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2024-2025学年吉林省松原市乾安县G35联合体吉林八校高二下学期 5
月期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数 ( ) = cos , ′( ) π是 ( )的导数，则 ′ 2 =( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. π2
2.已知等差数列 的前 项和为 ，且 2 + 4 = 6，则 5 =( )
A. 0 B. 10 C. 15 D. 30
3.函数 ( ) = e 的单调递增区间是( )
A. (1, + ∞) B. ( ∞,1) C. ( ∞, 1) D. ( 1, + ∞)
4.有 5 本不同的书，全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为( )
A. 1024 种 B. 625 种 C. 240 种 D. 120 种
5.在一个关于 AI 智能助手的准确率测试中，有三种不同的 AI 模型 ， ， .模型 的准确率为 0.8，模型
的准确率为 0.75，模型 的准确率为 0.7.已知选择模型 ， ， 的概率分别为 0.4，0.4，0.2.现随机选取一个
模型进行测试，则准确率为( )
A. 0.56 B. 0.66 C. 0.76 D. 0.86
6.设(1 )9 = 0 + 91 + + 9 ，则 0, 1, …, 9中最大的是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7.设公比为 的等比数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，且 > 1， > 1

， 2024
1
1 2024 2025 < 0，则下2025 1
列结论正确的是( )
A. > 1 B.数列 2 无最大值 C. 2025是数列 中的最大值 D. 2024 2025 > 2024
8.有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有 ， ， ， ， ， ， ， 共八个点，一枚棋子起始位置在点
处，抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为 ( = 1,2, , 6).则棋子前进 步，每步从一个点按顺时针
方向前进到相邻的另一个点，可以循环进行，抛掷三次骰子后，游戏结束.若此时棋子在点 处，则游戏过
关.试问游戏结束时过关的概率为( )
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A. 118 B.
1
12 C.
1
6 D.
1
8
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( )的导函数为 ′( )， ′( )的部分图象如图所示，则( )
A. ( )在 1, 2 上单调递增 B. ( )在 2, 3 上单调递减
C. 1是 ( )的极小值点 D. 2是 ( )的极大值点
10.下列四个命题中为真命题的是( )
A.已知 ～ (40, )，且 ( ) = 16，则 = 0.4
B. 4 个男同学，3 个女同学站成一排，任何两个女同学彼此不相邻，有 240 种不同的排法
1 10C.二项式 2 的展开式中的常数项是 45
D.已知随机变量 服从正态分布 , 2 ，若 ( < 2) = ( > 6) = 0.15，则 (2 ≤ < 4) = 0.35
11 1 1 1 1. 为等差数列 的前 项和，公差 > 0，若 3 5 7 = 105，且 + + = ，则( )3 5 5 7 3 7 7
A. 5 = 5
B. 9 = 90
C.对于任意的正整数 ，总存在正整数 ，使得 =
D.一定存在三个正整数 ， ， ，当 < < 时，2 ，2 ，2 三个数依次成等差数列
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.若从 1，2，3，4，5 这五个数字中任取 2 个偶数和 2 个奇数，组成一个无重复数字的四位数，则不同
的四位数的个数是 ．
13 2 4 15.已知 ( ) = 5， ( ) = 11， = 22，则 = ．
14.赵爽是我国古代的数学家 天文学家，大约在公元 222 年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾
股圆方图”，亦称“赵爽弦图”.第 24 届国际数学家大会会标就是以“赵爽弦图”为基础进行设计的.如图，
四边形 1 1 1 1是由四个全等的直角三角形与一个小正方形 拼成的一个大正方形.如果小正方形的面
积为 1，再以正方形 1 1 1 1为“小”正方形向外作“弦图”，得到正方形 2 2 2 2……按此作法进行下
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去，记∠ π π1 1 = ， ∈ 4 , 2 ，正方形 的面积为 ∈
. tan = 4若 3，则 15 = ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
1 1
已知数列 2 的前 项和为 = 2 + 2 , ∈ N+．
(1)求 的通项公式 ；
(2)设 = 1 ， 是数列 的前 项和，求 ． +1
16.(本小题 15 分)
已知(1 2 ) = 0 + 1 + 22 + + ∈ .其中 0, 1, 2, ∈ ，且(1 2 ) 展开式中仅有第
5 项的二项式系数最大．
(1)求 的值及二项式系数最大的项；
(2)求 0 + 1 + 2 + + (用数值作答)；
(3)求 0 + 2 + 4 + 6 + 8的值(用数值作答)
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 3 2 + ．
(1)若函数 ( )在 = 1 处取得极小值 4，求实数 ， 的值；
(2)已知 > 0，且函数 ( )的极大值是 1，讨论函数 ( )的零点个数．
18.(本小题 17 分)
某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、
乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从 6 个招标问题
中随机抽取 3 个问题，已知这 6 个招标问题中，甲公司可正确回答其中 4 道题目，而乙公司能正确回答每
2
道题目的概率均为3，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
(1)求甲、乙两家公司共答对 2 道题目的概率；
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(2)设甲公司答对题数为随机变量 ，求 的分布列、数学期望和方差；
(3)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
19.(本小题 17 分)
′ ′
对于函数 ( )，规定 ′( ) = ( ) ′， (2)( ) = ′( ) ，…， ( )( ) = ( 1)( ) ， ( )( )叫做函数 ( )
的 阶导数．若函数 ( )在包含 0的某个闭区间[ , ]上具有 阶导数，且在开区间( , )上具有( + 1)阶导数，
(2) ( )
则对闭区间[ , ]上任意一点 ， ( ) = ′ 0 2 0 0 + 0 0 + 2! 0 + + ! 0 +
( )( )，该公式称为函数 ( )在 = 0处的 阶泰勒展开式， ( )( )是此泰勒展开式的 阶余项．已知函数
( ) = ln( + 1)．
(1)写出函数 ( )在 = 1 处的 3 阶泰勒展开式( ( )( )用 (3)( )表示即可)；
(2)设函数 ( )在 = 0 处的 3 阶余项为 ( )，求证：对任意的 ∈ ( 1,1)， ( ) ≤ 0；
(3) 1 1 1 1
27
求证： 1 + 2 1 + 22 1 + 23 1+ 2 < e22 ∈ N
．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.72
13.34/0.75
14.2515或530
15.(1) = 1 2
2 + 12 中，令 = 1 得 =
1 + 11 2 2 = 1，
当 ≥ 2 时， = 1 2 1 1 2 1 1 = 2 + 2 2 ( 1) + 2 ( 1) = ，
又 1 = 1 适合上式，所以 = ；
(2)由(1) 1 1 1 1知： = = ( +1) = +1， +1
= 1 1所以 1 2+
1 1 + 1 1 1 1 1 2 3 3 4 + + +1 = 1 +1 = +1．
16.(1)由(1 2 ) 展开式中仅有第 5 项的二项式系数最大可知C4 为唯一的最大，故 = 8，
则第 5 项为C4 4 4 4 48( 2 ) = C8( 2) = 1120 4
(2)令 = 1，则 0 + 1 + 2 + + = (1 2)8 = 1
(3)令 = 1，则 0 1 + 2 + = (1 + 2)8 = 38，与(2)中两式求和，
1+38
故 0 + 2 + 4 + 6 + 8 = 2 = 3281
17.(1)因为 ( ) = 2 3 2 + ，所以 ′( ) = 6 2 2 ，
因为函数 ( )在 = 1 处取得极小值 4，
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′
所以 (1) = 6 2 = 0 = 3，解得
(1) = 2 + = 4 = 3
,
此时 ′( ) = 6 2 6 = 6 ( 1)，由 ′( ) = 0，得到 = 0 或 = 1，
当 < 0 或 > 1 时， ′( ) > 0，当 0 < < 1 时， ′( ) < 0，
则 ( )在( ∞,0)和(1, + ∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，
所以当 = 1 时， ( )取到极小值，符合题意．
所以 = 3, = 3．
(2) ′( ) = 6 2 2 = 2 (3 )，令 ′( ) = 0 ，则 = 0 或 = 3，
若 > 0 ，当 < 0 或 > 时， ′3 ( ) > 0，当 0 < <
′
3时， ( ) < 0，
所以 ( ) 的单调递增区间为( ∞,0)， 3 , + ∞ ；单调递减区间为 0, 3 ，
当 = 0 时，函数 ( )取到极大值，即 (0) = = 1 > 0，所以 ( ) = 2 3 2 + 1，
当 = 3时，函数 ( )取到极小值，
3 2 2 3 3 3
即 3 = 2 3 3 + 1 = 27 9 + 1 = 27 + 1，
又当 → ∞时， ( ) → ∞，当 →+∞时， ( ) →+∞，
3
所以当 27 + 1 > 0，即 0 < < 3 时， ( )有 1 个零点；
3
当 27 + 1 = 0，即 = 3 时， ( )有 2 个零点；
3
当 27 + 1 < 0，即 > 3 时， ( )有 3 个零点．
18.(1)记“甲、乙两家公司共答对 2 道题”的事件为 ，它是甲乙各答对 1 道题的事件、甲答对 2 题乙没答
对题的事件和，它们互斥，
1 2 2 1
则有 ( ) = C4C2 × C13 3(
2
3 )
1(1 2 )2 + C4C23 3 × (1
2 )3 = 13 15，C6 C6
1
所以甲、乙两家公司共答对 2 道题目的概率是15．
(2)设甲公司答对题数为 ，则 的取值分别为 1,2,3，
1 2 2 1 3 0
( = 1) = C4C2 1 C4C2 3 C4C2 1
C3
= 5 , ( = 2) = 3 = 5 , ( = 3) =C C3 = ，6 6 6 5
则 的分布列为：
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1 2 3
1 3 1
5 5 5
( ) = 1 × 1+ 2 × 3 + 3 × 1 = 2 ( ) = (1 2)2 × 1 + (2 2)2 × 3 1 2期望 5 5 5 ，方差
2
5 5+ (3 2) × 5 = 5．
(3)设乙公司答对题数为 ，则 的取值分别为 0,1,2,3，
( = 0) = ( 1 )3 = 1 , ( = 1) = C1 × 2 × ( 13 27 3 3 3 )
2 = 29，
( = 2) = C2 × ( 2 )2 × 1 = 4 , ( = 3) = ( 2 )3 83 3 3 9 3 = 27，
则 的分布列为：

0 1 2 3
1 2 4 8
27 9 9 27
( ) = 0 × 1期望 27 + 1 ×
2
9 + 2 ×
4 8
9 + 3 × 27 = 2，
1 2 4 8
方差 ( ) = (0 2)2 × 27+ (1 2)
2 × 9 + (2 2)
2 × + (3 2)29 × 27 =
2
3，
显然 ( ) = ( ), ( ) < ( )，
所以甲公司竞标成功的可能性更大．
19.(1)由题意，函数 ( ) = ln( + 1)，且 (1) = ln2，
1
则 ′( ) = +1 ,
′(1) = 12，
(2)( ) = 1 (2) 1( +1)2 , (1) = 4，
(3)( ) = 2 , (3)( +1)3 (1) =
1
4，
所以函数 ( )在 = 1 处的 3 阶泰勒展开式为：
(2)(1)( 1)2 (3)(1)( 1)3
( ) = (1) + ′(1)( 1) + 2! + 3! + (3)( )
1 ( 1)2 ( 1)3
= ln2 + 2 8 + 24 + (3)( )
= ln2 + 1 3 224 ( 6 + 21 16)．
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(2)由(1)可知， (0) = 0, ′(0) = 1, (2)(0) = 1, (3)(0) = 2，
(4)( ) = 6 , (4)( +1)4 ( ) =
6
( +1)4，
所以函数 ( )在 = 0 处的 3 阶泰勒展开式为：
(2)(0) 2 (3)(0) 3
( ) = (0) + ′(0) + 2! + 3! + (3)( )
2 3= 2 + 6 + (3)( )，
(4)( ) 4
其中 (3)( ) = 4! ， 介于 0 与 之间的常数，
(4) ( ) = ( )
4 4
所以 4! = 4( +1)4，
1
因为4( +1)4为常数项，且 ( ) = ( )，
所以函数 ( )为偶函数，
3
因为 ′( ) = ( +1)4，
当 ∈ ( 1,0)时， ′( ) > 0，所以 ( )在( 1,0)单调递增，
当 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0，所以 ( )在(0,1)单调递减，
所以 ( ) ≤ (0) = 0，
故对任意的 ∈ ( 1,1)， ( ) ≤ 0．
(3)由(2)可知，函数 ( )在 = 0 处的 阶泰勒展开式为
2 3 3
ln( + 1) = 4 1 2! + 3! 4! + + ( 1) ! + ( )( )，
所以 ln( + 1) < ，
1
令 = 2 ，
则 ln( 12 + 1) <
1
2 ，
所以 ln( 1 121 + 1) + ln( 22 + 1) + + ln(
1 + 1) < 1 + 12 2 22 + +
1 1
2 = 1 2 ，
( 1 1 1 1 1
1 27
即 121 + 1)( 22 + 1)( 23 + 1) ( 2 + 1) < e 2 < e < e22．
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