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2024-2025 学年湖南省株洲市第十三中学高二下学期期中测试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数 满足 1 + 2i ( 1) = 2 i，则 =( )
A. 1 i B. 1 + i C. 2 i D. 2 + i
2.有 88 × 89 × 90 × 91 × × 100 可以表示为( )
A. C12 13 12 13100 B. C100 C. A100 D. A100
3.已知一个圆台的上下底面半径分别为 3 和 4，母线长为 2，则该圆台的侧面积为( )
A. 5 2 B. 7 2 C. 9 2 D. 16 2
4. π的内角 , , 的对边分别为 , , ，已知 = 3 , = 2, + = 3 ，则 的面积为( )
A. 8 3 12 B. 4 3 C. 2 33 3 D. 4 3 6
5.已知数列 满足 3 + 1 =

，且 1 = 1，则数列 的通项公式为( ) +1
A. 14 3 B.
1
5 4 C.
1 1
3 2 D. 2 1
2 2
6.已知 1,

2分别是双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点，点 是双曲线 上在第一象限内的一点，
若 sin∠ 2 1 = 2sin∠ 1 2，且∠ 1 2 = 60 ，则 的离心率为( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
7.如图，在圆锥 中， 是底面圆的直径， 在底面圆周上， = 4, ∠ = 30°, 是 的中点， 与
圆锥底面所成角的大小为60 ，则圆锥 的体积为( )
A. 12 3π B. 12π C. 4 3π D. 4π
8.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处
理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.马尔科夫链因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其
过程具备“无记忆”的性质，即第 + 1 次状态的概率分布只跟第 次的状态有关，与第 1， 2， 3，
次状态无关.现有 ， 两个盒子，各装有 1 个黑球和 1 个红球，现从 ， 两个盒子中各任取一个球交换放
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入另一个盒子，重复进行 ∈ 次这样的操作后，记 盒子中红球的个数为 ，恰有 1 个红球的概率为 .
则 11的值为( )
A. 13652048 B.
1367 C. 1369 13632048 2048 D. 2048
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下四个命题中，真命题的有( )
A.在回归分析中，可用相关指数 2的值判断模型的拟合效果， 2越大，模型的拟合效果越好；
B.回归模型中残差是实际值 与估计值 的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高；
C.对分类变量 与 的统计量 2来说， 2值越小，判断“ 与 有关系”的把握程度越大．
D. 1已知随机变量 服从二项分布 B , 3 ，若 (3 + 1) = 6，则 = 6．
10.已知函数 ( ) = 2sin 2 π4 ，则下列说法正确的是( )
A. ( )的最小正周期为 2π
B.若 ( )在区间(0, ) 5π 9π恰有两个零点，则 的取值范围为 8 , 8
C.若 ( ) ≥ 1，且 0 ≤ ≤ 2π，则 0 ≤ ≤ 3π4
D.若 ( )在区间(0, ) 7π 11π恰有两个最值点，则 的取值范围为 8 , 8
11.已知函数 ( ) = ln + ， 为常数，若函数 ( )有两个零点 1， 2，且 1 < 2，则下列结论正确的是( )
A. 1ln 1 = 2ln 2 B. 0 < e + 1 < 1 C. 1 + 2 > 2e D.
1 1
ln +1 ln
> 2
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知随机变量 服从正态分布 1, 2 ，且 (1 < ≤ 2.5) = 0.46，则 ( > 2.5) = ．
13.直线 2 + 2 = 0 经过椭圆 2 2 = 1 的两个顶点，则该椭圆的离心率 = ．
14.在斜 中， 为锐角，且满足 3sin(2 + ) = sin 2 1 1，则tan + tan + tan 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
, 是偶数
在数列{ }中，若 ∈ N ，且 2 +1 = , ( = 1,2,3, )则称{ }为“ 数列”，设{ }为“ 数
+ 3, 是奇数
列”，记{ }的前 项和为 ．
(1)若 1 = 10，求 3， 6， 9的值；
(2)若 3 = 17，求 1的值．
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16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， ⊥平面 ， = 2 3．
(1)棱 上是否存在点 ，使 ⊥平面 ，若存在，请求出 的值；
(2)点 在线段 运动(包括 端点，不包括 端点)，当二面角 夹角最小时，试确定点 的位置．
17.(本小题 15 分)
2025 年春节联欢晚会中的创意融合舞蹈《秧 》轰动全球，标志着中国的服务机器人技术达到世界一流
水平.某人工智能企业的服务机器人研发部，自 2018 年至 2024 年投入巨资进行服务机器人技术研究开发，
取得了巨大的成就.该企业试产了三类不同型号的服务机器人 1, 2, 3，对其进行两次智能模仿成年人活动
检测．
(1)若 91型服务机器人第一次仿成年人拿水杯检测成功，则第二次检测成功的概率为10；若第一次检测不成
3 4
功，则第二次检测成功的概率为4 .已知 1型服务机器人第一次检测成功的概率为5，求 1型服务机器人第二
次检测成功的概率；
(2)试产 1, 2, 3型服务机器人进行两次仿成年人综合试验检测，已知第一次检测时， 1, 2, 3型合格的概
3 4 3 2 3 2
率分别为4 , 5 , 5，第二次检测时， 1, 2, 3型合格的概率分别为3 , 4 , 3 .两次检测相互独立，设经过两次检测
后， 1, 2, 3型服务机器人合格的种类数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望．
18.(本小题 17 分)

已知函数 ( ) = ln ， 为实数．
(1)若函数 ( )在 = 1 处的切线经过点(0,1)，求 的值；
(2)若 ( )有极小值，且极小值大于 2，求 的取值范围；
(3)若对任意的 1 > 2，且 1, 2 ∈ 1, e , 1 2 < 1 2恒成立，求 的取值范围. (e 为自然常数)
19.(本小题 17 分)
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2 2
已知 1,

2为椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点， 为椭圆 的上顶点，若 1 2为直角三角形，
且椭圆过点 (2,1)．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作斜率互为相反数的两条直线 1与 2分别交椭圆 于 , 两点，
①求证：通过点 , 的直线的斜率为定值，并求出该定值；
②求| |的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.04/ 125
13. 32
14.2 133
15.(1)当 1 = 10 时，{ }中的各项依次为 10，5，8，4，2，1，4，2，1， ，
即数列{ }从第四项开始每三项是一个周期，
所以 3 = 1 + 2 + 3 = 23，
6 3 = 4 + 5 + 6 = 4 + 2 + 1 = 7，所以 6 = 30，
9 6 = 7 + 8 + 9 = 4 + 2 + 1 = 7，所以 9 = 37．
(2)①若 +31是奇数，则 2 = 1 + 3 是偶数， = 23 2 =
1
2 ，
由 1+33 = 17，得 1 + ( 1 + 3) + 2 = 17，解得 1 = 5，符合题意．
②若 1是偶数，不妨设 1 = 2 ( ∈ N )，则
1
2 = 2 = ．
若 是偶数，则 = 2 3 2 = 2，由 3 = 17，得 2 + + 2 = 17，此方程无整数解；
若 是奇数，则 3 = + 3，由 3 = 17，得 2 + + + 3 = 17，此方程无整数解．
综上①②，可得 1 = 5．
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16.(1)如图，建立如图所示的空间直角坐标系，
0,0,2 3 ， (2,0,0)， (0,0,0)， (0,2,0)， (2,2,0)，
则 = 2,2, 2 3 ， = ( 2,2,0)，
由于 = 4+ 4 = 0，故 ⊥ ．
设 = ，0 ≤ ≤ 1，则 2 , 2 , 2 3 2 3 ，
则 = 2 2,2 , 2 3 2 3 ，要使 ⊥平面 ，
则 = 2(2 2) + 4 2 3 2 3 2 3 = 0 4，解得 = 5，
4 4故存在点 ，当 = 5 时， = 5．
(2)设 = ，0 ≤ ≤ 1，则 2 , 2 , 2 3 2 3 ，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
故 = 2 , 2 , 2 3 2 3 ， = (2,0,0)， = (0,2,0)，
= 2 + 2 + 2 3 2 3 = 0 ,
= 2 = 0
令 = ，则 = 0, 3 3, ．
设平面 的一个法向量为 = 0, 0, 0 ，
故 = 2,0, 2 3 ， = 2 2,2 , 2 3 2 3 ，
= (2 2) 0 + 2 0 + 2 3 2 3 0 = 0 ,
= 2 0 2 3 0 = 0
令 0 = 1，则 = 3, 0,1 ，设二面角 为 ，
cos = cos , = =

，
2 3( 1)2+ 2
= = 1 1 = ( )，
2 4 2 6 +3 2 4 6 3 + 2
因为 ∈ [0,1] 1 1，所以 ∈ [1, + ∞)，令 = ∈ [1, + ∞),
则 ( ) 1 1可化为 ( ) = 2 4 6 +3 2，
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由二次函数性质得 = 4 6 + 3 2在[1, + ∞)上单调递增，
由复合函数性质得 ( )在[1, + ∞)上单调递减，
则 ( ) ≤ (1) 1，则当 = 1 时，cos 最大，此时二面角 夹角最小，
故点 在点 处，与点 重合．
17.(1)记 = “ 1型服务机器人第一次仿成年人拿水杯检测成功”， = “ 1型服务机器人第二次仿成年人拿
水杯检测成功”，
( ) = 4 1 9 3则 5 , = 5 , | = 10 , | = 4．
因为 | = ( ) 4 9 18 ( ) ，所以 ( ) = ( ) | = 5 × 10 = 25，
因为 ( ∣ ) = ( ) 1 3 3，所以 = | = 5 × 4 = 20， ( )
( ) = ( ) + = 18 + 3 87则 25 20 = 100．
(2)三类不同型号的服务机器人检测合格的概率分别为：
1 =
3
4 ×
2 1 4 3 3 3 2 2
3 = 2 , 2 = 5 × 4 = 5 , 3 = 5 × 3 = 5，
1 3 2 3由题意随机变量 的可能取值为 0,1,2,3，则 ( = 0) = 1 2 1 5 1 5 = 25，
1 3 2 1 3 2 1 3 2 19
( = 1) = 2 1 5 1 5 + 1 2 5 1 5 + 1 2 1 5 5 = 50 ,
( = 2) = 1 32 5 1
2 1 3 2 1 3 2 19
5 + 1 2 5 5 + 2 1 5 5 = 50，
( = 3) = 1 3 2 32 5 5 = 25．
随机变量 的分布列为

0 1 2 3
3 19 19 3
25 50 50 25
3
所以 ( ) = 0 × 25 + 1 ×
19 19 3 3
50 + 2 × 50+ 3 × 25 = 2．
18.(1)因为 ( ) = ln ′( ) = 1 ，所以
′
+ 2，所以 (1) = 1 + ，
又 (1) = ，所以函数 ( )在 = 1 处的切线方程为 + = (1 + )( 1)，
因为切线经过点(0,1)，所以 1 + = (1 + )(0 1)，解得 = 1；
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(2) (1) 1 + 由 知 ′( ) = + 2 = 2 ，函数 ( )的定义域为(0, + ∞)，
当 ≥ 0 时， ′( ) > 0 在(0, + ∞)上恒成立，所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增，无极值，
当 < 0 时，令 ′( ) = 0，得 = ，
所以当 0 < < 时， ′( ) < 0，函数 ( )在(0, )上单调递减，
当 > 时， ′( ) > 0，函数 ( )在( , + ∞)上单调递增，
所以当 = 时，函数 ( )有极小值，极小值为 ( ) = ln( ) + 1，
由 ln( ) + 1 > 2，所以 < e，所以 的取值范围为 ∈ ∞, e ；
(3)由 1 2 < 1 2得 1 1 < 2 2，
令 ( ) = ( ) ，所以对任意的 1 > 2，且 1, 2 ∈ 1, e ， 1 < 2 恒成立，
所以 ( )在 1, e 单调递减，
2
所以 ′( ) = ′( ) 1 = 1 + + + 2 1 = 2 ≤ 0 在 1, e 上恒成立，
所以 ≤ 2 在 1, e 上恒成立，
因为二次函数 = 2 在 1, e 上单调递增，
所以函数 = 2 在 1, e 上的最小值为 0，
所以 ∈ ( ∞,0]．
19.(1)由题意 1 = ，则 是等腰直角三角形，即得 = ，从而 2 = 2 22 1 2 ．
4 1
又椭圆过点 (2,1)则有 2 2 2 + 2 = 1 解得 = 6, = 3．
2 2
∴椭圆 的方程： 6 +

3 = 1．
(2)
2 2
①由(1) 知椭圆 的方程为 6 + 3 = 1，设直线 1的方程： = ( 2) + 1，则 2的方程是 = ( 2) + 1．
令 1, 1 , 2, 2 ，
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= ( 2) + 1,
由 2 2 可得 1 + 2 2 2 + 4 8 2 + 8 2 8 4 = 0,
6 + 3 = 1
= 8
2 8 4
则有 1 1+2 2 ,
∵ 4
2 4 2 2
= 2 ∴ 1 = 1+2 2 , 1 = 1 2 + 1 =
2 4 +1
1+2 2 ，
= 4
2+4 2 2, = 2 +4 +1同理得 2 1+2 2 2 1+2 2 ，
2 2+4 +1 2 2 4 +1
∴ = 2

1 1+2 2 1+2 2 8
2
= 2 = = 1．1 4 +4 2 4 2 4 2 8
1+2 2 1+2 2
即直线 的斜率为定值，且定值为 1．
4 2 4 2 2 2 4 +1 4 2+4 2 2 2+4 +1
②由①知 1+2 2 , 1+2 2 , 1+2 2 , 1+2 2 ，
2
则| | = 22 1 + 2 2
128 128
1 = = ,
1+2 2 2 4 2+ 12+4
又 4 2 + 1 2 ≥ 4
1 2
，当且仅当 4 2 = 2即当 =± 2 时等号成立，
| | ≤ 128所以 8 = 4，即| |的最大值为 4．
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