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【精选热题·期末50道综合题专练】沪科版数学七年级下册复习卷
1．某公司计划购进A、B两种产品．已知每件A产品的进价比B产品的进价少500元，且用8400元购进的A产品数量与用14400元购进的B产品数量相同．
（1）求每件A产品和B产品的进价；
（2）若该公司计划购进A、B两种产品共60件，且购进的A产品数量不超过B产品数量的2倍，求该公司至少需要多少元的预算经费？
2．学校图书馆购买一批图书，发现有两种套装书特别适合学生阅读．一套是革命家故事丛书共18册，一套是青少年科普读物丛书共20册，若购买3套革命家故事丛书，2套青少年科普读物丛书，共需1290元；若购买2套革命家故事丛书，3套青少年科普读物丛书，则需要1260元．
（1）求一套革命家故事丛书和一套青少年科普读物丛书分别是多少元；
（2）学校各购买一套丛书以后，发现这两套丛书特别受学生欢迎，打算再次购买其中革命家故事丛书打算购买其中学生比较喜爱的单册（每册价格相同），并再购买一套青少年科普读物丛书．此时，书店有促销活动，青少年科普读物丛书全套购买打九折，同时，革命家故事丛书单册购买价格每册书将上浮，若学校预算不超过300元，则最多可购买几册革命家故事书？
3．回家过年，一家团聚，是我们每个中国人的信仰．在这春节来临之际，置办年货当然也是每个家庭必须要做的事情．某商家看准商机，购进，两种春节大礼包进行销售，已知一个礼包比礼包的进价多元，其中购买礼包花费元，购买礼包花费元，且购买礼包的数量是购买礼包数量的倍．
（1）求一个礼包的进价是多少元；
（2）商家第一次购进的礼包很快售完，决定再次购进同种类型的，两种礼包共个，但礼包的进价比第一次购买时提高了，而礼包的进价在第一次购买时进价的基础上打折，如果商家此次两种礼包的总费用不超过元，那么此次最多可购买多少个礼包？
4．已知：如图，直线BD分别交射线AE、CF于点B、D，连接A、D和B、C， ， ，AD平分 ，求证：
（1） ；
（2）BC平分 ．
5．以下是小华化简分式 的过程：
解：原式 ①
②
③
（1）小华的解答过程在第　 　步出现错误．
（2）请你帮助小华写出正确的解答过程，并计算当 时分式的值．
6．随着新能源汽车的发展，某公交公司将用新能源汽车淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的燃油公交车，计划购买A型和B型新能源公交车共10辆.若购买A型公交车1辆和B型公交车2辆共需300万元；且购买一辆A型公交车的费用比购买一辆B型公交车的费用少30万元.
（1）求A型和B型公交车的单价分别为多少万元？
（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆日均载客量为160人次和200人次，若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1000万元，且确保这10辆公交车在该线路的日均载客量总和不少于1800人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案的总费用最少？最少总费用是多少？
7．为加快公共领域充电基础设施建设，规范居民安全用电行为，某市计划新建一批智能充电桩，经调研，市场上有A型、B型两种充电桩，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.2万元，用12万元购买A型充电桩与用16万元购买B型充电桩的数量相等.
（1）求A型、B型充电桩的单价各是多少？
（2）该市决定购买A型、B型充电桩共300个，且花费不超过200万元，则至少购买A型充电桩多少个
8．“六．一”儿童节将至，某玩具店准备购进甲、乙两种玩具，每个甲种玩具进价比每个乙种玩具进价少5元，已知用300元购进甲种玩具的数量等于用600元购进乙种玩具的数量．
（1）求玩具店购进甲种玩具每个进价是多少元；
（2）该玩具店准备用1000元全部用来购进甲、乙两种玩具，计划销售每个甲种玩具获得利润4元，销售每个乙种玩具获得利润5元，且销售两种玩具的总利润不低于600元，则该玩具店最多购进乙种玩具多少个？
9．今年春节期间第二十四届冬奥会在我国成功举办，吉样物“冰墩墩”以其呆萌可爱、英姿飒爽形象，深受大家喜爱．某商店第一次用3000元购进一批“冰墩墩”玩具，很快售完；该商店第二次购进该“冰墩墩”玩具时，进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件．
（1）求第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价；
（2）若两次购进的“冰墩墩”玩具每件售价均为70元，且全部售完，求两次的总利润．
10．现有一个种植总面积为540m2的矩形塑料温棚，分垄间隔套种草莓和西红柿共24垄，种植的草莓或西红柿单种农作物的总垄数不低于10垄，又不超过14垄(垄数为正整数)，它们的占地面积、产量、利润分别如下：
　 占地面积（m/垄） 产量（千克/垄） 利润（元/千克）
西红柿 30 160 1.1
草莓 15 50 1.6
（1）若设草莓共种植了 垄，通过计算说明共有几种种植方案？分别是哪几种？
（2）在这几种种植方案中，哪种方案获得的利润最大？最大利润是多少？
11．已知
（1）写出一个符合条件的关于x，y的二元一次方程：
（2）如果x，y都是正整数，求a的值.
12．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本）
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 4台 1200元
第二周 5台 6台 1900元
（1）求A，B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
13．已知 的平方根是 ， 的立方根是3， 是 的算术平方根．
（1）填空：a=　 　、b=　 　、 =　 　．
（2）若 的整数部分是 ，小数部分是y，求 的值
14．
（1）某商场用2800元从厂家购进A、B两种纪念品共50件，其中A种纪念品进价为每件80元，B种纪念品进价为每件40元.求A、B两种纪念品各购进多少件？
（2）商场要再次购进A、B两种纪念品共200件，若进价不变，且A种纪念品以每件110元售出，B种纪念品以每件55元售出.在购买这些纪念品的资金不超过12120元，且售完这些纪念品的利润不少于4500元的情况下，该商场共有几种进货方案？
请一一写出.
15．已知 ，求下列式子的值：
（1）
（2）
（3）
16．有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：（a+b)2=a2+2ab+b2．
对于方案一，小明是这样验证的：
∵大正方形面积可表示为：（a+b)2，也可以表示为：a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2．
请你仿照上述方法根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
（1）
方案二：
（2）
方案三：
17．某地新建的一个企业，每月将产生2330吨污水，为保护环境，该企业计划购置污水处理器，并在如下两个型号中选择：
污水处理器型号 A型 B型
处理污水能力（吨/月） 240 210
已知商家售出的2台A型、3台B型的合计总价为44万元，且每台的售价A型比B型多2万元．
（1）求每台A型、B型污水处理器的售价分别是多少
（2）为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述A、B两种型号污水处理器共10台，则：
①该企业有哪几种购买方案？
②哪种方案费用最低？最低费用是多少？
18．我校组织七年级同学上午8：00乘车前往离学校120千米的开化“根博园”开展研学活动，共租了若干辆大巴车，若每辆车坐45人，则余下30人没有车坐；若每辆车坐50人，则最后一辆车还剩10个座位.
（1）七年级共有多少学生？共租了几辆大巴车？
（2）张老师因有事情，8：30从学校自驾汽车以大巴车1.6倍的速度追赶，追上大巴车后继续前行，结果比车队提前15分钟到达“根博园”，求张老师追上大巴车的地点到“根博园”的路程.
19．问题背景
如图，图1，图2分别是边长为，a的正方形，由图1易得．
　　　
类比探究
类比由图1易得公式的方法，依据图2中的已知条件推导出完全平方的另一个公式．
解决问题
（1）计算：　 　；
（2）运用完全平方公式计算：；
（3）已知，，求的值．
20．已知为整数，且．
（1）若为正奇数，则可以用含的代数式表示为 ．
A． B． C．
（2）若，为连续的奇数，且．试说明：能被4整除．
21．一天，小聪和小慧玩纸片拼图游戏，发现利用图①中的三种纸片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2
（1）图③可以解释为等式：　 　.
（2）要拼出一个长为a+3b，宽为2a+b的长方形，需要如图所示的 　 　块， 　 　块， 　 　块；
（3）如图④，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个小长方形的两边长（x＞y），观察图形，以下关系式正确的是　 　（填序号）.
① x+y＝m；② x2﹣y2＝mn；③ 4xy ④ x2+y2＝ .
22．当时，
（1）请比较与的大小，并说明理由.
（2）若，则的取值范围为　 　直接写出答案
23．如图，已知点B、C在线段的异侧，连接，点E、F分别是线段上的点，连接，分别与交于点G，H，且，．
（1）求证：；
（2）若，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，求的度数．
24．发现：
（1）如图1.在边长为 米的正方形草坪上修建一条宽为 米的道路，为求剩余草坪的面积，小明想出了两种方法，方法（1）：用正方形的面积减去中间道路的面积，求得剩余草坪的面积为 ；方法（2）：如图2，把如图1的道路右侧阴影向左平移，与左边的阴影部分拼凑成如图3的小长方形，则求得剩余面积为 .由此我们可得出等式　 　
（2）思考：如图4.在边长为 米的正方形的草坪上修建两条宽为 米的道路，小亮也仿照小明方法，求出了剩余草坪的面积.结果如下：
方法①：　 　；
方法②：　 　；(用含 ， 的代数式写出结果)
（3）探索：从小亮计算草坪面积的不同方法中，请你写出 与 ， 三个代数式之间的等量关系：
（4）应用：根据探索中的等量关系，解决如下问题： ， ，求 的值.
25．如图所示，点B、E分别在AC、DF上，BD、CE均与AF相交，∠1＝∠2，∠C＝∠D．
求证：
（1）BD∥CE；
（2）∠A＝∠F．
26．2022年10月16日，习总书记在第二十次全国代表大会上的报告中提出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，若用3000万元购进A型汽车的数量比2400万元购进B型汽车的数量少20辆．
（1）A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元？
（2）该公司决定用不多于3600万元购进A型和B型汽车共150辆，最多可以购买多少辆A型汽车？
27．2020年以来，新冠肺炎疫情肆虐全球，感染人数不断攀升，口罩瞬间成为需求最为迫切的防疫物资．为了缓解供需矛盾，在中央的号召下，许多企业纷纷跨界转行生产口罩．我县某工厂接到订单任务，要求用7天时间生产A、B两种型号的口罩，共不少于5.8万只，其中A型口罩只数不少于B型口罩．该厂的生产能力是：每天只能生产一种口罩，如果2天生产A型口罩，3天生产B型口罩，一共可以生产4.6万只；如果3天生产A型口罩，2天生产B型口罩，一共可以生产4.4万只，并且生产一只A型口罩可获利0.5元，生产一只B型口罩可获利0.3元．
（1）试求出该厂的生产能力，即每天能生产A型口罩或B型口罩多少万只？
（2）在完成订单任务的前提下，应怎样安排生产A型口罩和B型口罩的天数，才能使获得的总利润最大，最大利润是多少万元？
28．“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式.例如x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1
（x+2）2≥0，（x+2）2+1≥1，
∴x2+4x+5≥1.
试利用配方法解决下列问题：
（1）填空：因为x2-4x+6=（x　 　）2+　 　，所以当x=　 　时，代数式x2-4x+6有最　 　（填“大”或“小”）值，这个最值为　 　.
（2）比较代数式x2-1与2x-3的大小.
29．（1）先化简 ，再解答下列问题：
（2）当a＝20210时，求原式的值；
（3）若原式的值是正整数，则求出对应的a的值.
30．为响应区“美丽台州，美化环境”的号召，某校开展“美丽台州 清洁校园”的活动，该校经过精心设计，计算出需要绿化的面积为498m2，绿化150m2后，为了更快的完成该项绿化工作，将每天的工作量提高为原来的1.2倍．结果一共用20天完成了该项绿化工作．
（1）该项绿化工作原计划每天完成多少m2？
（2）在绿化工作中有一块面积为170m2的矩形场地，矩形的长比宽的2倍少3m，请问这块矩形场地的长和宽各是多少米？
31．“六一”儿童节前夕，某童装店老板到厂家选购 、 两种品牌的童装，若购进 品牌的童装5套， 品牌的童装6套，需要950元；若购进 品牌的童装3套， 品牌的童装2套，需要450元.
（1）求 、 两种品牌的童装每套进价分别为多少元？
（2）若1套 品牌的童装售价130元，1套 品牌的童装售价102元，童装店将购进的 、 两种童装共50套全部售出，所获利润要不少于1460元，问 品牌童装至少购进多少套？
32．已知2a+1的平方根为，a+3b-3的立方根为4.
（1）求a，b的值；
（2）求a+b的平方根.
33．已知正实数的两个平方根分別是和．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
34．请用不等式表示下列数量之间的关系：
（1）x 的 与 x 的 3 倍的和是非负数；
（2）“和谐”号动车的速度（v）最高可达到400km/h ；
（3）某学校去年一分钟跳绳的最高是 240 次，在今年的校运会中，小李一分钟跳绳的次数x
次，打破了该项的记录.
35．为抗击新型冠状病毒，某药店计划购进一批甲、乙两种型号的口罩，已知一袋甲种口罩的进价与一袋乙种口罩的进价和为40元，用90元购进甲种口罩的袋数与用150元购进乙种口罩的袋数相同．
（1）求每袋甲种、乙种口罩的进价分别是多少元
（2）该药店计划购进甲、乙两种口罩共480袋，其中甲种口罩的袋数少于乙种口罩袋数的，药店计划此次进货的总资金不超过10000元，求药店共有几种进货方案
36．解下列不等式，并把解在数轴上表示出来．
（1）5x﹣5＜2（2+x）；
（2）＞1；
（3）；
（4）x（x+4）≤（x+1）2+9．
37．直线AB∥CD，E为直线AB上一点，EH、EM分别交直线CD于点F、M，EH平分∠AEM，MN⊥AB，垂足为点N（不与点E重合），∠CFH= ．
（1）MN　 　ME（填“＞”“＜”或“=”），理由是　 　；
（2）求∠EMN的大小（用含 的式子表示）．
38．近年来，常州市深入贯彻中央精神，扎实推进“四好农村路”建设，为实现乡村振兴提供坚实保障．在修建某村一条长约米的公路时，筑路队在修建了米后，采用新技术提升修建速度，每天修建长度是原来的倍，结果共用天完成全部任务．原来每天修建公路多少米？
39．“和尚头”是白银区武川乡干旱地区种植的优质小麦之一，其特点是滑润爽口、味感纯正、面筋强、食用方便，是家庭、宾馆、给老人祝寿之佳品．某商店准备用3000元购进两种包装的这种小麦共150袋，已知购买两种小麦的费用相同，且种包装小麦的单价是种包装小麦单价的2倍．
（1）两种包装的小麦单价各是多少？
（2）若计划用不超过4500元的资金再次购进两种包装的小麦共200袋，已知两种包装的单价不变，则种包装的小麦最多能购进多少袋？
40．数学业余小组在活动中发现：
……
（1）请你在答题卡中写出（补上）上述公式中积为 的一行；
（2）请仔细领悟上述公式，并将 分解因式：
（3）请将 分解因式．
41．如图，已知直线射线，.是射线上一动点，过点作交射线于点，连结.作，交直线于点，平分.
（1）若点都在点的右侧.
①求的度数；
②若，求的度数.
（2）在点的运动过程中，是否存在这样的情形，使，若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由.
42．如图①，现有边长分别为a，b的正方形硬纸板A和B，邻边长为a和b（）的长方形硬纸板C若干．
（1）活动课上，老师用图①中的1张正方形A，1张正方形B和2张长方形C纸板，排成了如图②中的大正方形．观察图形，由图②可以得到的等式为　 　（等号两边用含a，b的代数式表示）；
（2）小莹想用图①的三种纸板拼一个面积为的大长方形，则需要A硬纸板　 　张，B硬纸板　 　张，C硬纸板　 　张（空格处填写数字），并参考图②画出该大长方形的设计图（画出一种即可）；
（3）如图③，已知点K为线段MN上的动点，分别以MK，NK为边在MN的两侧作正方形MKED和正方形NKFG，面积分别记作，，若，△MKF的面积为6，利用（1）中得到的结论求的值．
43．图书管理员小张要骑车从学校到教育局，一出校门，遇到了王老师，王老师说：“今天有风，而且去时逆风，要吃亏了”，小张回答说：“去时逆风，回来时顺风，和无风往返一趟所用时间相同”．（顺风速度＝无风时骑车速度＋风速，逆风速度＝无风时骑车速度－风速）
（1）如果学校到教育局的路程是15 km，无风时小张骑自行车的速度是20 km/h，他逆风去教育局所用时间是顺风回学校所用时间的 倍，求风速是多少？
（2）如果设从学校到教育局的路程为s千米，无风时骑车速度为v千米/时，风速为a千米/时（v＞a），那么有风往返一趟的时间　 　无风往返一趟的时间（填“＞”、“＜”或“＝”），试说明理由．
44．如图， 交 于 ， ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，求 的度数．
45．如图1，在三角形ABC中，点E、点F分别为线段AB、AC上任意两点，EG交BC于G，交AC的延长线于H，∠1+∠AFE=180°。
（1）求证：BC∥EF；
（2）如图2，若∠2=∠3，∠BEG=∠EDF，求证：DF平分∠AFE。
46．为了庆祝建党100周年，某区在文化广场的一块长方形ABCD的空地上，用花卉摆放“100”字样和四个相同的小正方形（如图），其中 米， 米，三个数之间摆放的距离与四个小正方形的边长相等.设小正方形的边长为x米，数字的宽度均为y米.
（1）请用关于x，y的代数式表示“0”内部小长方形的长和宽.
（2）若“0”内部小长方形的长和宽分别是 米和 米.
①求x，y的值；
②为了整体美观，将在四个正方形、“100”及“0”的内部小长方形分别摆放甲、乙、丙三种花卉，三种花卉的单价都为整数，其中甲花卉的单价在 元 米 之间 含95和 ，乙、丙两种花卉的单价之和为300元 米 已知三种花卉总价为6200元，则丙花卉的单价是 元/米2.
47．如图，已知AB∥CD，P是直线AB，CD间的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，∠FPE＝120°．
（1）求∠AEP的度数；
（2）射线PN从PF出发，以每秒30°的速度绕P点按逆时针方向旋转，当PN垂直AB时，立刻按原速返回至PF后停止运动；射线EM从EA出发，以每秒15°的速度绕E点按逆时针方向旋转至EB后停止运动，若射线PN，射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当∠MEP＝15°时，求∠EPN的度数；
②当EM∥PN时，直接写出t的值．
48．如图，已知直线 ，直线 和直线 交于点 ，点 在 上，点 在 上，点 在直线 的同侧，直线 上有一动点 ，连接 。
（1）当点 在线段 上运动时，如图①，易证： （不需要证明）；
（2）当点 在线段 的延长线上时，如图②；当点 在线段 的延长线上时，如图③，则 之间又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，并对图②给予证明。
49．如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P，满足0°<∠EPF<180° ．
（1）试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线AB， CD之间的一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：
如图1，当点P在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为　 　
如图2，当点P在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为　 　
（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD， 且点P在EF左侧．
①若∠EPF=60°，则∠EQF=　 　 ．
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；
③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的平分线交于点Q2，∠BEQ2与∠DFQ2的平分线交于点Q；依次类推，则∠EPF与∠EQ2018F满足怎样的数量关系？(直接写出结果)
50．大小两种货车运送360台机械设备，有三种运输方案.
方案一：设备的 用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车27辆.
方案二：设备的 用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车28辆.
方案三：设备的 用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车26辆.
（1）每辆大、小货车各可运送多少台机械设备？
（2）如果大货车运费比小货车高m%（m>0），请你从中选择一种方案，使得运费最低，并说明理由.
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【精选热题·期末50道综合题专练】沪科版数学七年级下册复习卷
1．某公司计划购进A、B两种产品．已知每件A产品的进价比B产品的进价少500元，且用8400元购进的A产品数量与用14400元购进的B产品数量相同．
（1）求每件A产品和B产品的进价；
（2）若该公司计划购进A、B两种产品共60件，且购进的A产品数量不超过B产品数量的2倍，求该公司至少需要多少元的预算经费？
【答案】（1）700元，1200元；
（2）52000元．
2．学校图书馆购买一批图书，发现有两种套装书特别适合学生阅读．一套是革命家故事丛书共18册，一套是青少年科普读物丛书共20册，若购买3套革命家故事丛书，2套青少年科普读物丛书，共需1290元；若购买2套革命家故事丛书，3套青少年科普读物丛书，则需要1260元．
（1）求一套革命家故事丛书和一套青少年科普读物丛书分别是多少元；
（2）学校各购买一套丛书以后，发现这两套丛书特别受学生欢迎，打算再次购买其中革命家故事丛书打算购买其中学生比较喜爱的单册（每册价格相同），并再购买一套青少年科普读物丛书．此时，书店有促销活动，青少年科普读物丛书全套购买打九折，同时，革命家故事丛书单册购买价格每册书将上浮，若学校预算不超过300元，则最多可购买几册革命家故事书？
【答案】（1）270元，240元
（2）4册
3．回家过年，一家团聚，是我们每个中国人的信仰．在这春节来临之际，置办年货当然也是每个家庭必须要做的事情．某商家看准商机，购进，两种春节大礼包进行销售，已知一个礼包比礼包的进价多元，其中购买礼包花费元，购买礼包花费元，且购买礼包的数量是购买礼包数量的倍．
（1）求一个礼包的进价是多少元；
（2）商家第一次购进的礼包很快售完，决定再次购进同种类型的，两种礼包共个，但礼包的进价比第一次购买时提高了，而礼包的进价在第一次购买时进价的基础上打折，如果商家此次两种礼包的总费用不超过元，那么此次最多可购买多少个礼包？
【答案】（1）一个礼包的进价是元
（2）此次最多可购买个礼包
4．已知：如图，直线BD分别交射线AE、CF于点B、D，连接A、D和B、C， ， ，AD平分 ，求证：
（1） ；
（2）BC平分 ．
【答案】（1）证明 ， ，
，
，
，
，
，
；
（2） 平分 ，
，
，
， ，
，
，
平分 ．
【解析】【分析】 （1） 求出 ，根据平行线的判定得出 ，根据平行线的性质得出 ，求出 ，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据角平分线定义求出 ，根据平行线的性质得出 ， ， ，求出 即可．
5．以下是小华化简分式 的过程：
解：原式 ①
②
③
（1）小华的解答过程在第　 　步出现错误．
（2）请你帮助小华写出正确的解答过程，并计算当 时分式的值．
【答案】（1）②
（2）解：原式
，
当 时，
原式 ．
【解析】【解答】解：（1）小华的解答过程在第②步出现不符合题意，在运算去括号时没有变号
第②步应该为：
故答案为②
【分析】（1）根据分式的基本性质求解即可；
（2）先化简分式，再将x=5代入计算求解即可。
6．随着新能源汽车的发展，某公交公司将用新能源汽车淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的燃油公交车，计划购买A型和B型新能源公交车共10辆.若购买A型公交车1辆和B型公交车2辆共需300万元；且购买一辆A型公交车的费用比购买一辆B型公交车的费用少30万元.
（1）求A型和B型公交车的单价分别为多少万元？
（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆日均载客量为160人次和200人次，若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1000万元，且确保这10辆公交车在该线路的日均载客量总和不少于1800人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案的总费用最少？最少总费用是多少？
【答案】（1）解：设A型为x万元每辆，B型为y万元每辆，
则解得.
答：A型为80万元每辆，B型为110万元每辆.
（2）解：设购买A型a辆，则B型为辆，
则，解得
又∵a为整数，
∴a＝4或5.
有两种购买方案：A型公交车4辆，B型公交车6辆.总费用为980万元；A型公交车5辆，B型公交车5辆.总费用为950万元.
答：A型和B型购公交车各买5辆方案总费用最少，最少总费用是950万元.
【解析】【分析】（1）设A型为x万元每辆，B型为y万元每辆，根据题中的相等关系“A型公交车1辆的费用+B型公交车2辆的费用=300；1辆A型公交车的费用=1辆B型公交车的费用-30”列关于x、y的方程组，解之可求解；
（2）设购买A型a辆，则B型为（10-a）辆，根据题中的不等关系“a辆A型公交车的日均载客量+（10-a）辆B型公交车的日均载客量1800，a辆A型公交车的费用+（10-a）辆B型公交车的费用1000”可列关于a的不等式组，解之可求解.
7．为加快公共领域充电基础设施建设，规范居民安全用电行为，某市计划新建一批智能充电桩，经调研，市场上有A型、B型两种充电桩，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.2万元，用12万元购买A型充电桩与用16万元购买B型充电桩的数量相等.
（1）求A型、B型充电桩的单价各是多少？
（2）该市决定购买A型、B型充电桩共300个，且花费不超过200万元，则至少购买A型充电桩多少个
【答案】（1）型充电桩的单价为0.6万元，型充电桩的单价为0.8万元．
（2）至少可购买种充电桩200个．
8．“六．一”儿童节将至，某玩具店准备购进甲、乙两种玩具，每个甲种玩具进价比每个乙种玩具进价少5元，已知用300元购进甲种玩具的数量等于用600元购进乙种玩具的数量．
（1）求玩具店购进甲种玩具每个进价是多少元；
（2）该玩具店准备用1000元全部用来购进甲、乙两种玩具，计划销售每个甲种玩具获得利润4元，销售每个乙种玩具获得利润5元，且销售两种玩具的总利润不低于600元，则该玩具店最多购进乙种玩具多少个？
【答案】（1）解：设玩具店购进甲种玩具每个进价是元，则每个乙种玩具进价每个为元，则
解得：
经检验：是原方程的解且符合题意，
答：玩具店购进甲种玩具每个进价是元．
（2）解：设该玩具店最多购进乙种玩具m个，则甲种玩具购进件，则，
解得：，
为正整数，
的最大值为：66，
答：该玩具店最多购进乙种玩具66个．
【解析】【分析】（1）设玩具店购进甲种玩具每个进价是x元，则每个乙种玩具进价每个为(x+5)元，再根据题意列出方程求解即可；
（2）设该玩具店最多购进乙种玩具m个，则甲种玩具购进件，根据题意列出不等式求解即可。
9．今年春节期间第二十四届冬奥会在我国成功举办，吉样物“冰墩墩”以其呆萌可爱、英姿飒爽形象，深受大家喜爱．某商店第一次用3000元购进一批“冰墩墩”玩具，很快售完；该商店第二次购进该“冰墩墩”玩具时，进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件．
（1）求第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价；
（2）若两次购进的“冰墩墩”玩具每件售价均为70元，且全部售完，求两次的总利润．
【答案】（1）解：设第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为x元，则第二次每件的进价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验：是方程的解，且符合题意，
答：第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为50元．
（2）解：由题意可得（元），
答：两次的总利润为1700元．
【解析】【分析】（1）设第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为x元，则第二次每件的进价为元，根据题意列出方程求解即可；
（2）利用“利润=售价-成本”列出算式求解即可。
10．现有一个种植总面积为540m2的矩形塑料温棚，分垄间隔套种草莓和西红柿共24垄，种植的草莓或西红柿单种农作物的总垄数不低于10垄，又不超过14垄(垄数为正整数)，它们的占地面积、产量、利润分别如下：
　 占地面积（m/垄） 产量（千克/垄） 利润（元/千克）
西红柿 30 160 1.1
草莓 15 50 1.6
（1）若设草莓共种植了 垄，通过计算说明共有几种种植方案？分别是哪几种？
（2）在这几种种植方案中，哪种方案获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：根据题意西红柿种了（24- ）垄
15 +30(24- )≤540解得 ≥12
∵ ≤14，且 是正整数∴ =12，13，14
共有三种种植方案，分别是：
方案一：草莓种植12垄，西红柿种植12垄。
方案二：草莓种植13垄，西红柿种植11垄。
方案三：草莓种植14垄，西红柿种植10垄。
（2）解法一：方案一获得的利润：12×50×1.6+12×160×1.1=3072（元）
方案二获得的利润：13×50×1.6+11×160×1.1=2976（元）
方案三获得的利润：14×50×1.6+10×160×1.1=2880（元）
由计算知，种植西红柿和草莓各12垄，获得的利润最大，
最大利润是3072元。
解法二：若草莓种了 垄，设种植草莓和西红柿共可获得利润 元，则
∵k=-96＜0∴ 随 的增大而减小
又∵12≤ ≤14，且 是正整数
∴当 =12时， =3072（元）
【解析】【分析】（1） 设草莓共种植了x垄，可得西红柿种了（24-x）垄，根据种植总面积为540m2，可列出不等式15 +30(24- )≤540且x≤14，求出不等式组的整数解即可.
（2）分别求出每一种方案的利润比较即可.
11．已知
（1）写出一个符合条件的关于x，y的二元一次方程：
（2）如果x，y都是正整数，求a的值.
【答案】（1）解：
由①×3；②×2得：
3x=6a-3③
2y=10-6a④
由③+④得：
3x+2y=7
（2）解： ∵3x+2y=7
∴
∵ x，y都是正整数，
∴x＞0且y＞0
∴
此不等式组的解集为：0＜y＜3.5
∴y=1，2，3
当y=1时，x=，不符合题意；
当y=2时，x=1，符合题意；
当y=3时，x=，不符合题意；
∴x=1，y=2、
∴1=2a-1
解之：a=1
【解析】【分析】（1）利用加减消元法，由①×3+②×2，消去a，就可得到关于x、y的二元一次方程。
（2）由（1）中的二元一次方程3x+2y=7，转化为，再根据x，y都是正整数， 可求出y的取值范围，从而可求出符合题意的x、y的值，然后就可求出a的值。
12．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本）
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 4台 1200元
第二周 5台 6台 1900元
（1）求A，B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
【答案】（1）解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，
依题意得： ，解得： ，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元．
（2）解：设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50﹣a）台．
依题意得：160a+120（50﹣a）≤7500，解得：a≤37 ．
答：超市最多采购A种型号电风扇37台．
【解析】【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电扇收入1200元，5台A型号6台B型号的电扇收入1900元，列方程组求解；（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50 a）台，根据金额不多余7500元，列不等式求解.
13．已知 的平方根是 ， 的立方根是3， 是 的算术平方根．
（1）填空：a=　 　、b=　 　、 =　 　．
（2）若 的整数部分是 ，小数部分是y，求 的值
【答案】（1）5；2；
（2）解：∵ 的整数部分是x=2
∴小数部分y= -2
∴ = ( -2-2)2
=
=
【解析】【解答】（1）∵ 的平方根是 ，
∴ 2a-1=(±3)2，
∴a=5
∵ 的立方根是3，
∴ =33，
∵a=5
∴b=2
∵ 是a+b的算术平方根， a=5，b=2
∴m=
【分析】（1）根据平方根的定义列式求出a的值，再根据立方根的定义列式求出b的值，然后根据算术平方根的定义进行计算即可得解；（2）由于2＜ ＜3，由此可得 的整数x的值；由此可得小数部分y的值，进而求出 的值．
14．
（1）某商场用2800元从厂家购进A、B两种纪念品共50件，其中A种纪念品进价为每件80元，B种纪念品进价为每件40元.求A、B两种纪念品各购进多少件？
（2）商场要再次购进A、B两种纪念品共200件，若进价不变，且A种纪念品以每件110元售出，B种纪念品以每件55元售出.在购买这些纪念品的资金不超过12120元，且售完这些纪念品的利润不少于4500元的情况下，该商场共有几种进货方案？
请一一写出.
【答案】（1）解：设A，B两种纪念品分别购进x件，y件，据题意得
解得
答：A种纪念品购进20件，B种纪念品购进30件
（2）解：设购进A种纪念品m件，则B种纪念品 件，据题意得
解不等式组得
为整数，
，101，102，103
∴商场共有4种进货方案，它们分别是：
①购进A种纪念品100件，B种纪念品100件；
②购进A种纪念品101件，B种纪念品99件；
③购进A种纪念品102件，B种纪念品98件；
④购进A种纪念品103件，B种纪念品97件.
【解析】【分析】（1） 设A，B两种纪念品分别购进x件，y件 ，根据购进A种纪念币的数量+购进B种纪念币的数量=50，购进A种纪念币的费用+购进B种纪念币的费用=2800，列出方程组，求解即可；
（2） 设购进A种纪念品m件，则B种纪念品 件 ，根据购进A种纪念币的费用+购进B种纪念币的费用不超过12120元 ，销售A种纪念币的利润+销售B种纪念币的利润不少于4500元 列出不等式组，求解并取出整数解即可。
15．已知 ，求下列式子的值：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解： ∵ ，
∴ ；
（2）解： ∵ ，
∴ ；
（3）解： ∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴当 时， = = ，
当 时， = ，
综上所示： .
【解析】【分析】（1）由完全平方公式可得：a2+b2=(a+b)2-2ab，然后将已知条件代入计算即可；
（2）由立方和公式可得：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)，然后根据已知条件以及（1）的结果计算即可；
（3）由完全平方公式可得：(a-b)2=(a+b)2-4ab，将已知条件代入可求得a-b的值，进而求出b的值，接下来将b的值代入待求式子中计算即可.
16．有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：（a+b)2=a2+2ab+b2．
对于方案一，小明是这样验证的：
∵大正方形面积可表示为：（a+b)2，也可以表示为：a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2．
请你仿照上述方法根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
（1）
方案二：
（2）
方案三：
【答案】（1） 解：∵大正方形面积可表示为：（a+b)2
也可以表示为：a2+ab+（a+b)b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
∴（a+b）2=a2+2ab+b2
（2） 解：大正方形面积可表示为：（a+b)2
也可以表示为：a2+ =a2+ab+ b2+ab+ b2=a2+2ab+b2
∴（a+b）2=a2+2ab+b2．
【解析】【分析】（1）根据大正方形的面积的两种计算方法，就可得出答案。
（2）根据大正方形的面积等于两梯形的面积之和再加上边长为a的正方形的面积，就可证得和的完全平方公式。
17．某地新建的一个企业，每月将产生2330吨污水，为保护环境，该企业计划购置污水处理器，并在如下两个型号中选择：
污水处理器型号 A型 B型
处理污水能力（吨/月） 240 210
已知商家售出的2台A型、3台B型的合计总价为44万元，且每台的售价A型比B型多2万元．
（1）求每台A型、B型污水处理器的售价分别是多少
（2）为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述A、B两种型号污水处理器共10台，则：
①该企业有哪几种购买方案？
②哪种方案费用最低？最低费用是多少？
【答案】（1）解：设每台A型污水处理器的售价为x万元，每台B型污水处理器的售价为y万元，依题意，得
解得
答：每台A型污水处理器的售价为10万元、每台B型污水处理器的售价为8万元．
（2）解：①设购买A型污水处理器m台，则购买B型污水处理器台，依题意，得
，解得
∵m，均为正整数，∴或，
∴共有2种购买方案：
方案1：购进A型污水处理器8台，B型污水处理器2台；
方案2：购进A型污水处理器9台，B型污水处理器1台．
②方案1所需费用为（万元）；方案2所需费用为（万元）．
∵
∴购进A型污水处理器8台，B型污水处理器2台费用最低，最低费用为96万元．
【解析】【分析】（1）设每台A型污水处理器的售价为x万元，每台B型污水处理器的售价为y万元，根据2台A型、3台B型的合计总价为44万元可得2x+3y=44；根据每台的售价A型比B型多2万元可得x-y=2，联立求解即可；
（2）①设购买A型污水处理器m台，则购买B型污水处理器(10-m)台，根据A的处理能力×台数+B的处理能力×台数≥总污水量建立关于m的不等式，求出m的范围，结合m为正整数可得m的取值，进而可得购买方案；
②根据A的售价×台数+B的售价×台数=总费用求出各种方案对应的费用，然后进行比较即可.
18．我校组织七年级同学上午8：00乘车前往离学校120千米的开化“根博园”开展研学活动，共租了若干辆大巴车，若每辆车坐45人，则余下30人没有车坐；若每辆车坐50人，则最后一辆车还剩10个座位.
（1）七年级共有多少学生？共租了几辆大巴车？
（2）张老师因有事情，8：30从学校自驾汽车以大巴车1.6倍的速度追赶，追上大巴车后继续前行，结果比车队提前15分钟到达“根博园”，求张老师追上大巴车的地点到“根博园”的路程.
【答案】（1）解：设有x辆大巴车，根据题意得：
45x+30=50x-10.
解得：x=8，
∴共有学生45x+30=45×8+30=390（人），
答：七年级共有390学生，共租了8辆大巴车.
（2）解：设大巴车的的速度为y千米/小时，则张老师驾车的速度为1.6y千米/小时，根据题意得：
解得：y=60
经检验y=60是原方程的解，
1.6x=1.6×60=96，
∴大巴车的的速度为60千米/小时，则张老师驾车的速度为96千米/小时，
∴张老师追上大巴车的时间为：（小时），
∴张老师追上大巴车的地点到“根博园”的路程为：（千米）.
【解析】【分析】(1)设有x辆大巴车，根据x辆大巴车的座位数不变列出方程求解，即可解答；
(2)设大巴车的的速度为y千米/小时，则张老师驾车的速度为1.6y千米/小时，根据张老师比车队提前15分钟到达“根博园列出方程求解，即可解答.
19．问题背景
如图，图1，图2分别是边长为，a的正方形，由图1易得．
　　　
类比探究
类比由图1易得公式的方法，依据图2中的已知条件推导出完全平方的另一个公式．
解决问题
（1）计算：　 　；
（2）运用完全平方公式计算：；
（3）已知，，求的值．
【答案】（1）
（2）解：
（3）解：∵，，
∴，
∵，，
∴
．
【解析】【解答】解：（1）．
【分析】（1）利用完全平方公式可得答案；
（2）将代数式变形为，再利用完全平方公式计算即可；
（3）将代数式变形为，再将，xy=2代入计算即可。
20．已知为整数，且．
（1）若为正奇数，则可以用含的代数式表示为 ．
A． B． C．
（2）若，为连续的奇数，且．试说明：能被4整除．
【答案】（1）C
（2）解：，为连续的奇数，
设，则，
，
，
为整数，
为整数，
能被4整除．
【解析】【解答】解：（1）由题意可得a=2k+1；
故答案为：C；
【分析】（1）根据正奇数的定义，列出代数式即可；
（2）根据题意列出a、b的代数式，进行整理化简即可.
21．一天，小聪和小慧玩纸片拼图游戏，发现利用图①中的三种纸片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2
（1）图③可以解释为等式：　 　.
（2）要拼出一个长为a+3b，宽为2a+b的长方形，需要如图所示的 　 　块， 　 　块， 　 　块；
（3）如图④，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个小长方形的两边长（x＞y），观察图形，以下关系式正确的是　 　（填序号）.
① x+y＝m；② x2﹣y2＝mn；③ 4xy ④ x2+y2＝ .
【答案】（1）（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2
（2）2；7；3
（3）①②③④
【解析】【解答】解：（1）图③可以解释为等式：（a+2b）（2a+b）=2a2+ab+4ab+2b2=2a2+5ab+2b2
故答案为：（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2.（2）（a+3b）（2a+b）=2a2+7ab+3b2
故答案为：2；7；3.（3）∵x+y=m
∴①正确；
∵x+y=m，x-y=n
∴（x+y）（x-y）=mn，即x2-y2=mn，
∴②正确；
∵m2-n2=4xy
故③正确；
∵m2+n2=（x+y）2+（x-y）2=2x2+2y2=2（x2+y2）
∴④正确.
故答案为：①②③④.
【分析】（1）由图形根据面积公式可得答案；（2）将（a+3b）（2a+b）展开化简即可得答案；（3）根据图中每个图形的面积之间的关系即可判断出正确的有几个.
22．当时，
（1）请比较与的大小，并说明理由.
（2）若，则的取值范围为　 　直接写出答案
【答案】（1）解： ，
理由是： ，
，
，
；
（2）a＜3
【解析】【解答】解：（2） ， ，
，
，
即 的取值范围是a＜3.
故答案为：a＜3.
【分析】（1）利用作差法求出-3x+5与-3y+5的差，进而结合已知判断差的正负，当差大于零时，-3x+5＞-3y+5，当差小于零时，-3x+5＜-3y+5，当差等于0时，-3x+5=-3y+5；
（2）根据不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，即可判断得出答案.
23．如图，已知点B、C在线段的异侧，连接，点E、F分别是线段上的点，连接，分别与交于点G，H，且，．
（1）求证：；
（2）若，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（3）解：由（2）得 ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）由对顶角相等及已知，可得 ，根据内错角相等，两直线平行即证结论；
（2）根据补角的性质可得 ，根据平行线的判定可得BF∥CE，利用平行线的性质可得 ，由（1）知，利用等量代换即得结论；
（3）由平行线的性质可得 ， ，结合 ，可求出∠C的度数，即得结论.
24．发现：
（1）如图1.在边长为 米的正方形草坪上修建一条宽为 米的道路，为求剩余草坪的面积，小明想出了两种方法，方法（1）：用正方形的面积减去中间道路的面积，求得剩余草坪的面积为 ；方法（2）：如图2，把如图1的道路右侧阴影向左平移，与左边的阴影部分拼凑成如图3的小长方形，则求得剩余面积为 .由此我们可得出等式　 　
（2）思考：如图4.在边长为 米的正方形的草坪上修建两条宽为 米的道路，小亮也仿照小明方法，求出了剩余草坪的面积.结果如下：
方法①：　 　；
方法②：　 　；(用含 ， 的代数式写出结果)
（3）探索：从小亮计算草坪面积的不同方法中，请你写出 与 ， 三个代数式之间的等量关系：
（4）应用：根据探索中的等量关系，解决如下问题： ， ，求 的值.
【答案】（1）a2-ab=a（a-b）
（2）a2+b2-2ab；（a-b）2；（a-b）2=a2+b2-2ab.
（3）解：（a-b）2与a2+b2，ab三个代数式之间的等量关系：（a-b）2=a2+b2-2ab；
（4）解：剩余草坪的面积为：（a-b）2；∵m2+n2=9，mn=-8，
∴m2+n2-2mn=9+16=25，
∴（m-n）2=25，
∴m-n=±5.
【解析】【解答】解：（1）由此我们可得出等式：a2-ab=a（a-b）；
（2）剩余草坪的面积为：a2+b2-2ab；
故答案为：a2-ab=a（a-b）；a2+b2-2ab；（a-b）2；（a-b）2=a2+b2-2ab.
【分析】（1）根据正方形及矩形的性质分别求出阴影部分的面积即可；
（2）利用正方形的面积减去两个小路的面积再加上边长为b的正方形的面积即得；利用平移将四个阴影部分化成一个边长为a-b的正方形，然后求出面积即可；
（3） （a-b）2=a2+b2-2ab；
（4）利用配方法将m2+n2-2mn=9+16=25=（m-n）2，据此即可求出结论.
25．如图所示，点B、E分别在AC、DF上，BD、CE均与AF相交，∠1＝∠2，∠C＝∠D．
求证：
（1）BD∥CE；
（2）∠A＝∠F．
【答案】（1）解：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴BD//CE．（同位角相等，两直线平行）；
（2）解：∵BD//CE，
∴∠C＝∠DBA，
∵∠C＝∠D，
∴∠DBA＝∠D，
∴DF//AC，（内错角相等，两直线平行），
∴∠A＝∠F．（两直线平行，内错角相等）．
【解析】【分析】（1）根据对顶角的性质可得∠2＝∠3，再利用∠1＝∠2，可得∠1＝∠3，即可证明BD//CE；
（2）先证明DF//AC，再利用平行线的性质可得∠A＝∠F。
26．2022年10月16日，习总书记在第二十次全国代表大会上的报告中提出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，若用3000万元购进A型汽车的数量比2400万元购进B型汽车的数量少20辆．
（1）A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元？
（2）该公司决定用不多于3600万元购进A型和B型汽车共150辆，最多可以购买多少辆A型汽车？
【答案】（1）解：设B型汽车的进价为每辆万元，则A型汽车的进价为每辆万元，
依题意得：
解得：
经检验，是方程的解
答：A型汽车的进价为每辆30万元，B型汽车的进价为每辆20万元
（2）解：设购买辆A型汽车，则购买辆B型汽车，
依题意得：
解得：
答：最多可以购买60辆A型汽车．
【解析】【分析】（1）设B型汽车的进价为每辆万元，则A型汽车的进价为每辆万元， 根据题意列出分式方程，解之即可；
（2） 设购买辆A型汽车，则购买辆B型汽车， 根据题意列出不等式，解之即可。
27．2020年以来，新冠肺炎疫情肆虐全球，感染人数不断攀升，口罩瞬间成为需求最为迫切的防疫物资．为了缓解供需矛盾，在中央的号召下，许多企业纷纷跨界转行生产口罩．我县某工厂接到订单任务，要求用7天时间生产A、B两种型号的口罩，共不少于5.8万只，其中A型口罩只数不少于B型口罩．该厂的生产能力是：每天只能生产一种口罩，如果2天生产A型口罩，3天生产B型口罩，一共可以生产4.6万只；如果3天生产A型口罩，2天生产B型口罩，一共可以生产4.4万只，并且生产一只A型口罩可获利0.5元，生产一只B型口罩可获利0.3元．
（1）试求出该厂的生产能力，即每天能生产A型口罩或B型口罩多少万只？
（2）在完成订单任务的前提下，应怎样安排生产A型口罩和B型口罩的天数，才能使获得的总利润最大，最大利润是多少万元？
【答案】（1）解：设该厂每天能生产A型口罩x万只或B型口罩y万只．
根据题意，得 ，
解得 ，
答：该厂每天能生产A型口罩0.8万只或B型口罩1万只．
（2）解：设该厂应安排生产A型口罩m天，则生产B型口罩 天．
根据题意，得 ，
解得 ，
设获得的总利润为 万元，
根据题意得： ，
∵ ，
∴w随m的增大而增大．
∴当m＝6时，w取最大值，最大值为 （万元）．
答：当安排生产A型口罩6天、B型口罩1天，获得2.7万元的最大总利润．
【解析】【分析】（1）设该厂每天能生产A型口罩x万只或B型口罩y万只． 根据题意可列出方程组，解之即可；
（2）设该厂应安排生产A型口罩m天，则生产B型口罩 天． 根据题意可列出不等式组，解之可得出m的范围，根据题意列出式子，因为 ，得出w随m的增大而增大．当m＝6时，w取最大值。
28．“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式.例如x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1
（x+2）2≥0，（x+2）2+1≥1，
∴x2+4x+5≥1.
试利用配方法解决下列问题：
（1）填空：因为x2-4x+6=（x　 　）2+　 　，所以当x=　 　时，代数式x2-4x+6有最　 　（填“大”或“小”）值，这个最值为　 　.
（2）比较代数式x2-1与2x-3的大小.
【答案】（1）-2；2；2；小；2
（2）解：x2-1-（2x-3）=x2-2x+2=（x-1）2+1>0，
则x2-1>2x-3.
【解析】【解答】解：(1) x2-4x+6=（x-2)2+2，
∵（x+2）2≥0，（x+2）2+2≥2，
∴当x=2时， 代数式x2-4x+6有最小值为2.
故答案为：-2，2，2，小，2.
【分析】(1)先将原式配方，再根据题干提供的方法求最值即可；
(2)利用作差法得到 x2-2x+2 ，再利用(1)的方法求最值，即可判断.
29．（1）先化简 ，再解答下列问题：
（2）当a＝20210时，求原式的值；
（3）若原式的值是正整数，则求出对应的a的值.
【答案】（1）解：原式=
=
=
=
=
=
（2）解：因为a＝20210=1，代入原式= =3
（3）解：因为要使值为正整数，故分母要为负数且能够被6整除
所以a-3的值可以是-6，-3，-2，-1
故a=-3，0，1或2.
当a=-3或2的时候，原分式没有意义
故a的值取0或1.
【解析】【分析】先将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将除法转变为乘法，然后计算分式的乘法，接着通分计算异分母分式的加减法得出结果；
（1）根据0指数幂的意义求出a的值，将a的值代入化简后的式子求解出答案即可；
（2）要使值为正整数，故分母要为负数且能够被6整除，能得出答案，再结合分式有意义就可得出最终答案.
30．为响应区“美丽台州，美化环境”的号召，某校开展“美丽台州 清洁校园”的活动，该校经过精心设计，计算出需要绿化的面积为498m2，绿化150m2后，为了更快的完成该项绿化工作，将每天的工作量提高为原来的1.2倍．结果一共用20天完成了该项绿化工作．
（1）该项绿化工作原计划每天完成多少m2？
（2）在绿化工作中有一块面积为170m2的矩形场地，矩形的长比宽的2倍少3m，请问这块矩形场地的长和宽各是多少米？
【答案】（1）解：设该项绿化工作原计划每天完成xm2 ，则提高工作量后每天完成1.2xm2 ，根据题意，得
解得x=22.
答：该项绿化工作原计划每天完成22m2
（2）解：设矩形宽为ym，则长为(2y-3) m ，
根据题意，得y(2y-3)= 170，解得y= 10或y= -8.5 (不合题意，舍去).
2y-3= 17.
答：这块矩形场地的长为17m ，宽为10m.
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：实际每天的工作量提高为原来的1.2倍；一共用20天完成了该项绿化工作，设未知数，列方程求解即可。
（2）等量关系为：矩形的长=宽×2-3，矩形的面积=170m2，设未知数，列方程求出方程的解，然后求出矩形的长。
31．“六一”儿童节前夕，某童装店老板到厂家选购 、 两种品牌的童装，若购进 品牌的童装5套， 品牌的童装6套，需要950元；若购进 品牌的童装3套， 品牌的童装2套，需要450元.
（1）求 、 两种品牌的童装每套进价分别为多少元？
（2）若1套 品牌的童装售价130元，1套 品牌的童装售价102元，童装店将购进的 、 两种童装共50套全部售出，所获利润要不少于1460元，问 品牌童装至少购进多少套？
【答案】（1）设 品牌的童装每套进价为 元， 品牌的童装每套进价为 元
根据题意得： 解得
答： 品牌的童装每套进价为100元， 品牌的童装每套进价为75元；
（2）设 品牌童装购进 套，根据题意得：
，解得 ，
∵ 为整数，∴ 的最小值为37，
答： 品牌童装至少购进37套.
【解析】【分析】（1）设A、B童装每套进价分别为x元，y元，根据两种购进方式所需的费用分别列方程，联立求解即可；
（2）设A品牌购进a套，则B品牌购进（50-a）套，根据A品牌每套的利润×A品牌购进的套数+B品牌每套的利润×B品牌购进的套数≥1460列不等式求解，找出a的最小正整数值即可.
32．已知2a+1的平方根为，a+3b-3的立方根为4.
（1）求a，b的值；
（2）求a+b的平方根.
【答案】（1）解：∵2a+1的平方根为，a+3b-3的立方根为4，
∴2a+1=9，a+3b-3=64，
∴a=4，b=21；
（2）解：∵a=4，b=21，
∴a+b=25，
∴a+b的平方根为±5
【解析】【分析】（1）根据平方根的定义、立方根的定义得出2a+1=9，a+3b-3=64，即可得出a=4，b=21；
（2）根据（1）的结论得出a+b=25，即可得出a+b的平方根为±5 .
33．已知正实数的两个平方根分別是和．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：正实数的两个平方根分別是和，
，
，
若，则；
（2）解：联立，得，
．
【解析】【分析】（1）根据平方根先求出x+x+y=0，再求出y=-2x，最后求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再代入计算求解即可。
34．请用不等式表示下列数量之间的关系：
（1）x 的 与 x 的 3 倍的和是非负数；
（2）“和谐”号动车的速度（v）最高可达到400km/h ；
（3）某学校去年一分钟跳绳的最高是 240 次，在今年的校运会中，小李一分钟跳绳的次数x
次，打破了该项的记录.
【答案】（1）解：
（2）解：x≤400
（3）解：x>240
【解析】【分析】 （1）根据非负数≥0，就可列出不等式。
（2）根据表示不等关系的词“最高”就是≤，列出不等式。
（3） 去年一分钟跳绳的最高是 240 次，小李打破了该项的记录，由此可得小李一分钟跳绳的次数＞240，列出不等式。
35．为抗击新型冠状病毒，某药店计划购进一批甲、乙两种型号的口罩，已知一袋甲种口罩的进价与一袋乙种口罩的进价和为40元，用90元购进甲种口罩的袋数与用150元购进乙种口罩的袋数相同．
（1）求每袋甲种、乙种口罩的进价分别是多少元
（2）该药店计划购进甲、乙两种口罩共480袋，其中甲种口罩的袋数少于乙种口罩袋数的，药店计划此次进货的总资金不超过10000元，求药店共有几种进货方案
【答案】（1）解：设甲种口罩进价x元/袋，则乙种口罩进价为（40﹣x）元/袋，
由题意得：
解得x=15，
经检验x=15是原方程的解．
∴40﹣x=25．
答：甲，乙两种口罩分别是15元/袋，25元/袋；
（2）解：设购进甲种口罩y件，则购进乙种口罩（480﹣y）件，
则 ，
解得200≤y＜204．
因为y是整数，甲种口罩的件数少于乙种口罩的件数，
∴y取200，201，202，203，共有4种方案．
【解析】【分析】（1）设甲种口罩进价x元/袋，则乙种口罩进价为（40﹣x）元/袋，根据“ 用90元购进甲种口罩的袋数与用150元购进乙种口罩的袋数相同”，列出方程，解之并检验即可；
（2）设购进甲种口罩y件，则购进乙种口罩（480﹣y）件，根据“ 甲种口罩的袋数少于乙种口罩袋数的，药店计划此次进货的总资金不超过10000元 ”列出不等式组并求出其整数解即可.
36．解下列不等式，并把解在数轴上表示出来．
（1）5x﹣5＜2（2+x）；
（2）＞1；
（3）；
（4）x（x+4）≤（x+1）2+9．
【答案】（1）解：5x﹣5＜2（2+x）
去括号得，5x﹣5＜4+2x，
移项得，5x﹣2x＞4+5，
合并同类项，3x＞9，
∴x＞3．
在数轴上表示此不等式的解集如下：
（2）解：＞1
去分母，得4x﹣1﹣3x＞3，
移项，得4x﹣3x＞3+1，
合并同类项，得x＞4，
∴x＞4．
在数轴上表示此不等式的解集如下：
（3）解：
去分母，得12≥4x﹣（2x﹣3），
去括号，得12≥4x﹣2x+3，
移项，得﹣4x+2x≥3﹣12，
合并同类项，得﹣2x≥﹣9，
∴x≤4.5．
在数轴上表示此不等式的解集如下：
（4）解：x（x+4）≤（x+1）2+9
去括号，得x2+4x≤x2+2x+1+9，
移项，得x2﹣x2+4x﹣2x≤1+9，
合并同类项，得2x≤10，
∴x≤5．
在数轴上表示此不等式的解集如下：
【解析】【分析】按照解不等式的解法求出不等式的解集并在数轴上表示出来即可。
37．直线AB∥CD，E为直线AB上一点，EH、EM分别交直线CD于点F、M，EH平分∠AEM，MN⊥AB，垂足为点N（不与点E重合），∠CFH= ．
（1）MN　 　ME（填“＞”“＜”或“=”），理由是　 　；
（2）求∠EMN的大小（用含 的式子表示）．
【答案】（1）＜；垂线段最短
（2）解：∵ ，且AB CD（两直线平行，同位角相等），
∴ ，
又∵EH平分∠AEM，
∴ ， ，
在 EMN中， ．
【解析】【解答】解：（1）∵MN为两平行线AB、CD之间的垂线段，而垂线段最短，
∴MN＜ME；垂线段最短；
【分析】（1）根据垂线段最短即可解决问题；
（2）利用平行线的性质，三角形的外角的性质解决问题即可。
38．近年来，常州市深入贯彻中央精神，扎实推进“四好农村路”建设，为实现乡村振兴提供坚实保障．在修建某村一条长约米的公路时，筑路队在修建了米后，采用新技术提升修建速度，每天修建长度是原来的倍，结果共用天完成全部任务．原来每天修建公路多少米？
【答案】原来每天修建公路米
39．“和尚头”是白银区武川乡干旱地区种植的优质小麦之一，其特点是滑润爽口、味感纯正、面筋强、食用方便，是家庭、宾馆、给老人祝寿之佳品．某商店准备用3000元购进两种包装的这种小麦共150袋，已知购买两种小麦的费用相同，且种包装小麦的单价是种包装小麦单价的2倍．
（1）两种包装的小麦单价各是多少？
（2）若计划用不超过4500元的资金再次购进两种包装的小麦共200袋，已知两种包装的单价不变，则种包装的小麦最多能购进多少袋？
【答案】（1）解：设种包装的小麦单价为元/袋，则种包装的小麦单价为元/袋，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（元/袋），
答：种包装的小麦单价为30元/袋，种包装的小麦单价为15元/袋；
（2）解：设购进种包装的小麦袋，则购进种包装的小麦袋，
依题意，得，
解得，
答：种包装的小麦最多能购进100袋．
【解析】【分析】（1）设种包装的小麦单价为元/袋，则种包装的小麦单价为元/袋， 根据“ 准备用3000元购进两种包装的这种小麦共150袋，已知购买两种小麦的费用相同，且种包装小麦的单价是种包装小麦单价的2倍 ”列出方程，再求解即可；
（2）设购进种包装的小麦袋，则购进种包装的小麦袋，根据题意列出不等式，再求解即可.
40．数学业余小组在活动中发现：
……
（1）请你在答题卡中写出（补上）上述公式中积为 的一行；
（2）请仔细领悟上述公式，并将 分解因式：
（3）请将 分解因式．
【答案】（1）解：将n=5代入 中，得
；
（2）解：
=
=
= ；
（3）解：
=
=
=
=
= ．
【解析】【分析】（1）根据所给规律求解即可；
（2）根据
计算求解即可；
（3）根据所给规律计算求解即可。
41．如图，已知直线射线，.是射线上一动点，过点作交射线于点，连结.作，交直线于点，平分.
（1）若点都在点的右侧.
①求的度数；
②若，求的度数.
（2）在点的运动过程中，是否存在这样的情形，使，若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：①∵，，
∴，
∵，平分，
∴
②∵
∴，
，
∴
又∵，
∴
∴
∵
∴
（2）解：设，则，
①当点在点的右侧时，
则，
∵，
∴，解得，
∴
②当点在点的左侧时，
则，
∵，，
∴，解得，
∴
∴
∴
【解析】【分析】（1）利用两直线平行，同旁内角互补可求出∠ECQ的度数，再利用角平分线的定义求出∠PCG的度数；②利用平行线的性质可证得∠QCG=∠EGC，即可求出∠EGC+∠ECG的度数，由此可求出∠EGC，∠ECG的度数；利用角平分线的定义求出∠GCF的度数；从而可求出∠PCF的度数；然后利用平行线的性质求出∠CPQ的度数；
（2）利用已知设∠EGC=3x，∠EFC=2x，∠GCF=x，分情况讨论：当点G，F在点E的右侧时；当点G，F在点E的左侧时；分别建立关于x的方程，解方程求出x的值；然后分别求出∠CPQ的度数.
42．如图①，现有边长分别为a，b的正方形硬纸板A和B，邻边长为a和b（）的长方形硬纸板C若干．
（1）活动课上，老师用图①中的1张正方形A，1张正方形B和2张长方形C纸板，排成了如图②中的大正方形．观察图形，由图②可以得到的等式为　 　（等号两边用含a，b的代数式表示）；
（2）小莹想用图①的三种纸板拼一个面积为的大长方形，则需要A硬纸板　 　张，B硬纸板　 　张，C硬纸板　 　张（空格处填写数字），并参考图②画出该大长方形的设计图（画出一种即可）；
（3）如图③，已知点K为线段MN上的动点，分别以MK，NK为边在MN的两侧作正方形MKED和正方形NKFG，面积分别记作，，若，△MKF的面积为6，利用（1）中得到的结论求的值．
【答案】（1）
（2）1；2；3设计图可以为：
a ab ab 　 　 ab ab
b 　 a ab
ab
　 a b b 　 　 a b b
（3）解：设，
由题意得：，
由（1）知：
∴
即．
【解析】【解答】（1）解：根据图形可得：，
故答案为：
（2）解：（a+b）（a+2b）=，
需要A硬纸板1张，B硬纸板2张，C硬纸板3张，
故答案为：1，2，3；
【分析】（1）利用大正方形的面积等于各部分面积的和即可，写出等式；
（2）利用多项式乘多项式的法则，将式子展开后，即可得出结论，仿照（1）的样例解答即可；
（3）设，，根据图形得出，，再利用（1）中的结论解答即可。
43．图书管理员小张要骑车从学校到教育局，一出校门，遇到了王老师，王老师说：“今天有风，而且去时逆风，要吃亏了”，小张回答说：“去时逆风，回来时顺风，和无风往返一趟所用时间相同”．（顺风速度＝无风时骑车速度＋风速，逆风速度＝无风时骑车速度－风速）
（1）如果学校到教育局的路程是15 km，无风时小张骑自行车的速度是20 km/h，他逆风去教育局所用时间是顺风回学校所用时间的 倍，求风速是多少？
（2）如果设从学校到教育局的路程为s千米，无风时骑车速度为v千米/时，风速为a千米/时（v＞a），那么有风往返一趟的时间　 　无风往返一趟的时间（填“＞”、“＜”或“＝”），试说明理由．
【答案】（1）解：设当天的风速为x km/h．根据题意，得
＝ ．
解这个方程，得x＝5．
经检验，x＝5是所列方程的解．
答：当天的风速为5 km/h
（2）解：＞，理由如下： 有风往返一趟的时间为（ ）小时，无风往返一趟的时间为 小时． ∵ - ＝ ， 又∵v>a， ∴ >0，即 ＞ ． ∴有风往返一趟的时间＞无风往返一趟的时间
【解析】【分析】 （1）由题意可得相等关系： 逆风去教育局所用时间 =× 顺风回学校所用时间 ，根据相等关系列方程即可求解；
（2） 由题意可得： 有风往返一趟的时间=顺风所需时间+逆风所需时间； 无风往返一趟的时间=往返的路程无风时的速度；再求差即可判断大小。
44．如图， 交 于 ， ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，求 的度数．
【答案】（1） ，
，
， ，
；
（2）设 ，
，
，
，
，
∴ ，
∴
∵∠AOD与∠BOC为对顶角，
．
【解析】【分析】（1）利用垂直可先求得∠AOE，再根据平角的定义即可求得∠AOC的度数；（2）由 可先求得∠EOD，进而可求得∠AOD，再利用对顶角相等即可求得∠BOC的度数．
45．如图1，在三角形ABC中，点E、点F分别为线段AB、AC上任意两点，EG交BC于G，交AC的延长线于H，∠1+∠AFE=180°。
（1）求证：BC∥EF；
（2）如图2，若∠2=∠3，∠BEG=∠EDF，求证：DF平分∠AFE。
【答案】（1）证明：∵∠1+∠AFE=180°，∠1+∠CFE=180°，
∴∠AFE=∠CFE
∴BC∥EE
（2）解：∵∠BEG=∠EDF，
∴DF∥EH，
∴∠DFE=∠FEH，
又∵BC∥EF，
∴∠FEH=∠2，
又∵∠2=∠3，
∴∠DFE=∠3，
∴DF平分∠AFE。
【解析】【分析】(1) 由条件可证明∠AFE=∠CFE。根据平行线的判定可证明BC∥EF；(2) 由条件可先证明DE∥EH，可得∠DFE=∠FEG，再结合(1)的结论和已知条件可证明∠3=∠DFE，可证得结论。
46．为了庆祝建党100周年，某区在文化广场的一块长方形ABCD的空地上，用花卉摆放“100”字样和四个相同的小正方形（如图），其中 米， 米，三个数之间摆放的距离与四个小正方形的边长相等.设小正方形的边长为x米，数字的宽度均为y米.
（1）请用关于x，y的代数式表示“0”内部小长方形的长和宽.
（2）若“0”内部小长方形的长和宽分别是 米和 米.
①求x，y的值；
②为了整体美观，将在四个正方形、“100”及“0”的内部小长方形分别摆放甲、乙、丙三种花卉，三种花卉的单价都为整数，其中甲花卉的单价在 元 米 之间 含95和 ，乙、丙两种花卉的单价之和为300元 米 已知三种花卉总价为6200元，则丙花卉的单价是 元/米2.
【答案】（1）解：“0”内部小长方形的长为（7.2-2x-2y）米，宽为 =（5.4-2x-2.5y）米.
（2）解：①依题意得： ， 解得： . 答：x的值为1，y的值为0.8.
②120
【解析】【解答】解：②设甲花卉的单价是a元/米2，丙花卉的单价是b元/米2，则乙花卉的单价是（300-b）元/米2， 依题意得：4a+[5×（7.2-2）+4×1.4]×0.8（300-b）+2×3.6×1.4b=6200， 化简得：a= b-346. ∵a，b均为整数， ∴b为5的倍数. 又∵甲花卉的单价在95～125元/米2之间（含95和125）， ∴ ， 解得：116 ≤b≤123 ， ∴b=120. 故答案为：120.
【分析】(1)看图可知内部小长方形的长=AB的长-2×小正方形的边长- 2×数字的宽度，据此即可用含x ， y的代数式表示出”0"内部小长方形的长；而"0"内部小长方形的宽= ( AD的长-4×小正方形的边长-5×数字的宽度)÷2，据此即可用含x ， y的代数式表示出"0"内部小长方形的宽；
(2) ① 由(1)的结论，再结合”0"内部小长方形的长和宽分别是3.6米和1.4米，得出关于x ， y的二元一次方程组求解即可； ② 设甲花卉的单价是a元/米2，丙花卉的单价是b元/米2，则乙花卉的单价是( 300-b )元/米2，利用总价=单价×数量，结合三种花卉总价为6200元，得出关于a ， b的二元一次方程，然后把a用含b的代数式表示，结合a ， b均为整数可得出b为5的倍数，由甲花卉的单价范围，可得出关于b的一元一次不等式组，求出b的取值范围，再结合b为5的倍数即可解答.
47．如图，已知AB∥CD，P是直线AB，CD间的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，∠FPE＝120°．
（1）求∠AEP的度数；
（2）射线PN从PF出发，以每秒30°的速度绕P点按逆时针方向旋转，当PN垂直AB时，立刻按原速返回至PF后停止运动；射线EM从EA出发，以每秒15°的速度绕E点按逆时针方向旋转至EB后停止运动，若射线PN，射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当∠MEP＝15°时，求∠EPN的度数；
②当EM∥PN时，直接写出t的值．
【答案】（1）解：延长FP与AB相交于点G，如图1，
∵PF⊥CD，
∴∠PFD=∠PGE=90°，
∵∠EPF=∠PGE+∠AEP，
∴∠AEP=∠EPF-∠PGE=120°-90°=30°；
（2）解：①Ⅰ如图2，
∵∠AEP=30°，∠MEP=15°，
∴∠AEM=15°，
∴射线ME运动的时间t= =1秒，
∴射线PN旋转的角度∠FPN=1×30°=30°，
又∵∠EPF=120°，
∴∠EPN=∠EPF-∠EPN=120°-30°=90°；
Ⅱ如图3所示，
∵∠AEP=30°，∠MEP=15°，
∴∠AEM=45°，
∴射线ME运动的时间t= =3秒，
∴射线PN旋转的角度∠FPN=3×30°=90°
又∵∠EPF=120°，
∴∠EPN=∠EPF-∠FPN=120°-90°=30；
∴∠EPN的度数为 90°或30°；
②Ⅰ当PN由PF运动如图4时，EM∥PN，PN与AB相交于点H，
根据题意可知，经过t秒，
∠AEM=15t°，∠FPN=30t°，
∵EM∥PN，
∴∠AEM=∠AHP=15t°，
又∵∠FPN=∠EGP+∠AHP，
∴30t°=90°+15t°，
解得t=6（秒）；
Ⅱ当PN运动到PG，再由PG运动到如图5时，EM∥PN，PN与AB相交于点H，
根据题意可知，经过t秒，
∠AEM=15t°，
∵EM∥PN，
∴∠GHP=15t°，∠GPH=90°-15t°，
∴PN运动的度数可得，180°-∠GPH=30t°，
解得t=6（秒）；
Ⅲ当PN由PG运动如图6时，EM∥PN，
根据题意可知，经过t秒，
∠AEM=15t°，∠GPN=30（t-6）°，
∵∠AEP=30°，∠EPG=60°，
∴∠PEM=15t°-30°，∠EPN=30（t-6）°-60°，
又∵EM∥PN，
∴∠PEM+∠EPN=180°，
∴15t°-30°+30（t-6 ）°-60°=180°，
解得t=10（秒），
当t的值为6秒或10秒时，EM∥PN．
【解析】【分析】（1）通过延长PG作辅助线，根据平行线的性质，得到∠PGE=90°，再根据外角的性质可计算出结果；
（2）①Ⅰ、由∠AEP=30°，∠MEP=15°，得出∠AEM=15°，射线ME运动的时间t= =1秒，得出射线PN旋转的角度，即可得出∠EPN的值；Ⅱ、因为∠AEP=30°，∠MEP=15°，得出∠AEM=45°，射线ME运动的时间t= =3秒，射线PN旋转的角度∠FPN=3×30°=90°，因为∠EPF=120°，即可得出∠EPN的度数；②Ⅰ、当PN由PF运动如图4时，EM∥PN，PN与AB相交于点H，Ⅱ、当PN运动到PG，再由PG运动到如图5时，EM∥PN，PN与AB相交于点H，Ⅲ、当PN由PG运动如图6时，EM∥PN，分三种情况分类讨论即可。
48．如图，已知直线 ，直线 和直线 交于点 ，点 在 上，点 在 上，点 在直线 的同侧，直线 上有一动点 ，连接 。
（1）当点 在线段 上运动时，如图①，易证： （不需要证明）；
（2）当点 在线段 的延长线上时，如图②；当点 在线段 的延长线上时，如图③，则 之间又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，并对图②给予证明。
【答案】（1）解：如图，过点 作 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即
（2）解：图②： ，
图③： ，
图②证明如下：
如图，过点 作 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 .
图③证明如下：
如图，过点 作 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 . .
【解析】【分析】（1）过点P作直线 ，则 ，根据平行线的性质可证；（2）过点 作 ，根据平行线的性质可知 之间的数量关系.
49．如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P，满足0°<∠EPF<180° ．
（1）试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线AB， CD之间的一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：
如图1，当点P在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为　 　
如图2，当点P在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为　 　
（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD， 且点P在EF左侧．
①若∠EPF=60°，则∠EQF=　 　 ．
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；
③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的平分线交于点Q2，∠BEQ2与∠DFQ2的平分线交于点Q；依次类推，则∠EPF与∠EQ2018F满足怎样的数量关系？(直接写出结果)
【答案】（1）∠EPF=∠AEP+∠PFC；∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°
（2）150°
【解析】【解答】解：（1）①如图所示：过点P作PH//AB，
∵AB//CD，
∴AB//CD//PH，
∴∠AEP=∠EPH，∠PFC=∠FPH，
∴∠EPF=∠EPH+∠FPH=∠AEP+∠PFC，
即∠EPF=∠AEP+∠PFC；
②如图所示：过点P作PM//AB，
∵AB//CD，
∴PM//CD，
∴∠AEP+∠EPM=180°，∠CFP+∠MPF=180°，
∴∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°.
（2）①如下图所示：
由（1）可得：∠PEA+∠PFC=∠EPF=60°，
∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
∴∠PEQ=∠5，∠PFQ=∠6，
∴∠PEA+2∠5=180°，∠PFC+2∠6=180°，
∴60°+2∠5+2∠6=360°，
∴∠5+∠6=150°，
∴由（1）可得：∠EQF=∠5+∠6=150°；
②∠EPF+2∠Q=360°，理由如下：
如图3所示：过点P作PG//AB，
∵EQ、FQ分别平分∠PEB和∠PFD，
∴∠PEB=2∠5，∠PFD=2∠6，
由（1）可得：∠EPF=∠1+∠4，∠EQF=∠5+∠6，
∵∠1+∠PEB=180°，∠4+∠PFD=180°，
∴∠1+∠PEB+∠4+∠PFD=360°，
∴∠1+2∠5+∠4+2∠6=360°，
∴∠EPF+2∠EQF=360°；
③如图③，∵EQ、FQ分别平分∠PEB和∠PFD，
∴设∠BEQ=∠QEP=m，∠QFD=∠PFQ=n，
∴∠EPF=180°-2m+180°-2n=360°-2（m+n），∠EQF=m+n，
∴∠EPF+2∠EQF=360°，
同理可得：，，……，
∴，
∴∠EPF+22019∠EQ2018F=360°.
【分析】（1）①先作图，再求出AB//CD//PH，最后利用平行线的性质证明求解即可；
②利用平行线的判定与性质证明求解即可；
（2）①根据角平分线先求出∠PEQ=∠5，∠PFQ=∠6，再求出60°+2∠5+2∠6=360°，最后作答即可；
②根据角平分线求出∠PEB=2∠5，∠PFD=2∠6，再求出∠1+∠PEB+∠4+∠PFD=360°，最后证明求解即可；
③根据题意先求出∠EPF+2∠EQF=360°，再找出规律证明求解即可。
50．大小两种货车运送360台机械设备，有三种运输方案.
方案一：设备的 用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车27辆.
方案二：设备的 用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车28辆.
方案三：设备的 用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车26辆.
（1）每辆大、小货车各可运送多少台机械设备？
（2）如果大货车运费比小货车高m%（m>0），请你从中选择一种方案，使得运费最低，并说明理由.
【答案】（1）解：设方案一大货车有x辆，每辆装有机器 台，小货车有（27-x）辆，每辆装有机器 台，
依题意得方程 =28，
解得x=12，
经检验：x=12是原方程的解
小货车为27-12=15（辆），
大货车每辆装180÷12=15台，
小货车每辆装180÷15=12台，
答：大货车每辆装15台，小货车每辆装12台.
（2）解：方案二大货车有360× ÷15=8台；
方案三大货车有360× ÷15=16台；
设w1、w2、w3分别表示方案一、方案二、方案三的运费，小货车每台每次运费a（a为常数）元，
方案一：w1=（27+12m%）a=12am%＋27a
方案二：w2=（28+8m%）a=8am%＋28a
方案三：w3=（26+16m%）a=16am%＋26a
当w1= w2时，
解得：m=25；
当w1= w3时，
解得：m=25；
画出w与m的函数图象，如下所示
由图象可知：当0∴w3当m=25时，w1=w2=w3，三种方案运费一样，
当m>25时，w2答：当025时，方案二运费最低.
【解析】【分析】（1）设方案一大货车有x辆，每辆装有机器 台，小货车有（27-x）辆，每辆装有机器 台，根据方案二列出分式方程即可求出结论；（2）设w1、w2、w3分别表示方案一、方案二、方案三的运费，小货车每台每次运费a（a为常数）元，分别求出w1、w2、w3与m的函数关系式，然后画出对应的图象，根据图象即可得出结论.
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