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2024-2025学年广东省深圳市聚龙科学中学教育集团高二下学期第二
次段考(5月)数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列 满足 +1 = 1，若 8 = 10, = 0，则 =( )
A. 28 B. 13 C. 18 D. 2
2.( + 1 6 ) 的展开式的常数项为( )
A. 20 B. 120 C. 5 D. 8
3.若C 1 +1 = 28 则 =( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
4.一批产品共有 7 件，其中 4 件正品，3 件次品，现从 7 件产品中一次性抽取 3 件，设抽取出的 3 件产品
中次品数为 ，则 ( = 1) =( )
A. 1235 B.
18
35 C.
3 5
14 D. 14
5.已知函数 ( )的导函数为 ′( )，且 ( ) = 2 ′ π3 + sin
π
，则 ′ 3 =( )
A. 32 B.
1
2 C.
1
2 D.
3
2
6.易经是中国传统文化中的精髓，如图所示的是易经八卦(含乾 坤 巽 震 坎 离 艮 兑八卦)，每一卦由三
根线组成(“——”表示一根阳线，“— —”表示一根阴线).现从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中至少
有两根阳线的概率为( )
A. 23 25 1328 B. 28 C. 14 D.
27
28
7.给出下列说法：
①回归直线 = + 恒过样本点的中心( , )，且至少过一个样本点；
②两个变量相关性越强，则相关系数| |就越接近 1；
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③某 7 个数的平均数为 4，方差为 2，现加入一个新数据 4，此时这 8 个数的方差 2 < 2；
④在回归直线方程 = 2 0.5 中，当解释变量 增加一个单位时，预报变量 平均减少 0.5 个单位．
其中说法正确的是( )
A.①②④ B.②③④ C.①③④ D.②④
2 2
8 .已知 1， 2是椭圆 ： 9 + 4 = 1 的两个焦点，点 在 上，则 1 2 的最大值为( )
A. 13 B. 12 C. 9 D. 6
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的有( )
A.若 = 2 3 + 3 2 + 1，则 ′ = 6 2 + 6 1
B.若 = cos π3，则
′ = sin π3
C.若 = ln(2 + 1)，则 ′ = 22 +1
D. 1 若 = e ，则
′ = e
10.已知离散型随机变量 的分布列为
1 0 1
1 1
2 6
则下列说法正确的有( )
A. = 13 B. ( ) = 0 C. ( ) =
5
9 D. (2 + 1) =
2
3
11.有三个相同的箱子，分别编号 1,2,3，其中 1 号箱内装有 1 个红球、4 个白球，2 号箱内装有 2 个红球、
3 个白球，3 号箱内装有 3 个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸
出一个球，事件 表示“取到 号箱( = 1,2,3)”，事件 表示“摸到红球”，事件 表示“摸到白球”，则( )
A. 11 = 5 B. 1 + 1 = 1
C. ( ) = 715 D. =
1
1 8
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知随机变量 服从正态分布 1, 2 ，且 (1 < ≤ 4) = 0.3，则 ( > 4) = ．
13.光明部食堂提供汤粉、煲仔饭、焗饭、盖浇饭、意面、鸡翅包饭、窑鸡 7 种明星菜品，某学生计划周一
到周五每天选择一种不同的菜品作为午餐，他周一不想吃汤粉，周五不想吃鸡翅包饭，那么他共有 种
午餐安排方式．(答案用数字表示)
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14.已知函数 ( ) = 3，若不等式 ( + 1) + ln 1 > 0 在(0, + ∞)上恒成立，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2 2
(1)已知 (0,3) 3 和 3, 2 为椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)上两点．求 的离心率；
2 2
(2) 已知双曲线 : 2 2 = 1 经过点(2, 3)，一条渐近线的斜率为 3，求双曲线 的方程．
16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 , = = = 2, = 4, /\ !/ ， ⊥ , 是
的中点．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求 与平面 所成的角的正弦值．
17.(本小题 15 分)
在 + 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 cos + sin 2 = 0．
(1)求角 的大小；
(2)若 : = 3: 5 15 3，且 边上的高为 14 ，求 的周长．
18.(本小题 17 分)
2
设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为3 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，
且任一同学每天到校情况相互独立．
(Ⅰ)用 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望；
(Ⅱ)设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的天数恰
好多 2”，求事件 发生的概率．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln( 1) + 2, ∈ R．
(1)讨论 ( )的单调性；
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(2) 1 1 1 1 2 +1证明： + + + > ln ( ≥ 2 且 ∈ N 3 5 2 1 2 3 )
2
(3)若对任意 > 0，都有 ( + 1) ≥ 1 e 恒成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.2/15
13.1860
14. 1e2 , + ∞
= 3 2
15.解：(1)由题意得 99 4 ，解得
= 9 ,
2 + 2 = 1
2 = 12
2
所以 = 1 2 = 1
9 = 112 2．
(2) 3 由一条渐近线的斜率为 ，可得 = 3，
2 2
可得： 2 3 2 = 1，又(2, 3)在双曲线上，
4 9所以 2 3 2 = 1，
解得 2 = 1，
2
所以双曲线方程为： 2 3 = 1．
16.解：(1) ∵ ⊥平面 , 平面 ，∴ ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = , 、 面 ，
∴ ⊥平面 ，
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又∵ 平面 , ∴ ⊥ ，
∵ = ， 是 的中点，∴ ⊥ ，
又∵ ∩ = , 平面 , 平面 ，
∴ ⊥平面 ；
(2)结合条件及(1)可分别以 , , 所在直线为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,0), ( 2,4,0), ( 2,0,0), (0,0,2), ∴ = ( 2,0, 2)，
= ( 2,4,0)
∵ ⊥平面 , ∴ = ( 2,0, 2)是平面 的一个法向量，
设 与平面 所成的角为 ，

则 sin = 4 10
| |
= 2 2× 4+16 = 10 ．
∴ 与平面 10所成的角的正弦值为 10 ．
17.(1)因为 sin + 2 = sin
π = sin π 2 2 2 = cos

2，
+
所以由 cos + sin 2 = 0 得 cos + cos

2 = 0，
所以 2cos2 2 + cos

2 1 = 0 cos
1
，解得 2 = 2或 cos 2 = 1，
π 1
因为 0 < < π，所以 0 < 2 < 2，则 cos 2 > 0，故 cos 2 = 2，
π 2π
则2 = 3，故 = 3 ．
(2)因为 : = 5: 3，令 = 5 ( > 0)，则 = 3 ，
1 1 15 3
由三角形面积公式可得2 sin = 2 × 14 ，则 15 = 7 = 7 × 15
2，故 = 7 2，
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos ，则 49 4 = 49 2，解得 = 1，
从而 = 3， = 5， = 7，故 的周长为 + + = 15．
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18.解：(Ⅰ) 2因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7: 30 之前到校的概率均为3，
2 3
故 ～ 3, 3 ，从面 ( = ) =
2 1
3 3 3 ( = 0,1,2,3)．
所以，随机变量 的分布列为：

0 1 2 3
1 2 4 8
27 9 9 27
2
随机变量 的数学期望 ( ) = 3 × 3 = 2．
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中 7: 30 之前到校的天数为 ，则 2～ 3, 3 ．
且 = { = 3, = 1} ∪ { = 2, = 0}．
由题意知事件 = 3, = 1 与 = 2, = 0 互斥，
且事件 = 3 与 = 1 ，事件 = 2 与 = 0 均相互独立，
从而由(Ⅰ)知：
( ) = = 3, = 1 ∪ = 2, = 0
= ( = 3, = 1) + ( = 2, = 0)
= ( = 3) ( = 1) + ( = 2) ( = 0)
= 8 × 2 + 4 × 1 = 2027 9 9 27 243．
19.解：(1) ( )的定义域为(1, + ∞)，所以 ′( ) = 1 1 ，
当 ≤ 0 时， ′( ) > 0， ( )在(1, + ∞)上单调递增，
当 > 0 时，令 ′( ) = 0 1，得 = 1 + ，
当 1 < < 1 + 1 时，
′( ) > 0， ( ) 1在区间 1,1 + 上单调递增，
1
当 > 1 + ′ 时， ( ) < 0， ( )在 1 +
1
上单调递减，
综上可得，当 ≤ 0 时， ( )在(1, + ∞)上单调递增，
当 > 0 1 1时， ( )在 1,1 + 上单调递增，在区间 1 + , + ∞ 上单调递减；
(2)当 = 1 时， ( ) = ln( 1) + 2，
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由(1)可知， ( )在(1,2]上单调递增，在(2, + ∞)上单调递减，
故 ( ) ≤ (2) = 0，即 ln( 1) + 2 ≤ 0 在(1, + ∞)上恒成立，
所以当 > 2 时，0 < ln( 1) < 2，
= 2 +1令 2 1+ 1 > 2( ≥ 2 且 ∈ N
) ln 2 +1 2 +1 2，则 2 1 < 2 1 1 = 2 1，
1 > 1即3 2 ln5 ln3
1 > 1，5 2 ln7 ln5
1 1
，…，2 1 > 2 ln(2 + 1) ln(2 1) ，
1+ 1+ . . . + 1 1所以累加得3 5 2 1 > 2 ln5 ln3 +
1
2 ln7 ln5 + . . . +
1
2 ln(2 + 1) ln(2 1) =
1 ln 2 +12 3 ，
1 1 1 1 2 +1
故当 ≥ 2 且 ∈ N 时，3+ 5 + . . . + 2 1 > 2 ln 3 ．
2
(3)由题对任意 > 0，都有 ln + 2 ≥ 1 e 恒成立，
e 2
即 + ln + 1 ≥ 0 在(0, + ∞)上恒成立，
2
令 ( ) = e + ln + 1， > 0，即 ( ) ≥ 0 在(0, + ∞)上恒成立，
①当 ≤ 1 时，由于 > 0, ≥ 1，
e 2 e 2
则有 ( ) = + ln + 1 ≥ + ln + 1 = e
2 ln 2 ln 1，
令 ( ) = 2 ln ( > 0)，所以 ′( ) = 1 1 = 1 ，
令 ′( ) = 0，得 = 1，
所以当 ∈ (0,1)， ′( ) < 0， ( )在(0,1)上单调递减，
当 ∈ (1, + ∞)， ′( ) > 0， ( )在(1, + ∞)上单调递增，
所以当 ∈ (0, + ∞)时， ( ) ≥ (1) = 1，
令 = 2 ln ，则 ∈ [ 1, + ∞)，令 ( ) = e 1，所以 ′( ) = e 1，
令 ′( ) = 0，得 = 0，
所以当 ∈ [ 1,0)时， ′( ) < 0， ( )在[ 1,0)单调递减，
当 ∈ (0, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )在(0, + ∞)单调递增，
所以当 ∈ [ 1, + ∞)时， ( ) ≥ (0) = 0，
2
即 ( ) = e + ln + 1 ≥ ( ) ≥ 0 在 ∈ (0, + ∞)上恒成立，符合题意，
②当 > 1 时，由于 ( )在(1, + ∞)上单调递增且 (2) = ln2 < 0， (4) = 2 2ln2 > 0，
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故存在唯一 0 ∈ (2,4)，使得 0 = 0，即 0 2 ln 0 = 0，即 0 2 = ln 20，即e 0 = 0，
= e
0 2
此时 0 + ln 0 0 + 1 = (1 ) 0 < 0 这与 ( ) ≥ 0 在(0, + ∞)上恒成立不符，0
综上，实数 得到取值范围是( ∞,1]
第 9页，共 9页

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