资源简介

2024-2025 学年湖南省岳阳市汨罗市第二中学高二下学期 5 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = 1,0,1,2,3,4 ，集合 = 0,1,2 ， = 1,0,3 ，则 ∩ =( )
A. 1 B. 0,1 C. 1,3 D. 1,0,1,3
2.已知 为等腰三角形，满足 = = 3， = 2，若 为底 上的动点，则 ( + ) =
A.有最大值 8 B.是定值 2 C.有最小值 1 D.是定值 4
3.如图，一个水平放置的三角形 的斜二测直观图是等腰直角三角形 ′ ′ ′，若 ′ ′ = ′ ′ = 1，
那么原三角形 的周长是( )
A. 4 2 + 2 B. 2 + 2 2 C. 4 2 + 4 D. 4 + 2 2
4.已知 ( )满足 ∈ ， ( ) + ( ) = 0 1，且当 ≤ 0 时， ( ) = + (k 为常数)，则 (ln5)的值为( )．
A. 4 B. 4 C. 6 D. 6
5.如果 , 是空间中的两条直线， , 是空间中的两个平面，下列命题错误的是( )
A.直线 与 要么相交，要么不相交
B.当直线 与 不相交时， 与 要么平行，要么异面
C.直线 平面 ，要么 与 平行，要么 在 内
D.平面 与 要么相交，要么不相交
6 = 2 sin2 .在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 2，则 的形状是( )
A.等腰三角形或直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
7.已知向量 = (2, 4)， = ( 1,3)，则向量 2 + 3 与 + 3 的夹角的余弦值为( )
A. 13 B. 2 2613 26 C.
26 2 13
26 D. 13
8.已知点 为△ 的重心， = 3, = 6, = 2 3，点 是线段 的中点，则|
|为( )
A. 2 B. 5 32 C. 3 D. 2
第 1页，共 8页
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项中哪些是正确的( )
A. + + + = 0
B. = sin cos , ∈ R 的最大值为 1
C. sin π8 cos
π
8 =
2
4
D.复数 = 1 + 2 1 i, ∈ R 可能为纯虚数
10.如图，正方体 1 1
2
1 1的棱长为 ，线段 1 1上有两个动点 ， ，且 = .则下列结论正2
确的是( )
A. 当 与 1重合时，异面直线 与 所成的角为3
B.三棱锥 的体积为定值
C. 在平面 11 1内的射影长为2
D.当 向 1运动时，二面角 的平面角保持不变
11.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为边 上的中线， = ， = ∈ R ，以下
说法正确的是( )
A.若 = 2，则 + =
B.若 = 6，则 = 2 2
C.若 = 1 3，则5 ≤ cos < 1
D.若 = 2 3 tan ，则tan 的取值范围是(2 3, 2 + 3)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在 中，内角 , , 的对边分别为 , , ，若 2 = 2 cos ，则 = ．
13.如图，在塔底 的正西方 处测得塔顶的仰角为 45°，在塔底 的南偏东 60°的 处测得塔顶的仰角为 30°，
第 2页，共 8页
， 的距离是 84 ，则塔高 = _ ．
14.已知三棱锥 如图所示， , , 两两垂直，且 = = = 3，点 , 分别是棱 , 的中
点，点 是棱 上靠近点 的三等分点，则空间几何体 的体积为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设 ， 是不共线的两个向量．
(1)若 = 2 ， = + ， = 2 ，求证： ， ， 三点共线；
(2)若 8 + 与 + 2 共线，求实数 的值．
16.(本小题 15 分)
设函数 ( ) = 2 + (1 ) + 2( ∈ )
(1)若不等式 ( ) ≥ 2 对一切实数 恒成立，求 的取值范围；
(2)解关于 的不等式： ( ) < 1．
17.(本小题 15 分)
在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， = 60°， 2 = 2 + 2 ，延长 至 ，使 = 7，
3
的面积为2 3．
(1)求 的长；
(2)求 外接圆的面积．
第 3页，共 8页
18.(本小题 17 分)
在单位正方体 1 1 1 1中， 是 1 1的中点，如图建立空间直角坐标系．
(1)求证 1 //平面 1；
(2)求异面直线 1 与 夹角的余弦值；
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 2 3sin cos 2cos2 ，若锐角 的内角 , , 所对的边分别为 , , ，且 ( ) = 0．
(1)求角 ；
(2) 求 的取值范围；
(3)在 中， = 2，其外接圆 直径为 (如图)， = 1，求 和 四边形 ．
第 4页，共 8页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 3
13.12 7
14.154
15.(1)由题意知， = + = 2 = ，
∴ // ，且有公共点 ，
∴ ， ， 三点共线；
(2) ∵ ， 不共线，∴ + 2 ≠ 0，
又 8 + 与 + 2 共线，
∴存在实数 ，使 8 + = + 2 ，
∴ = 82 = ，解得 =± 4．
16.(1) ( ) ≥ 2 对一切实数 恒成立，等价于 ∈ , 2 + (1 ) + ≥ 0 恒成立．
当 = 0 时，不等式可化为 ≥ 0，不满足题意．
当 ≠ 0 > 0 > 0 1，有 Δ ≤ 0，即 3 2 + 2 1 ≥ 0，解得 ≥ 3，
1
所以 的取值范围是 3 , + ∞ ．
(2)依题意， ( ) < 1 等价于 2 + (1 ) 1 < 0，
当 = 0 时，不等式可化为 < 1，所以不等式的解集为{ < 1 }；
第 5页，共 8页
当 > 0 时，不等式化为( + 1)( 1) < 0，
1 1
此时 < 1，所以不等式的解集为 < < 1
当 < 0 时，不等式化为( + 1)( 1) < 0，
当 = 1 1时， = 1，不等式的解集为 ≠ 1 ；
1 < < 0 1当 时， > 1
1
，不等式的解集为 > 或 < 1 ；
当 < 1 1 1时， < 1，不等式的解集为 > 1 或 < ；
综上，当 < 1 时，原不等式的解集为 > 1 或 < 1
当 = 1 时，原不等式的解集为 ≠ 1 ；
当 1 < < 0 1时，原不等式的解集为 > 或 < 1 ；
当 = 0 时，原不等式的解集为{ < 1 }；
当 > 0 1时，原不等式的解集为 < < 1 ．
17.(1)解：因为 2 = 2 + 2 = 2 + 2 2 cos ，
所以 cos = 12，
又 0° < < 180°，所以 = 60°，
又因 = 60°，所以 为等边三角形，故 = = ，
由 = 7，可得 = 7 = 7 ，
= 1故 2 sin∠ =
3
4 (7 ) =
3
2 3，
解得 = 1 或 6；
(2)解：由(1)得：
当 = 1 时， = 6，
则 2 = 2 + 2 2 sin∠
= 1 + 36 2 × 1 × 6 × 12 = 43，
所以 = 43，
设 外接圆的半径为 ，
2 = 2 43 43由正弦定理可得 sin∠ = 3 ，所以 = 3，
所以 43 外接圆的面积为 2 = 3 ，
第 6页，共 8页
当 = 6 时， = 1，
则 2 = 2 + 2 2 sin∠
= 36 + 1 2 × 6 × 1 × 12 = 43，
所以 = 43，
同理 43 外接圆的面积为 3 ，
43
综上所述， 外接圆的面积为 3 ．
18.(1)解法一：连接 1 ，在正方体中，有 1 // 1 .
而 1 平面 1， 1 平面 1
所以 1 //平面 1．
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (1,1,2), (0,0,0), 1(0,2,2), 1(2,2,2), (0,2,0)，
故 = (1,1,2), 1 = (0,2,2)
设平面 1的一个法向量为 = ( , , )，
= 0 + + 2 = 0
由

得 2 + 2 = 0，令 = 1，则 = 1, = 1 1 = 0
所以 = (1,1, 1)．
又 1 = ( 2,0, 2).从而 1 = 0
所以 1 //平面 1．
(2)法一：由(1)知异面直线 1 与 的夹角为∠ 1 或其补角．
而 1 = 1 1 = 1且 为 1 1中点，故∠ 1 = 30 ，
3
所以两异面直线 1 与 的夹角 的余弦值为 cos = 2 ．
第 7页，共 8页
法二：设 1 、 分别为直线 1 与 的方向向量，
则由 1 = ( 2,0, 2)， = (1,1,2)得 cos 1 , =
3
2 ．
3
所以两异面直线 1 与 的夹角 的余弦值为 cos = 2 ，
19.(1)解：由函数 ( ) = 2 2 3sin cos 2cos2 = 3sin2 cos2 + 1 = 2sin(2 + π6 ) + 1，
因为 ( ) = 0，可得 ( ) = 2sin(2 + π6 ) + 1 = 0
π 1
，即 sin(2 + 6 ) = 2，
∈ (0, π ) 2 + π π 7π又因为 2 ，可得 6 ∈ ( 6 , 6 )，所以 2 +
π 5π π
6 = 6，可得 = 3．
(2)解：由(1)知 = π3，可得 + =
2π
3，
0 < < π2 π
因为 , 为锐角，所以 2π π，解得6 < <
π
，
0 < 3 <
2
2
2π 3 1
= sin
sin( 3 ) 2 cos +2sin 3 1则 sin = sin = sin = 2tan + 2，
因为 tan ∈ ( 3 , + ∞) 3 3 3 1 13 ，可得2tan ∈ (0, 2 )，所以2tan + 2 ∈ ( 2 , 2)，
1
所以 的取值范围为( 2 , 2)．
(3) ∠ = π ∠ = π解：因为 为圆 直径，所以 2且 2
设∠ = (0 < < π3 )，可得∠ =
π
2 ，∠ =
π
3 ，
设圆 的半径为 ，在 2中，可得 2 = sin∠ = cos ，
在 1中，可得 2 = sin∠ = sin(π3 )
，
2 1
所以cos = sin(π )，即 2sin(
π
3 ) = cos ，可得( 3 1)cos = sin ，3
又因为sin2 + cos2 = 1 1 3 1，解得 cos = , sin = ，
5 2 3 5 2 3
所以 = 2 = 2 5 2 3，
又由 sin∠ = cos( π3 ) =
1
2 ×
1 + 32 ×
3 1 = 4 3 ，
5 2 3 5 2 3 2 5 2 3
π
所以 = | | cos( 3 ) = 2 5 2 3 ×
4 3 = 4 3，
2 5 2 3
1
四边形 的面积为 = + = 2 | || |sin +
1
2 | || |sin∠ =
1
2 × 2 × 2 5 2 3 ×
3 1 + 12 × 1 × 2 5 2 3 ×
4 3 = 2 + 3．
5 2 3 5 2 3
第 8页，共 8页

展开更多......

收起↑