使等号成立，故 的最小值为2 ;
综上，实数 无最小值；
(3)充分性，因为 ( )为常值函数，所以 ′( ) = 0，

任意取等差数列 1, 2, 3 1 < 2 < 3 ，则直线 的斜率 3 1 = 3
= 0，
1
曲线 = ( )在点 处的切线斜率为 ′ 2 = 0，
因为 = ′ 2 ，所以 ( )为“等差函数”．
必要性，因为 ( )为“等差函数”，所以 1, 2, 3 1 < 2 < 3 成等差数列，
设公差为 ，则 = 2 1 = 3 2 > 0，
= 3 直线 的斜率 1 3 1 = ，3 1 3 1
曲线 = ( )在点 处的切线斜率为 ′ 2 ，

由题意， = ′ 3 1 2 =
′ 2 ，
3 1
2 + 2 = 2 ′ 2 ，
令 ( ) = 2 + 2 2 ′ 2 , > 0，
则 ′( ) = ′ 2 + + ′ 2 2 ′ 2
= 2 + + + 2 + 2 2 + ，
令 ( ) = 2 + + + 2 + 2 2 + ，
则 ′( ) = ′ 2 + + ′ 2 + ，
因为 ′( )在 R 上为增函数，所以 ′( ) ≥ 0， ( )在(0, + ∞)上为增函数，
因为 (0) = 0，所以 ′( ) = ( ) ≥ 0， ( )在 R 上为增函数，
因为 (0) = 0，所以 ( ) ≥ 0 在(0, + ∞)上恒成立，
又 ( ) = 0，由 ( )的单调性知 ( ) = 0, ∈ (0, )，
故 ′( ) = 0, ∈ (0, )， ′( ) = 0, ∈ (0, )，
′( ) = , ∈ 2 + , 2 + + ， 为常数，
( ) = , ∈ 2 + 2 , 2 + + 2 ，
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′( ) = 0, ∈ 2 + 2 , 2 + + 2 ，
( ) = 0, ∈ 2 + 3 , 2 + + 3 ，
接下来，一方面，因为 ( + ) = ′( )，且 ′( )在 R 上为增函数，
所以 ( )在 R 上为增函数，故 ′( ) ≥ 0， ( ) ≥ 0，
由 ( ) = 0, ∈ 2 + 3 , 2 + + 3 ，可得 ( ) = 0, ∈ ∞, 2 + + 3 ，
另一方面，因为 ( + ) = ′( )，
所以 ′( ) = 0, ∈ ∞, 2 + + 3 ，可得 ( ) = 0, ∈ ∞, 2 + + 4 ，
以此类推， ( ) = 0 在 R 上恒成立，即 ( )为常值函数．
命题得证！
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