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2024-2025 学年广东省珠海市实验中学高二下学期 5 月段考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数 ( ) = ，则 ′(2) =( )
A. 2 B. 2 C. 2 D. 14 2
2.在等差数列 中，若 6 + 8 + 10 = 36，则 15 =( )
A. 270 B. 225 C. 180 D. 135
3.在
4
的展开式中， 3的系数为( )
A. 6 B. 6 C. 12 D. 12
4.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算
法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在 1654 年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．在由二项式系数所
构成的“杨辉三角”中(如图)，记第 2 行的第 3 个数字为 1，第 3 行的第 3 个数字为 2，……，第 ( ≥ 2)
行的第 3 个数字为 1则 1 + 2 + 3 + … + 9 =( )
A. 165 B. 120 C. 220 D. 96
5.若A32 = 10A3 ，则 =( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
6.已知 = ln22 , =
1 , = ln3e 3 ，则 ， ， 大小关系为( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
7.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件 ， 存在如下关系：
( | ) = ( ) ( | ) ( ) .若某地区一种疾病的患病率是 0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试
剂的准确率为 95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有 95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率
为 0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有 0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一
个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为( )
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A. 495 995 10 211000 B. 1000 C. 11 D. 22
8.设函数 ( ) = + e ， ( ) = + ln ，若存在 1， 2，使得 1 = 2 ，则 1 2 的最小值为( )
A. 1e B. 1 C. 2 D. e
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量 和 满足： = 3 + 1，且 ( ) = 2，若 的分布列如下表，则下列说法正确的是( )
12 3
1
2
A. = 1 13 B. = 4 C. ( ) = 7 D. ( ) =
9
2
10.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘 3 再加上 1；若是偶数，就将该数除以 2.反复进行上述两种运
算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 1 → 4 → 2 → 1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜
想”).比如取正整数 = 8，根据上述运算法则得出 8 → 4 → 2 → 1 → 4 → 2 → 1.猜想的递推关系如下：已

知数列 满足 = 5， = 2
, 为偶数
1 +1 ，设数列 的前 项和为 ，则下列结论正确的是( )
3 + 1, 为奇数
A. 3 = 8 B. 5 = 2 C. 10 = 49 D. 300 = 722
11.已知函数 ( ) = 2 3 + ln ，则( )
A. ( )的极小值为 2
B. ( )有两个零点
C.存在 使得关于 的方程 ( ) = 有三个不同的实根
D. 2 > ( )的解集为(1, + ∞)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知随机变量 服从两点分布，且 ( = 0) = 2 2， ( = 1) = ，那么 = ．
13.有 5 位大学生要分配到 , , 三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位
学生实习，已知这 5 位学生中的甲同学分配在 单位实习，则这 5 位学生实习的不同分配方案有 种．(用
数字作答)
14.设函数 = ( )在区间 上的导函数为 ′( ), ′( )在区间 上的导函数为 ( ).若在区间 上， ( ) < 0
4 3 3 2
恒成立，则称函数 ( )在区间 上为“凸函数”.已知实数 是常数， ( ) = 12 6 2 .若对满足| | ≤ 2
的任何一个实数 ，函数 ( )在区间( , )上都为“凸函数”，则 的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
已知等差数列 的前四项和为 10，且 2, 3, 7为等比数列；
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 = + 3 ，求数列 的前 项和 ．
16.(本小题 15 分)
7
某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为8，当
1 1
输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为2 .已知输入的问题表达不清晰的概率为5．
(1)求智能客服的回答被采纳的概率；
(2)在某次测试中输入了 3 个问题(3 个问题相互独立)，设 表示智能客服的回答被采纳的次数.求 的分布列、
期望及方差．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = e 2 (2 + 1) + 1 ．
(1) 1若 = 2，求曲线 = ( )在点 0, (0) 处的切线；
(2)讨论 ( )的单调性；
18.(本小题 17 分)
已知(1 + )2n = + + 2 + + 2 0 1 2 2n ．
(1)求 1 + 2 + 3 + + 2 的值
(2) 1 2 +1 1 1①证明：
C
= 2 +2 + +1 ，其中 = 1，2，3， ，2 ；2 C2 +1 C2 +1
1 1 1 1 1 1
②利用①的结论求 + + +1 2 3 4
的值．2 1 2
19.(本小题 17 分)
2023 年 11 月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有 16 个学科
900 多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石
榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.
结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉
总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到 颗番石榴(不妨设 颗番石榴的大小各
不相同)，最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，
小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前 (1 ≤ < )颗番石榴，自第 + 1 颗开始，只要发现比他前
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面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设 = ，记该学生摘到那颗最大番石榴的概
率为 ．
(1)若 = 4, = 2，求 ；
(2)当 趋向于无穷大时，从理论的角度，求 的最大值及 取最大值时 的值．
( 1+ 1 1 取 +1+ + 1 = ln )
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.12/0.5
13.50
14.2
15.解：(1)设等差数列 的公差为 ，
由题意，得 1 + 2 + 3 + 4 = 4 1 + 6 = 10，
又 2, 3, 7为等比数列，所以 2 7 = 2 23，即 1 + 1 + 6 = 1 + 2 ，
= 51 1 = 2 5解得 2或 = 3，所以 = 2或 = 3 5； = 0
(2) = 5 = 5当 2时， 2 + 3 ，
+1
此时 = 1 + 2 + + =
5 + 3 3 ×3 5 3 2 1 3 = 2 2 +
3
2 ；
当 = 3 5 时， = 3 5 + 3 ，
2+3 5 3 3 ×3 7 3 3 3 +1
此时 = 1 + 2 + + = 2 +
2
1 3 = 2 + 2 2+ 2 ．
16.解：(1)设 =“智能客服的回答被采纳”， =“输入的问题表达不清晰”，
依题意， ( ) = 15 , ( ) =
4
5， ( | ) =
1
2 , ( | ) =
7
8，
因此 ( ) = ( ) ( | ) + ( ) ( | ) = 15 ×
1
2 +
4 7 4
5 × 8 = 5，
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4
所以智能客服的回答被采纳的概率为5．
(2) 4依题意， 的所有可能取值为 0，1，2，3， (3, 5 )，
( = 0) = C0 4 0 1 3 13( 5 ) ( 5 ) = 125 , ( = 1) = C
1( 4 )1( 1 2 123 5 5 ) = 125，
( = 2) = C2( 4 )2( 1 )1 48 3 4 3 1 0 643 5 5 = 125 , ( = 3) = C3( 5 ) ( 5 ) = 125，
所以 的分布列为：

0 1 2 3
1 12 48 64
125 125 125 125
4 12 4 1
数学期望 ( ) = 3 × 5 = 5； ( ) = 3 × 5 × 5 =
12
25．
17.解：(1)当 = 12时，函数 ( ) = e
2 2 + 1 ，则 (0) = 1，切点坐标为(0,1)，
′( ) = e 2 1 ，则曲线 = ( )在点(0,1)处的切线斜率为 ′(0) = 1，
所求切线方程为 1 = ( 0)，即 + 1 = 0．
(2) ( ) = e 2 (2 + 1) + 1 ，函数定义域为 ，
′( ) = e 2 + (1 2 ) 2 = e ( 2 )( + 1)，
① > 1， ′2 ( ) > 0 解得 < 1 或 > 2 ，
′( ) < 0 解得 1 < < 2 ，
所以 ( )在( ∞, 1)和(2 , + ∞)上单调递增，在( 1,2 )上单调递减，
② < 1， ′( ) > 0 解得 < 2 或 > 1， ′2 ( ) < 0 解得 2 < < 1，
所以 ( )在( ∞,2 )和( 1, + ∞)上单调递增，在(2 , 1)上单调递减，
③ = 12，
′( ) ≥ 0 恒成立， ( )在( ∞, + ∞)上单调递增．
1
综上，当 > 2时， ( )在( ∞, 1)和(2 , + ∞)上单调递增，在( 1,2 )上单调递减；
1
当 < 2时， ( )在( ∞,2 )和( 1, + ∞)上单调递增，在(2 , 1)上单调递减；
1
当 = 2时， ( )在( ∞, + ∞)上单调递增．
18.解：(1) ∵令 = 0，得 0 = 1，
令 = 1，得 0 + 1 + 2 + + 2 2 = 2 ，
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∴ + + + + 2 1 2 3 2 = 2 1;
(2)①证明：∵ = 2 , = 1,2,3, , 2 ，
1 1 ! (2 + 1 )! ( + 1)! (2 )!
∴ + =
C 2 +1 C +12 +1 (2 + 1)!
+ (2 + 1)!
! (2 )! (2 + 2)
= (2 + 1)!
= 2 +2 ，
(2 +1)C 2
1 2 + 1 1 1 1 2 + 1 1 1
∴ =
C 2 + 2
+ ;
C C +1 C +1
=
2 2 +1 2 +1 2 2 + 2 +1
+
C +2
;
2 +1 C2 +1
②解：∵ 1 1 = 2 +1 1 1由①得：
C 2 C
+1
2 2 +2
，C2 +1 C +22 +1
= C 2 , = 1,2,3 2 ，
∴ 1 1 1 1 1 1 + + + ，1 2 3 4 2 1 2
= 2 +1 1 1 1 1 1 12 +2 1 3 +C C C3 + C5 2 1 2 +1 ，2 +1 2 +1 2 +1 2 +1 C2 +1 C2 +1
= 2 +1 1 12 +2 1 ，C2 +1 C2 +12 +1
= 2 +1 12 +2 2 +1 1 ，
= +1．
19.解：(1)依题意，4 个番石榴的位置从第 1 个到第 4 个排序，有A44 = 24 种情况，
要摘到那个最大的番石榴，有以下两种情况：
①最大的番石榴是第 3 个，其它的随意在哪个位置，有A33 = 6 种情况；
②最大的番石榴是最后 1 个，第二大的番石榴是第 1 个或第 2 个，其它的随意在哪个位置，有 2A22 = 4 种
情况，
6+4 5
所以所求概率为 24 = 12．
(2)记事件 1表示最大的番石榴被摘到，事件 表示最大的番石榴排在第 个，则 = ，
由全概率公式知： ( ) = =1 ( | ) ( ) =
1
=1 ( | )，
当 1 ≤ ≤ 时，最大的番石榴在前 个中，不会被摘到，此时 ( | ) = 0；
当 + 1 ≤ ≤ 时，最大的番石榴被摘到，当且仅当前 1 个番石榴中的最大一个在前 个之中时，此时
( | ) = 1，
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因此 ( ) = 1 ( + +1 + + 1 ) = ln ，
令 ( ) = ln ( > 0)
1 1
，求导得 ′( ) = ln ，由
′( ) = 0，得 = e，
当 ∈ (0, e )时，
′( ) > 0，当 ∈ ( e , )时，
′( ) < 0，
即函数 ( ) 在(0, e )上单调递增，在( e , )上单调递减，
( ) 1 1则 max = ( e ) = e，于是当 = e时， ( ) = ln 取得最大值e，
所以 1 1的最大值为e，此时 的值为e．
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