资源简介 中小学教育资源及组卷应用平台【精选热题·期末50道综合题专练】沪科版数学八年级下册复习卷1．超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销量，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价5元，则平均每天销售数量为________件；（2）为尽快减少库存，要使该商店每天销售利润为1200元，每件商品应降价多少元？2．如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1872平方米，路宽为多少米？3．某超市对近四周西红柿和黄瓜的销售情况进行了统计，并将销售单价和销售量分别制成如下统计图．（1）这四周西红柿销售单价的众数为 ，黄瓜销售单价的中位数为 ；（2）分别求这四周西红柿、黄瓜周销量的方差；（3）结合上述两幅统计图写出一条正确的结论．4．某校为调查学生周末平均每天做作业所用时间的情况，随机抽查了50名同学，如图是根据调查所得数据绘制的统计图的一部分．请根据以上信息，解答下列问题：（1）请你补全条形统计图；（2）求在这次调查的数据中，学生做作业所用时间的众数、中位数和平均数；（3）若该校共有2000名学生，根据以上调查结果估计该校全体学生每天组做作业时间在3小时内（含3小时）的同学共有多少人？5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，延长CA至D使得CD＝BA，过D作DE⊥CD且满足CB＝CE，连接CE.（1）求证：∠B＝∠DCE；（2）延长BA交CE于点G，作∠BCA的平分线交AB于点F，若G为CE中点，连接EF，求∠EFC的度数.6．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD的中点.（1）求证： ；（2）当四边形AECF为菱形且 时，求出该菱形的面积.7．如图是一张长10 dm，宽6 dm矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为x dm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖方盒.（1）无盖方盒盒底的长为 dm，宽为 dm（用含x的式子表示）（2）若要制作一个底面积是32dm2的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长x.8．某公司欲招聘一名销售人员，按1：3的比例入围的甲、乙、丙（笔试成绩没有相同的，按从高到低排列，）三位入围者的成绩（百分制，成绩都是整数）如下表：入围者 笔试成绩 面试成绩甲 90 86乙 x x丙 84 92（1）若公司认为笔试成绩与面试成绩同等重要，结果乙被录取，求x的值；（2）若公司认为笔试成绩与面试成绩按4：6的权重，结果乙排第二，丙被录取，求x的值；（3）若公司认为笔试成绩与面试成绩按a：（10－a）（a为1~9的整数）的权重，为确保甲被录取，求a的最小值.9．将两个等腰直角三角形如图摆放，，，，点C在边AD上，连结BD，EC.（1）求证：.（2）取BD，EC的中点M，N，判断点A，M，N，为顶点的三角形形状，并说明相应理由.10．已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a＋b＝3，ab＝1，．（1）求的值；（2）试判断△ABC的形状，并说明理由．11．“校园安全”受到全社会的广泛关注，“高远”中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，要求被抽查的同学在四种了解程度中选择唯一一种，绘制了如下尚不完整的条形统计图，且知在抽样调查中“了解很少”的同学占抽样调查人数的50%，请你根据提供的信息解答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有多少名？（2）请通过计算补全条形统计图；（3）若“高远”中学共有1700名学生，请你估计该校学生对校园安全知识“基本了解”的有多少名？12．如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为100米，宽为60米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米.（1）用含a的式子表示花圃的面积；（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，求出此时通道的宽；13．为庆祝中国共产党成立100周年，某校开展了党史知识的宣传教育活动.为了解此次活动的效果，从全校1800名学生中随机抽取了一部分进行知识测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等级：基本合格 ，合格 ，良好 ，优秀 ，抽样和分析过程如下：（收集数据）从三个年级中各随机抽取20名学生，测试成绩（单位：分）如下：七年级：80，75，65，92，84，78，60，86，78，74，81，79，76，74，72，84，88，95，82，73八年级：83，76，98，69，95，87，75，66，88，77，76，79，94，80，73，82，82，96，81，71九年级：70，85，75，87，93，98，80，88，87，65，91，87，92，84，76，89，100，95，82，100（整理数据）整理以上数据，绘制了频数分布表.七年级 2 9 7 2八年级 2 7 7 4九年级 1 3 a b（分析数据）根据以上教据，得到以下统计里统计量年级 平均数 中位数 优秀率七年级 78.8 78.5八年级 81.4 80.5九年级 86.2 c d根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的 ， ， ， .（2）根据统计数据，你认为哪个年级的成绩最好，并说明理由；（3）若该校学生全部参加测试，请估计成绩达到良好及以上等级的学生人数.14．随着电池技术的突破，电动汽车已呈替代燃油汽车的趋势，安徽电动汽车在今年第一季度销售了2万辆，第三季度销售了2.88万辆．（1）求前三季度销售量的平均增长率．（2）某厂家目前只有1条生产线，经调查发现，1条生产线最大产能是6000辆/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少200辆/季度．①现该厂家要保证每季度生产电动汽车2.6万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？②是否能增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到6万辆，若能，应该再增加几条生产线？若不能，请说明理由．15．为了丰富大课间活动，某校抽出部分资金购买了若干副羽毛球拍．已知2022年该校用于购买羽毛球拍的费用是2000元，计划2024年用于购买羽毛球拍的费用是2880元．（1）求2022~2024年该校用于购买羽毛球拍费用的年平均增长率；（2）如果按照这样的速度，逐年增加投入，预计2025年需要抽出多少资金用于购买羽毛球拍？16．4月23日是世界图书日，某学校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，文学社为了解同学课外阅读情况，抽样调查了部分同学每周用于课外阅读的时间，过程如下：数据收集：从全校随机抽取20名同学，调查每周用于课外阅读的时间，数据如表：（单位：min）30 60 81 50 40 110 130 146 90 10060 81 120 140 70 81 10 20 100 81整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：课外阅读时间x（min） 0≤x＜40 40≤x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160等级 D C B A人数 3 5 8 a分析数据：补全下列表格中的统计量：平均数 中位数 众数80 b c得出结论：（1）a＝_ ，b＝_ ，c＝_ ．（2）如果该校现有学生2000人，估计等级为“B”的同学有多少名？（3）假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟，请你用平均数来估算该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读多少本课外书？17．已知关于x的一元二次方程．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若是原方程的两根，且 ，求m的值．（3）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为 18．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？19．如图，在 中，过点 作 于点 ，点 在边 上， ，连接 ， ．（1）求证：四边形 是矩形；（2）已知 ， 是 的平分线，若 ，求 的长度．20．某商场主营玩具销售，经市场调查发现，某种玩具的月销量 （件）是售价 （元/件）的一次函数，该玩具的月销售总利润 （售价－进价）×月销量，三者有如下数据：售价 （元/件） 15 20 30月销量 （件） 500 400 200月销售总利润 （元） 2500 4000 4000（1）试求 关于 的函数解析式（ 的取值范围不必写出）；（2）玩具的进价为 元/件；当玩具售价 元/件时，月销售总利润有最大值为 元．（3）受市场波动影响，从本月起，该玩具每件的进价上涨 元（ ），且物价局规定该玩具售价最高不得超过25元/件．若月销量 与售价 仍满足（1）中的关系，预计本月总利润 最高为3000元，请你求出 的值．21．中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：成绩/分 频数 频率10 0.0520 0.10300.3080 0.40请根据所给信息，解答下列问题：（1） ， （2）请补全频数分布直方图．（3）这次比赛成绩的中位数会落在 分数段．（4）若成绩在80分以上（包括80分）的为“优良”级别，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优良”级别的大约有多少人？22．突如其来的新冠疫情影响了某厂经济效益，在复工复产对产品价格进行了调整，每件的售价比进价多8元，8件的进价相当于6件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件．（1）该商品的售价和进价分别是多少元？（2）在进价不变的条件下，若每天所得的销售利润为2035元时，且销量尽可能大，该商品应涨价多少元？23．如图，已知平行四边形 中，对角线 、 交于点O，E是 延长线上一点，若 .（1）求证：四边形 是菱形.（2）若 ，判断四边形 是的形状，并说明理由.24．学校组织开展了社团活动，分别设置了体育类、艺术类、文学类及其它类社团（要求人人参与社团，每人只能选择一项）．为了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查．根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图：（1）此次共调查了多少人？（2）通过计算将条形统计图补充完整；（3）若该校有1500名学生，请估计喜欢体育类社团的学生有多少人？25．已知关于x的一元二次方程(x-m)2+6x=4m-3有实数根。（1）求m的取值范围；（2）设方程的两实根分别为x1与x2，若x1x2-x12-x22=-7，求m的值。26．为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取20名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制，单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息.a.甲、乙两校学生样本成绩频数分布表及扇形统计图如图：甲校学生样本成绩频数分布表（表1）成绩 （分） 频数 频率0.104 0.207 0.352合计 20 1.0b.甲、乙两校学生样本成绩的平均分、中位数、众数、方差如表所示：（表2）学校 平均分 中位数 众数 方差甲 76.7 77 89 150.2乙 78.1 80 135.3其中，乙校20名学生样本成绩的数据如下：54 72 62 91 87 69 88 79 80 62 80 84 93 67 87 87 90 71 68 91请根据所给信息，解答下列问题：（1）表1中 ；表2中的众数 ；（2）在此次测试中，某学生的成绩是79分，在他所属学校排在前10名，由表中数据可知该学生是 校的学生（填“甲”或“乙”），理由是 ；（3）乙校学生样本成绩扇形统计图中， 这一组成绩所在扇形的圆心角度数是 度；（4）若甲、乙两校各有1000名学生参加此次测试，成绩80分及以上为优秀，请计算两校成绩优秀的学生大约共为多少人？27．保温杯的保温时效是顾客购买保温杯时的首要考虑因素.随机选择A款保温杯20个，B款保温杯20个.统计了每一个保温杯的保温时效，并绘制成如下统计图表.A款保温杯的保温时效统计表保温时效小时 个数11 612 113 614 7请你根据以上信息解答下列问题：（1）将表格补充完整.保温时效种类 平均数小时 中位数小时 众数小时A款保温杯 13 B款保温杯 12.85 13（2）哪款保温杯的保温效果更好？请你结合所学的统计知识，简述理由.28．海伦—秦九韶公式：如果一个三角形三边长分别为a，b，c，设，则三角形的面积为，用公式计算下图三角形的面积.29．如图，菱形 的对角线 、 相交于点 ，过点 作 且 ，连接 、 ，连接 交 于点 .（1）求证： ；（2）若菱形 的边长为2， .求 的长.30．阅读并解决问题：对于二次三项式 ，因不能直接运用完全平方公式，此时，我们可以在 中先加上一项4，使它与 的和成为一个完全平方式，再减去4，整个式子的值不变，于是有： .像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.（1）利用“配方法”分解因式： .（2）同时运用多项式的配方法能确定一些多项式的最大值或最小值.因为不论x取何值， ，所以当 时，多项式 有最小值为-16.试确定：多项式 有最 值（填大或小）为 .（3）已知x是实数，试比较 与 的大小，说明理由.31．某中学A、B两栋教学楼之间有一块如图所示的四边形空地 ，学校为了绿化环境，计划在空地上种植花草，经测量 ， 米， 米， 米， 米.（1）求出四边形空地 的面积；（2）若每种植1平方米的花草需要投入120元，求学校共需投入多少元.32．在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，O是AC边的中点，CE//AD，交DO的延长线于点E，连接AE．（1）如图1，求证：四边形ADCE是平行四边形；（2）如图2，若点D是BC边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的直角三角形．33．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为．（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；（2）求喷泉B到小路的最短距离．34．为了提高学生的安全意识，某校开展了安全教育课程，并在全校实施.为了检验此课程的效果，随机抽取了20名学生在开展此课程前进行了第一次安全常识测试，课程开展一段时间后，对这些学生又进行了第二次安全常识测试，获得了他们的成绩（满分40分），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息：a.第一次安全常识测试成绩统计表：分组/分 人数56m3b.第二次安全常识测试成绩扇形统计图：c.两次成绩的平均数、中位数、众数如表：平均数 中位数 众数第一次成绩 28.2 32第二次成绩 35.8 36.5 37d.第一次安全常识测试成绩在这一组的数据是：26，26，27，28，28，29.e.第二次安全常识测试成绩在B：这一组的数据是：31，31，33，34，34.请根据以上信息，回答下列问题：（1） ， ．（2）下列推断合理的是 （填写序号）．①第二次测试成绩的平均分高于第一次的平均分，所以大多数学生通过参加此课程一段时间后成绩提升了．②被抽测的学生小明的第二次测试成绩是36分，他觉得学校里至少有一半的学生的测试成绩比他高．（3）若第二次安全常识测试成绩不低于34分为优秀，根据统计结果，估计全校600名学生第二次安全常识测试成绩优秀的人数．35．如图，已知为火车道，为公路，A为火车站（点A在射线上），P为村庄（点P在射线上），且．公路与公路垂直，垂足为D，经测量，．（1）原来P村村民需沿才能到达火车站，现修通公路，求P村村民沿公路到达火车站，比原来少走多少的路；（结果可保留根号）（2）求的长．36．如图，点E是正方形 的边 延长线上一点，连接 ，过点A作 交 于点H，交 延长线于点F，点M、N分别是 、 的中点，连接 、 ．（1）求证：四边形 是菱形；（2）若 ，求 的值．37．（1）计算： + -│-4│（2）先化简，再求值： ，其中x是一元二次方程 -5x+6=0的解38．某中学对全校学生开展主题为“一周内平均丢的塑料袋个数”的专题调查活动，采用随机抽查的方式进行了问卷调查，问卷调查的结果分为“A．非常了解”、“B．比较了解”、“C．基本了解”、“D．不太了解”四个等级，统计等级如下：等级 频数 频率A 75 0.375B 95C 24 0.12D（1）求表格中的参数、的值：（2）求扇形统计图中A等级和B等级部分所对的圆心角度数之和；（3）该校共计有学生4220人，请根据统计结果估计该校达到A、B等级的人数．39．如图(1)，矩形纸片ABCD，把它沿对角线BD向上折叠，（1）在图(2)中用实线画出折叠后得到的图形(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)（2）折叠后重合部分是什么图形？说明理由.40．如图，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF.（1）求证：BF＝2AE；（2）若CD=2，求AD的长.41．如图1，E、F分别为△ABC的边AB、BC的中点，延长EF到D，使得DF=EF，连接DA、DB、AE．（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；（2）若AB=AC，试说明四边形AEBD是矩形；（3）如图2，如果ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门，且DE=CF，要建两条路BE和AF，这两条路等长吗？为什么？42．看对话答题：小梅说：这个多边形的内角和等于1125°小红说：不对，你少加了一个角问题：（1）他们在求几边形的内角和 （2）少加的那个内角是多少度 43．先观察下列各组数，然后回答问题：第一组：1， ，2； 第二组： ，2， ；第三组： ， ， ； 第四组：2， ， ；（1）根据各组数反映的规律，用含 的代数式表示第 组的三个数；（2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由；（3）如图， ， ， ，若3， ， 为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且 ， ，求 的长．44．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形。（1）概念理解：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE。已知AC=4，AB=5，求GE长。45．我们知道，所以代数式的最小值为0.学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值.例如，求的最小值问题.解：∵，又∵，∴，∴的最小值为-6.请应用上述思想方法，解决下列问题：（1）探究：（x ）2+ （2）求的最小值.（3）比较代数式：与的大小.46．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC延长线上的一点，且BD＝DE．点G是线段BC的中点，连结AG，交BD于点F，过点D作DH⊥BC，垂足为H．（1）求证：△DCE为等腰三角形；（2）若∠CDE＝22.5°，DC＝ ，求GH的长；（3）探究线段CE，GH的数量关系并用等式表示，并说明理由．47．如图，是的中线，是线段上一点（不与点重合）．交于点，，连接．（1）如图1，当点与重合时，证明；（2）如图1，当点与重合时，求证：四边形是平行四边形；（3）如图2，当点不与重合时，（2）中的结论还成立吗？请说明理由．48．如图，中、，，外角平分线交于点，过点分别作直线的垂线，为垂足．（1）求的大小；（2）①求证：四边形是正方形．②若，求的长．（3）如图2，在中，，高，，求的长度．（直接写出结果不写解答过程）．49．如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与点C和点A重合），连接PB，过点P作PF⊥PB交射线DA于点F，连接BF，已知AD＝3 ，CD＝3，设CP的长为x．（1）线段PB的最小值为 ．（2）如图，当动点P运动到AC的中点时，AP与BF的交点为G，FP的中点为H，求线段GH的长度；（3）当点P在运动的过程中：①试探究∠FBP是否会发生变化？若不改变，请求出∠FBP大小；若改变，请说明理由；②当x为何值时，△AFP是等腰三角形？50．已知，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝18cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中．①已知点P的速度为每秒10cm，点Q的速度为每秒6cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．②若点P、Q的运动路程分别为x、y（单位：cm，xy≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求x与y满足的函数关系式．21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台【精选热题·期末50道综合题专练】沪科版数学八年级下册复习卷1．超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销量，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价5元，则平均每天销售数量为________件；（2）为尽快减少库存，要使该商店每天销售利润为1200元，每件商品应降价多少元？【答案】（1）30（2）20元2．如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1872平方米，路宽为多少米？【答案】2米3．某超市对近四周西红柿和黄瓜的销售情况进行了统计，并将销售单价和销售量分别制成如下统计图．（1）这四周西红柿销售单价的众数为 ，黄瓜销售单价的中位数为 ；（2）分别求这四周西红柿、黄瓜周销量的方差；（3）结合上述两幅统计图写出一条正确的结论．【答案】（1）6，5.5（2）西红柿销量的方差为462.5，黄瓜销量的方差为350（3）西红柿和黄瓜的销量随着价格的减少而增加4．某校为调查学生周末平均每天做作业所用时间的情况，随机抽查了50名同学，如图是根据调查所得数据绘制的统计图的一部分．请根据以上信息，解答下列问题：（1）请你补全条形统计图；（2）求在这次调查的数据中，学生做作业所用时间的众数、中位数和平均数；（3）若该校共有2000名学生，根据以上调查结果估计该校全体学生每天组做作业时间在3小时内（含3小时）的同学共有多少人？【答案】（1）解：每天作业用时4个小时的人数是：(人)，故条形统计图如图所示：（2）解：每天作业用时是3小时的人数最多，众数是3小时；从小到大排列后排在第25位和第26位的都是每天作业用时3小时的人，中位数是3小时；平均数是（小时）；（3）解：估计该校全体学生每天组做作业时间在3小时内（含3小时）的同学人数为：(人).【解析】【分析】（1）用样本容量减去已知各部分的人数求出平均每天作业用时是4小时的人数，然后补全统计图；（2）平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；（3）利用总人数2000乘以样本中每天做作业时间在3小时内（含3小时）的同学所占的比例即可估计该校全体学生每天组做作业时间在3小时内（含3小时）的同学人数.5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，延长CA至D使得CD＝BA，过D作DE⊥CD且满足CB＝CE，连接CE.（1）求证：∠B＝∠DCE；（2）延长BA交CE于点G，作∠BCA的平分线交AB于点F，若G为CE中点，连接EF，求∠EFC的度数.【答案】（1）证明：在Rt△ABC和Rt△DCE中，，∴Rt△ABC≌Rt△DCE（HL）.∴∠B＝∠DCE.（2）解：∵CF是∠BCA的平分线，∴∠ACF＝∠BCF.∵∠GCF＝∠GCA+∠ACF，∠GFC＝∠B+∠BCF，∴∠GCF＝∠GFC.∴GF＝GC.∵G为CE中点，∴GC＝GE.∴GC＝GE＝GF.∴GF＝ EC.∵G为CE中点，∴∠EFC＝90°【解析】【分析】（1）易证Rt△ABC≌Rt△DCE，据此可得结论；（2）由角平分线的概念可得∠ACF＝∠BCF，由外角的性质可得∠GFC＝∠B+∠BCF，根据角的和差关系可得∠GCF＝∠GCA+∠ACF，推出∠GCF＝∠GFC，则GF＝GC，由中点的概念可得GC＝GE，则GC＝GE＝GF，GF＝EC，据此解答.6．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD的中点.（1）求证： ；（2）当四边形AECF为菱形且 时，求出该菱形的面积.【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD∴ ， ，∵点E、F分别为BC、AD中点∴ ，∴∴ ，∴（2）解：∵四边形AECF是菱形∴CE=AEBE=CE=AE=4∵AB=4∴AB=BE=AE=4，过点A作AH⊥BC于HAH=2S菱形AECF=CE×AH=4×2 =8 .【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得BC=AD，∠B=∠D，AB=CD，由线段中点的概念可得BE=0.5BC，DF=0.5AD，进而推出DE=DF，然后结合全等三角形的判定定理进行证明；（2）由菱形的性质结合已知条件可得AB=BE=CE=AE=4，过点A作AH⊥BC于H，可得AH的值，然后根据菱形的面积公式进行计算.7．如图是一张长10 dm，宽6 dm矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为x dm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖方盒.（1）无盖方盒盒底的长为 dm，宽为 dm（用含x的式子表示）（2）若要制作一个底面积是32dm2的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长x.【答案】（1）（10﹣2x）；（6﹣2x）（2）解：根据题意得：（10﹣2x）（6﹣2x）=32，解得：x1=1，x2=7（不合题意，舍去）.答：剪去的正方形边长为1dm.【解析】【解答】解：（1）无盖方盒盒底的长为（10﹣2x）dm，宽为（6﹣2x）dm.故答案为：（10﹣2x），（6﹣2x）；【分析】（1）由矩形纸板的长宽结合剪去的正方形的边长，即得无盖纸盒的长与宽；（2）根据矩形的面积公式列出关于x的方程，求出x值即可.8．某公司欲招聘一名销售人员，按1：3的比例入围的甲、乙、丙（笔试成绩没有相同的，按从高到低排列，）三位入围者的成绩（百分制，成绩都是整数）如下表：入围者 笔试成绩 面试成绩甲 90 86乙 x x丙 84 92（1）若公司认为笔试成绩与面试成绩同等重要，结果乙被录取，求x的值；（2）若公司认为笔试成绩与面试成绩按4：6的权重，结果乙排第二，丙被录取，求x的值；（3）若公司认为笔试成绩与面试成绩按a：（10－a）（a为1~9的整数）的权重，为确保甲被录取，求a的最小值.【答案】（1）解： ， ，∵88＜x＜90，∴x=89；（2）解： ， ，∵87.6＜x＜88.8，∴x=88；（3）解： ， ，要确保甲被录取，则解得：a＞7.5∴a的最小值为8.（a取6或7扣1分）【解析】【分析】（1）计算出甲、乙、丙三人的平均数，再根据题意得出88＜x＜90，即可求出x=89；（2）根据加权平均数的计算公式求出甲、乙、丙三人的平均数，再根据题意得出87.6＜x＜88.8，即可求出x=88；（3）根据加权平均数的计算公式求出甲、乙、丙三人的平均数，根据题意列出不等式组，解不等式组得出 a＞7.5 ，即可求出a的最小值为8.9．将两个等腰直角三角形如图摆放，，，，点C在边AD上，连结BD，EC.（1）求证：.（2）取BD，EC的中点M，N，判断点A，M，N，为顶点的三角形形状，并说明相应理由.【答案】（1）证明：在和中（2）解：是等腰直角三角形理由如下：连接是直角三角形分别是的中点 ， 是等腰直角三角形【解析】【分析】（1）由题意可得AC=AB，AE=AD，∠CAE=∠BAD，证明△ACE≌△ABD，据此可得结论；（2）连接AM、AN、MN，易得△ACE、△ABD是直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质可得AM=DM=BM=BD，AN=EN=CN=CE，结合BD=CE可得AN=AM，由等腰三角形的性质可得∠NCA=∠NAC，∠ADM=∠DAM，由全等三角形的性质可得∠ADM=∠AEC，结合∠AEC+∠ACE=90°可得∠MAN=90°，据此可得△AMN的形状.10．已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a＋b＝3，ab＝1，．（1）求的值；（2）试判断△ABC的形状，并说明理由．【答案】（1）解：∵a＋b＝3，ab＝1，，∴=．（2）解：△ABC是直角三角形．理由如下：∵，，∴，∴，∴△ABC是直角三角形．【解析】【分析】（1） 由于，然后整体代入计算即可；（2）△ABC是直角三角形．理由：根据勾股定理的逆定理进行解答即可.11．“校园安全”受到全社会的广泛关注，“高远”中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，要求被抽查的同学在四种了解程度中选择唯一一种，绘制了如下尚不完整的条形统计图，且知在抽样调查中“了解很少”的同学占抽样调查人数的50%，请你根据提供的信息解答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有多少名？（2）请通过计算补全条形统计图；（3）若“高远”中学共有1700名学生，请你估计该校学生对校园安全知识“基本了解”的有多少名？【答案】（1）解：接受问卷调查的学生共有30÷50%=60（名）；（2）解：“不了解”的人数为60-（15+5+30）=10，补全条形图如下：（3）解：1700× =425（名），答：估计该校学生对校园知识“基本了解”的有425名．【解析】【分析】（1）根据“了解人很少”的人数及其所占百分比可得总人数；（2）总人数减去其它类型的人数，求得“不了解”的人数即可补全条形图；（3）总人数乘以样本中“基本了解”人数所占比例即可．12．如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为100米，宽为60米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米.（1）用含a的式子表示花圃的面积；（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，求出此时通道的宽；【答案】（1）解：由图可知，花圃的面积为 平方米 ；（2）解：由已知可列式： ，∴ ，解得：a1＝5，a2＝75（舍去），∴通道的宽为5米；【解析】【分析】（1）由图可知：花圃的长为（100-2a）米，宽为（60-2a）米，然后根据长方形的面积公式可得花圃的面积；（2）由通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，列出方程，求解即可.13．为庆祝中国共产党成立100周年，某校开展了党史知识的宣传教育活动.为了解此次活动的效果，从全校1800名学生中随机抽取了一部分进行知识测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等级：基本合格 ，合格 ，良好 ，优秀 ，抽样和分析过程如下：（收集数据）从三个年级中各随机抽取20名学生，测试成绩（单位：分）如下：七年级：80，75，65，92，84，78，60，86，78，74，81，79，76，74，72，84，88，95，82，73八年级：83，76，98，69，95，87，75，66，88，77，76，79，94，80，73，82，82，96，81，71九年级：70，85，75，87，93，98，80，88，87，65，91，87，92，84，76，89，100，95，82，100（整理数据）整理以上数据，绘制了频数分布表.七年级 2 9 7 2八年级 2 7 7 4九年级 1 3 a b（分析数据）根据以上教据，得到以下统计里统计量年级 平均数 中位数 优秀率七年级 78.8 78.5八年级 81.4 80.5九年级 86.2 c d根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的 ， ， ， .（2）根据统计数据，你认为哪个年级的成绩最好，并说明理由；（3）若该校学生全部参加测试，请估计成绩达到良好及以上等级的学生人数.【答案】（1）9；7；87；35%（2）解：答案不唯一，言之有理即可.我认为九年级的成绩最好，理由如下：因为九年级的平均分最高，且中位数87分也为最高，所以九年级的成绩最好.（答案不唯一，有道理即可）（3）解： （人）答：若该校学生全部参加测试，可估计有1080人达到良好及以上等级.【解析】【解答】解：（1） .【分析】（1）根据频数分布表和统计表中的信息可求解；（2）分析平均数、中位数、优秀率可求解（答案不唯一）；（3）用样本估计总体可求解.14．随着电池技术的突破，电动汽车已呈替代燃油汽车的趋势，安徽电动汽车在今年第一季度销售了2万辆，第三季度销售了2.88万辆．（1）求前三季度销售量的平均增长率．（2）某厂家目前只有1条生产线，经调查发现，1条生产线最大产能是6000辆/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少200辆/季度．①现该厂家要保证每季度生产电动汽车2.6万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？②是否能增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到6万辆，若能，应该再增加几条生产线？若不能，请说明理由．【答案】（1）解：设前三季度销售量的平均增长率为x，由题意得：，解得或（不符题意，舍去），答：前三季度销售量的平均增长率为．（2）解：①设应该再增加y条生产线，则每条生产线的最大产能为辆/季度，由题意得：，整理得：，解得或，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，，答：应该再增加4条生产线；②设再增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为辆/季度，由题意得：，整理得：，此方程根的判别式为，所以此方程没有实数根，答：不能增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到6万辆．【解析】【分析】（1）设前三季度销售量的平均增长率为x，根据题意列出方程求解即可；（2）①设应该再增加y条生产线，则每条生产线的最大产能为辆/季度，根据题意列出方程，再求解即可；②设再增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为辆/季度，根据题意列出方程，再求解即可。15．为了丰富大课间活动，某校抽出部分资金购买了若干副羽毛球拍．已知2022年该校用于购买羽毛球拍的费用是2000元，计划2024年用于购买羽毛球拍的费用是2880元．（1）求2022~2024年该校用于购买羽毛球拍费用的年平均增长率；（2）如果按照这样的速度，逐年增加投入，预计2025年需要抽出多少资金用于购买羽毛球拍？【答案】（1）（2）3456元16．4月23日是世界图书日，某学校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，文学社为了解同学课外阅读情况，抽样调查了部分同学每周用于课外阅读的时间，过程如下：数据收集：从全校随机抽取20名同学，调查每周用于课外阅读的时间，数据如表：（单位：min）30 60 81 50 40 110 130 146 90 10060 81 120 140 70 81 10 20 100 81整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：课外阅读时间x（min） 0≤x＜40 40≤x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160等级 D C B A人数 3 5 8 a分析数据：补全下列表格中的统计量：平均数 中位数 众数80 b c得出结论：（1）a＝_ ，b＝_ ，c＝_ ．（2）如果该校现有学生2000人，估计等级为“B”的同学有多少名？（3）假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟，请你用平均数来估算该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读多少本课外书？【答案】（1）4；81；81（2）解：等级为“B”的同学有8÷20×2000=800名．（3）解：52÷（160÷80）=26本．【解析】【解答】（1）解： a=20-3-5-8=4；中位数为第10和第11位的均值，两个数刚好都是81，则中位数也是81；由表格可知81出现的次数最多，则众数为81．故答案为：4，81，81【分析】（1）根据表格中的数据及中位数和众数的计算方法求解即可；（2）先求出“B”的百分比，再乘以2000可得答案；（3）根据题意列出算式求解即可。17．已知关于x的一元二次方程．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若是原方程的两根，且 ，求m的值．（3）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为 【答案】（1）证明：整理得：，∵，∴，∴，∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵是方程的两个根，∴，，∴，∴，即：，解得：或；∴或；（3）且【解析】【解答】（3）解：由题意得：，解得：，又∵方程为一元二次方程，∴，∴的取值范围为：且；【分析】（1）先求出b2-4ac的值，再证明b2-4ac＞0即可.（2）利用一元二次方程根与系数的关系，可表示出x1+x2和x1x2，再将等式转化为（x1+x2）2-4x1x2-20，整体代入可得到关于m的方程，解方程求出m的值.（3）利用一元二次方程的定义可知m≠0，方程有实数根，可知b2 -4ac≥0，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集，可得到m的取值范围.18．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？【答案】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染个人，根据题意得：，整理，得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染8个人；（2）解：（人．答：经过三轮传染后共有729人会患流感．【解析】【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染个人，一轮后一共有（x+1）个人患流感。第二轮（x+1）个人，一个人传染x个人，一共有x（x+1）个人被传染上流感，两轮一共有（x+1）+x（x+1）个人患流感。根据经过两轮传染后共有81人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据两轮一共有81个人患流感，一人传染8个人，第三轮=第二轮人数+第二轮传染的人数，即可求出结论．（1）解：设每轮传染中平均一个人传染个人，根据题意得：，整理，得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染8个人；（2）解：（人．答：经过三轮传染后共有729人会患流感．19．如图，在 中，过点 作 于点 ，点 在边 上， ，连接 ， ．（1）求证：四边形 是矩形；（2）已知 ， 是 的平分线，若 ，求 的长度．【答案】（1）证明： 四边形 是平行四边形，， ，，且 ，四边形 是平行四边形，又 ，四边形 是矩形；（2）解： ， ， ，， ，四边形 是矩形，平分 ，，且 ，，．【解析】【分析】（1）由题意可证四边形 是平行四边形，且 ，可得结论；（2）根据直角三角形的边角关系可求DE的长度，则可得BF的长度，即可求出CD的长度。20．某商场主营玩具销售，经市场调查发现，某种玩具的月销量 （件）是售价 （元/件）的一次函数，该玩具的月销售总利润 （售价－进价）×月销量，三者有如下数据：售价 （元/件） 15 20 30月销量 （件） 500 400 200月销售总利润 （元） 2500 4000 4000（1）试求 关于 的函数解析式（ 的取值范围不必写出）；（2）玩具的进价为 元/件；当玩具售价 元/件时，月销售总利润有最大值为 元．（3）受市场波动影响，从本月起，该玩具每件的进价上涨 元（ ），且物价局规定该玩具售价最高不得超过25元/件．若月销量 与售价 仍满足（1）中的关系，预计本月总利润 最高为3000元，请你求出 的值．【答案】（1）解：设y关于x的函数解析式为 ，则，，解得 ，∴ 关于 的函数解析式为 ；（2）10；25；4500（3）解：由题意得 ，函数图象的对称轴为 .由题意得 且 ，∴当 时，最大利润 ，解得 ．【解析】【解答】解：（2）设成本为m元，由题意可得： ，解得 （元），则 ，∵-20＜0，故W有最大值，当 （元），W的最大值是4500元；故答案是：10；25；4500；【分析】 (1)设出y关于x的函数解析式，用待定系数法求解即可；(2)根据销售利润的关系式求解即可；(3)根据题意列出关系式，再根据二次函数的性质求解即可。21．中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：成绩/分 频数 频率10 0.0520 0.10300.3080 0.40请根据所给信息，解答下列问题：（1） ， （2）请补全频数分布直方图．（3）这次比赛成绩的中位数会落在 分数段．（4）若成绩在80分以上（包括80分）的为“优良”级别，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优良”级别的大约有多少人？【答案】（1）60；0.15（2）解：如图（3）（4）解：由题意得：答：成绩“优良”级别的大约有人．【解析】【解答】（1）解：，，故，．（2）解：（3）解：将分数从小到大排列，中位数是第个分数和第个分数的平均数，第个分数和第个分数都在，在分数段：．【分析】（1）根据表格中的数据直接求出a、b的值即可；（2）根据a的值作出频数分布直方图即可；（3）根据中位数的定义求解即可；（4）先求出“优良”的频率之和，再乘以3000可得答案。22．突如其来的新冠疫情影响了某厂经济效益，在复工复产对产品价格进行了调整，每件的售价比进价多8元，8件的进价相当于6件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件．（1）该商品的售价和进价分别是多少元？（2）在进价不变的条件下，若每天所得的销售利润为2035元时，且销量尽可能大，该商品应涨价多少元？【答案】（1）商品的售价和进价分别是32元/件、24元/件（2）3元23．如图，已知平行四边形 中，对角线 、 交于点O，E是 延长线上一点，若 .（1）求证：四边形 是菱形.（2）若 ，判断四边形 是的形状，并说明理由.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，在 和 中，，∴ （SSS）∴ ，∴ ，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：由（1）知，AO=CO，在 和 中，，∴ ，∴ ， ，AB=CB，由（1）知， ，∴ ， ，∵ ，∴ ，∴ ，∴四边形ABCD是矩形，又∵AB=CB，∴四边形ABCD 是正方形.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AO=CO，BO=DO，证明△AEO≌△CEO，得到∠AOB=∠COB=90°，然后结合AC⊥BD以及菱形的判定定理进行证明；（2）由（1）知：AO=CO，证明△AOB≌△COB，得到∠ABO=∠CBO，∠BAO=∠BCO，AB=BC，由（1）知：∠AOB=∠COB=90°，结合三角形内角和定理推出∠BAO=∠ABO=45°，得到四边形ABCD是矩形，然后根据AB=CB进行判断.24．学校组织开展了社团活动，分别设置了体育类、艺术类、文学类及其它类社团（要求人人参与社团，每人只能选择一项）．为了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查．根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图：（1）此次共调查了多少人？（2）通过计算将条形统计图补充完整；（3）若该校有1500名学生，请估计喜欢体育类社团的学生有多少人？【答案】（1）解：由喜欢体育类的有80人，占比40%，可得此次共调查人（2）解：由喜欢文学的有60人，则占比：所以喜欢其它的占比：则有：人，喜欢艺术的有：人，补全图形如下：（3）解：该校有1500名学生，喜欢体育类社团的学生有：人.【解析】【分析】（1）利用“体育”的人数除以对应的百分比即可得到总人数；（2）利用总人数乘以“艺术”的百分比求出艺术的人数，再利用总人数减去“体育”、“艺术”和“文学”的人数得到“其他”的人数，再作出条形统计图即可；（3）先求出“体育”的百分比，再乘以1500即可得到答案。25．已知关于x的一元二次方程(x-m)2+6x=4m-3有实数根。（1）求m的取值范围；（2）设方程的两实根分别为x1与x2，若x1x2-x12-x22=-7，求m的值。【答案】（1）解：由(x-m)2+6x=4m-3得x2+(6-2m)x+m2-4m+3=0，∵△=b2-4ac=(6-2m)2-4×1×(m2 -4m+3)=-8m+ 24，方程有实数根，∴-8m+ 24≥0，解得m≤3；（2）解：由根与系数的关系得x1+x2=2m-6，x1x3=m2-4m+3，∴x1x2-x12-x22=3x1x2-(x1 +x2)2 = 3(m2 -4m+3)- (2m-6)2=-m2+12m-27=-7，∴m2-12m+20=07，∴m1=2， m2=10， 由(1)知m≤3，∴m=10应舍去，∴m=2【解析】【分析】（1）先把一元二次方程化为一般式，再根据一元二次方程根的判别式≥0，得出-8m+ 24≥0，即可求出m的取值范围；（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=2m-6，x1x2=m2-4m+3，再把原式化为 3x1x2-(x1 +x2)2 =-7的形式，代入进行化简得 m2-12m+20=-7，求出m的值，即可求解.26．为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取20名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制，单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息.a.甲、乙两校学生样本成绩频数分布表及扇形统计图如图：甲校学生样本成绩频数分布表（表1）成绩 （分） 频数 频率0.104 0.207 0.352合计 20 1.0b.甲、乙两校学生样本成绩的平均分、中位数、众数、方差如表所示：（表2）学校 平均分 中位数 众数 方差甲 76.7 77 89 150.2乙 78.1 80 135.3其中，乙校20名学生样本成绩的数据如下：54 72 62 91 87 69 88 79 80 62 80 84 93 67 87 87 90 71 68 91请根据所给信息，解答下列问题：（1）表1中 ；表2中的众数 ；（2）在此次测试中，某学生的成绩是79分，在他所属学校排在前10名，由表中数据可知该学生是 校的学生（填“甲”或“乙”），理由是 ；（3）乙校学生样本成绩扇形统计图中， 这一组成绩所在扇形的圆心角度数是 度；（4）若甲、乙两校各有1000名学生参加此次测试，成绩80分及以上为优秀，请计算两校成绩优秀的学生大约共为多少人？【答案】（1）0.25；87（2）甲；因为该学生的成绩是79分，略高于甲校的样本成绩数据的中位数77分，符合该生的成绩在甲校排名是前10名的要求（3）54（4）解：甲校优秀人数：1000×（0.35+0.1）=450（人），乙校优秀人数：1000×（35%+20%）=550（人），450+550=1000，故答案为：1000.（1）0.25，87；（2）甲；见解析；（3）54；（4）1000.【解析】【解答】解：（1）d=2÷20=0.1，c=1-0.1-0.1-0.2-0.35=0.25，乙班成绩出现次数最多的数是87分，共出现3次，因此乙班的众数为87，故答案为：0.25，87；（2）甲，因为该学生的成绩是79分，略高于甲校的样本成绩数据的中位数77分，符合该生的成绩在甲校排名是前10名的要求；（3）360°×（1-5%-20%-35%-25%）=360°×15%=54°，故答案为：54；【分析】(1)用成绩在90≤m≤100的频数除以样本容量则可确定d的值，用1减去其他几组的频率即可算c的值，找出乙班的20个样本成绩出现次数最多的数据，可求出n的值；(2)根据中位数的意义进行判断即可；(3)求出70≤x< 80这组的频数所占得百分比，再乘以360°即可；(4)根据样本估计总体的方法，分别求出两个学校优秀的人数即可.27．保温杯的保温时效是顾客购买保温杯时的首要考虑因素.随机选择A款保温杯20个，B款保温杯20个.统计了每一个保温杯的保温时效，并绘制成如下统计图表.A款保温杯的保温时效统计表保温时效小时 个数11 612 113 614 7请你根据以上信息解答下列问题：（1）将表格补充完整.保温时效种类 平均数小时 中位数小时 众数小时A款保温杯 13 B款保温杯 12.85 13（2）哪款保温杯的保温效果更好？请你结合所学的统计知识，简述理由.【答案】（1）12.7；14；13（2）解：B款保温杯保温效果更好，从平均数看，B款保温杯的平均保温时长高于A款保温杯，并且保温时长在13小时以上的比例达到75%，而A款保温杯只占65%【解析】【解答】解：（1）A款保温杯的平均数：，A款保温杯的众数：14，B款保温杯的保温时效从小到大排列：10、11、12、12、12、13、13、13、13、13、13、13、13、13、13、14、14、14、14、14，款保温杯的中位数：13，见下表：保温时效种类 平均数小时 中位数小时 众数小时A款保温杯 12.7 13 14B款保温杯 12.85 13 13【分析】（1）根据保温时效×对应的个数，然后除以总个数可得平均数；找出出现次数最多的数据即为众数；将B款保温杯的保温时效从小到大进行排列，找出最中间的数据即为中位数；（2）根据平均数的大小以及保温时长在13小时以上的比例进行解答.28．海伦—秦九韶公式：如果一个三角形三边长分别为a，b，c，设，则三角形的面积为，用公式计算下图三角形的面积.【答案】解：，＝=.【解析】【分析】先求出P值，再代入三角形的面积计算即可.29．如图，菱形 的对角线 、 相交于点 ，过点 作 且 ，连接 、 ，连接 交 于点 .（1）求证： ；（2）若菱形 的边长为2， .求 的长.【答案】（1）证明：在菱形ABCD中，OC= AC.∴DE=OC.∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形.∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形.∴OE=CD.（2）解：在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴AC=AB=2.∴在矩形OCED中，CE=OD= .在Rt△ACE中，AE= .【解析】【分析】（1） 先证明四边形OCED是平行四边形，由菱形的性质可得AC⊥BD，可证平行四边形OCED是矩形，利用矩形的对角线相等即得结论；（2）由菱形的性质可得AC=AB=2，由勾股定理求出OD，即得CE，在Rt△ACE中， 利用勾股定理即可求出AE.30．阅读并解决问题：对于二次三项式 ，因不能直接运用完全平方公式，此时，我们可以在 中先加上一项4，使它与 的和成为一个完全平方式，再减去4，整个式子的值不变，于是有： .像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.（1）利用“配方法”分解因式： .（2）同时运用多项式的配方法能确定一些多项式的最大值或最小值.因为不论x取何值， ，所以当 时，多项式 有最小值为-16.试确定：多项式 有最 值（填大或小）为 .（3）已知x是实数，试比较 与 的大小，说明理由.【答案】（1）解：（2）大；17（3）解：【解析】【解答】解：（2）==∵∴当 时，多项式 有最大值为17.故答案为：大，17【分析】（1）利用配方法将代数式转化为（x-3）2-4，再利用平方差公式进行分解因式.（2）利用配方法将代数式转化为-（x-1）2+17，可得到次多项式的最大值.（3）利用求差法比较大小，将其差转化为（x-2）2+1，即可求解.31．某中学A、B两栋教学楼之间有一块如图所示的四边形空地 ，学校为了绿化环境，计划在空地上种植花草，经测量 ， 米， 米， 米， 米.（1）求出四边形空地 的面积；（2）若每种植1平方米的花草需要投入120元，求学校共需投入多少元.【答案】（1）解：连接 .在 中，∵ ， ， ，∴ （米）.在 中，∵ ， ， ，∴ .∴ 是直角三角形，且 .∴ 平方米.∴四边形空地 的面积为234平方米.（2）解： （元）.答：学校共需投入28080元.【解析】【分析】（1）连接 ，利用勾股定理，求得AC=25，再利用勾股定理的逆定理可得 是直角三角形，且 ，利用 即可得出结果；（2）由（1）得面积是234 平方米，再用面积乘以单价即可算出答案.32．在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，O是AC边的中点，CE//AD，交DO的延长线于点E，连接AE．（1）如图1，求证：四边形ADCE是平行四边形；（2）如图2，若点D是BC边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的直角三角形．【答案】（1）证明：∵CE//AD，∴∠CED=∠ADE，∵O是AC边的中点，∴OA=OC，∴在△COE和△AOD中，，∴△COE≌△AOD(AAS)，∴CE=AD，又∵CE//AD，∴四边形ADCE是平行四边形；（2）解：直接三角形有： ．【解析】【解答】解：（2）∵点D是BC边的中点，∴DC=DB，又由（1）可知四边形ADCE是平行四边形，∴DC=AE，DC AE，∴DB=AE，又∵DB AE，∴四边形DBAE是平行四边形，∴AB=DE，又∵AB=AC，∴DE=AC，∵四边形ADCE是平行四边形，∴平行四边形ADCE是矩形，∴∠DCE=∠CEA=∠EAD=∠ADC=90°，∴∠BDA=90°，∴直接三角形有： ．【分析】（1）只要证明△COE≌△AOD(AAS)，得出CE=AD，又CE//AD，可得出四边形ADCE是平行四边形；（2）根据等腰三角形的性质，结合（1）可得出平行四边形ADCE是矩形，进而得出所有的直角三角形。33．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为．（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；（2）求喷泉B到小路的最短距离．【答案】（1）350 m（2）150 m34．为了提高学生的安全意识，某校开展了安全教育课程，并在全校实施.为了检验此课程的效果，随机抽取了20名学生在开展此课程前进行了第一次安全常识测试，课程开展一段时间后，对这些学生又进行了第二次安全常识测试，获得了他们的成绩（满分40分），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息：a.第一次安全常识测试成绩统计表：分组/分 人数56m3b.第二次安全常识测试成绩扇形统计图：c.两次成绩的平均数、中位数、众数如表：平均数 中位数 众数第一次成绩 28.2 32第二次成绩 35.8 36.5 37d.第一次安全常识测试成绩在这一组的数据是：26，26，27，28，28，29.e.第二次安全常识测试成绩在B：这一组的数据是：31，31，33，34，34.请根据以上信息，回答下列问题：（1） ， ．（2）下列推断合理的是 （填写序号）．①第二次测试成绩的平均分高于第一次的平均分，所以大多数学生通过参加此课程一段时间后成绩提升了．②被抽测的学生小明的第二次测试成绩是36分，他觉得学校里至少有一半的学生的测试成绩比他高．（3）若第二次安全常识测试成绩不低于34分为优秀，根据统计结果，估计全校600名学生第二次安全常识测试成绩优秀的人数．【答案】（1）6；28.5（2）①②（3）解：根据题意可得：第二次成绩在的人数为：（人），若第二次安全常识测试成绩不低于34分为优秀，则优秀人数为（人），（人），答：估计全校600名学生第二次安全常识测试成绩优秀的人数为420（人）．【解析】【解答】（1）解：由题意可知：，把第一次的成绩从小到大的顺序排列可知处于中间的两个数是28、29，∴第一次成绩的中位数是：，故答案为：6，28.5．（2）解：第二次测试成绩的平均分高于第一次的平均分，所以大多数学生通过参加此课程一段时间后成绩提升了，故①合理；被抽测的学生小明的第二次测试成绩是36分，他觉得学校里至少有一半的学生的测试成绩比他高，他的第二次成绩低于第二次成绩的中位数，故②合理，故答案为：①②．【分析】（1）根据题干中的数据直接求出m的值，再利用中位数的定义及计算方法求出n的值即可；（2）利用平均数、中位数和众数的定义求解即可；（3）根据题意直接列出算式求解即可。35．如图，已知为火车道，为公路，A为火车站（点A在射线上），P为村庄（点P在射线上），且．公路与公路垂直，垂足为D，经测量，．（1）原来P村村民需沿才能到达火车站，现修通公路，求P村村民沿公路到达火车站，比原来少走多少的路；（结果可保留根号）（2）求的长．【答案】（1）（2）36．如图，点E是正方形 的边 延长线上一点，连接 ，过点A作 交 于点H，交 延长线于点F，点M、N分别是 、 的中点，连接 、 ．（1）求证：四边形 是菱形；（2）若 ，求 的值．【答案】（1）证明：∵四边形 是正方形，∴ ， ，又 ，∴四边形AHDE是平行四边形，∴ ，在 中，点N是 中点．∴ ，同理 ，∴ ，∴四边形 是菱形；（2）解：∵点M、N分别是 、 的中点，∴ ， ，∵四边形 是平行四边形，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵四边形 是正方形，∴ ， ，∴ ，∴ ，∴【解析】【分析】（1）先判定四边形AHDE是平行四边形，得到结论AH=AD，再由点M、N分别是中点，证明AN=NH=DM=AM，进而判定四边形AMDN是菱形；（2）先将菱形面积转化为△ADH的面积，根据条件求得CH：DH=1：2，再由△CHF∽△DHA，可得CF：AD=CH：DH=1：2=CF：AB.37．（1）计算： + -│-4│（2）先化简，再求值： ，其中x是一元二次方程 -5x+6=0的解【答案】（1）解：原式=4+1-4=1．（2）＝＝= ，解一元二次方程 -5x+6=0得，=3， =2（不符合题意，舍去）把 =3代入，原式= ．【解析】【分析】（1）利用负整数指数幂，零指数幂和绝对值计算求解即可；（2）先化简分式，再解方程求出 =3， =2 ，最后代入计算求解即可。38．某中学对全校学生开展主题为“一周内平均丢的塑料袋个数”的专题调查活动，采用随机抽查的方式进行了问卷调查，问卷调查的结果分为“A．非常了解”、“B．比较了解”、“C．基本了解”、“D．不太了解”四个等级，统计等级如下：等级 频数 频率A 75 0.375B 95C 24 0.12D（1）求表格中的参数、的值：（2）求扇形统计图中A等级和B等级部分所对的圆心角度数之和；（3）该校共计有学生4220人，请根据统计结果估计该校达到A、B等级的人数．【答案】（1），；（2）；（3）人39．如图(1)，矩形纸片ABCD，把它沿对角线BD向上折叠，（1）在图(2)中用实线画出折叠后得到的图形(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)（2）折叠后重合部分是什么图形？说明理由.【答案】（1）解：作图如下：（2）解：等腰三角形.理由如下：∵△BDE是△BDC沿BD折叠而成，∴△BDE≌△BDC.∴∠FDB＝∠CDB.∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD.∴∠ABD＝∠BDC.∴∠FDB＝∠BDC.∴△BDF是等腰三角形.【解析】【分析】（1）根据折叠的性质，可以作∠BDF＝∠BDC，∠EBD＝∠CBD，则可求得折叠后的图形.作法如下：作∠BDG＝∠BDC，在射线DG上截取DE＝DC，连接BE；作∠DBH＝∠DBC，在射线BH上截取BE＝BC，连接DE；作∠BDG＝∠BDC，过B点作BH⊥DG，垂足为E；作∠DBH＝∠DBC，过，D点作DG⊥BH，垂足为E；分别以D、B为圆心，DC、BC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE、BE.则△DEB为所求做的图形.（2）由折叠的性质易得∠FDB＝∠CDB，由矩形的性质可得AB∥CD，由平行线的性质可得∠FBD=∠CDB，推出∠FDB＝∠FBD，据此判断.40．如图，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF.（1）求证：BF＝2AE；（2）若CD=2，求AD的长.【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠CBE＋∠ACD＝90°∴∠CAD=∠CBE，在△ADC和△BDF中，，∴△ADC≌△BDF(ASA)，∴BF＝AC，∵AB＝BC，BE⊥AC，∴AC=2AF，∴BF=2AE；（2）解：∵△ADC≌△BDF，∴DF=CD=2，在Rt△CDF中，，∵BE⊥AC，AE＝EC，∴AF=CF=2，∴ .【解析】【分析】（1）利用已知条件可证得△ABD是等腰直角三角形，得出AD＝BD，根据同角的余角相等得出∠CAD=∠CBE，从而利用ASA判断出△ADC≌△BDF，根据全等三角形的对应边相等得出BF＝AC，根据等腰三角形的三线合一得出AC=2AF，再等量代换即可得出结论；（2）根据全等三角形的对应边相等得出DF=CD=2，根据勾股定理算出CF的长，根据中垂线定理得出AF=CF=2，最后利用线段的和差即可得出答案.41．如图1，E、F分别为△ABC的边AB、BC的中点，延长EF到D，使得DF=EF，连接DA、DB、AE．（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；（2）若AB=AC，试说明四边形AEBD是矩形；（3）如图2，如果ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门，且DE=CF，要建两条路BE和AF，这两条路等长吗？为什么？【答案】（1）证明：∵F分别为△ABC的边AB的中点，∴BF=AF，又∵DF=EF，∴四边形AEBD是平行四边形（2）证明：∵AB=AC，BE=EC，∴∠AEB=90°，∴平行四边形AEBD是矩形（3）解：这条路等长，理由如下：如图2，∵四边形ABCD是一个正方形，∴AB=AD=CD，∠D=∠BAE=90°，∵DE=CF，∴AE=DF，在△ADF和△BAE中，，∴△ADF≌△BAE，∴BE=AF．【解析】【分析】（1）由中点的定义可证得四边形AEBD的对角线互相平分，故可证得四边形AEBD是平行四边形；（2）对于平行四边形AEBD只需证其中有一个直角或者对角线相等即可；（3）通过SAS证得 △ADF≌△BAE 即可证得BE=AF，即这两条路等长.42．看对话答题：小梅说：这个多边形的内角和等于1125°小红说：不对，你少加了一个角问题：（1）他们在求几边形的内角和 （2）少加的那个内角是多少度 【答案】（1）解：设少加的度数为x°，此多边形为n边形.∵1125+x=（n-2）×180，∴x=180（n-2）-1125，∵0＜x＜180，∴0＜180（n-2）-1125＜180，∴8.25＜n＜9.25，∴n=9；∴他们在求九边形的内角和；（2）解：∴x=180（n-2）-1125=135°.∴少加的那个内角的度数是135°.【解析】【分析】（1）设少加的度数为x°，此多边形为n边形，根据n边形内角和公式（n-2）×180°及n边形的内角和等于各个内角的和建立方程然后表示出x，根据x的范围可求出n的范围，结合n为整数可得n的值；（2）首先求出九边形的内角和，然后减去1125°即可求出少加的内角的度数.43．先观察下列各组数，然后回答问题：第一组：1， ，2； 第二组： ，2， ；第三组： ， ， ； 第四组：2， ， ；（1）根据各组数反映的规律，用含 的代数式表示第 组的三个数；（2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由；（3）如图， ， ， ，若3， ， 为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且 ， ，求 的长．【答案】（1）解：∵第一组：1， ，2；第二组： ，2， ；第三组： ， ， ；第四组：2， ， ；，∴第 组： ， ，（2）解：直角三角形；证明： 为正整数，．以 ， ， 为三边的三角形是直角三角形（3）解： ， ， 为上列按已知方式排列顺序的某一组数，这组数为第九列： ， ， ，即 ， ， ．，．， ，【解析】【分析】（1）根据所给数据找出规律第 组： ， ， ，即可作答；（2）利用勾股定理进行判断即可作答；（3）先求出 ， ， ，再利用勾股定理进行计算求解即可。44．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形。（1）概念理解：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE。已知AC=4，AB=5，求GE长。【答案】（1）解：四边形ABCD是垂美四边形连接AC、BD∵AB=AD，CB=CD∴点A、C在线段BD的垂直平分线上∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形（2）解：∵AC⊥BD∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°由勾股定理得：AB2+CD2=AO2+BO2 +CO2+DO2AD2 +BC2 =AO2 +DO2 +CO2 + BO2∴AB2 +CD2 =AD2 + BC2（3）解：连接CG、BE∵∠CAG=∠BAE=90°∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC即∠GAB=∠CAE在△GAB和△CAE中，∴△GAB≌△CAE( SAS)∴∠ABG=∠AEC又∵∠AEC+∠AME=90°∴∠_ABG+∠BMC=90即CE⊥BG∴四边形CGEB是垂美四边形由(2)可得：CG2 +BE2 =CB2 + GE2∵AC=4，AB=5∴BC=3，CG=4 ，BE=5∴GE2 =CG2 + BE2 -CB2=73∴ GE=【解析】【分析】（1） 连接AC、BD ，由AB=AD，CB=CD，可证AC垂直平分BD，根据垂美四边形的定义即证；（2）根据垂直的定义可得∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，利用勾股定理即可求出结论；（3） 连接CG、BE ，证明△GAB≌△CAE( SAS)，可得∠ABG=∠AEC，再证明四边形CGEB是垂美四边形 ， 由(2)可得CG2+BE2 =CB2+ GE2 ， 由勾股定求出BC=3，CG=4 ，BE=5 ，将数据代入等式即可求出GE.45．我们知道，所以代数式的最小值为0.学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值.例如，求的最小值问题.解：∵，又∵，∴，∴的最小值为-6.请应用上述思想方法，解决下列问题：（1）探究：（x ）2+ （2）求的最小值.（3）比较代数式：与的大小.【答案】（1）-2；1（2）解：，∵，∴当即时，原式有最小值（3）解：，∵，∴，∴【解析】【解答】（1）解：.【分析】（1）利用配方法将多项式变形，再利用偶次幂的非负性即可求解；（2）提取公因式2，将原式的二次项系数化为1，然后利用配方法将多项式变形，再利用偶次幂的非负性即可求解；（3）利用作差法，求出-（）的值，再利用配方法变形，即可求解.46．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC延长线上的一点，且BD＝DE．点G是线段BC的中点，连结AG，交BD于点F，过点D作DH⊥BC，垂足为H．（1）求证：△DCE为等腰三角形；（2）若∠CDE＝22.5°，DC＝ ，求GH的长；（3）探究线段CE，GH的数量关系并用等式表示，并说明理由．【答案】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝ ∠ABC＝ ∠ACB，∵BD＝DE，∴∠DBC＝∠E＝ ∠ACB，∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠CDE＝ ∠ACB＝∠E，∴CD＝CE，∴△DCE是等腰三角形（2）证明：∵∠CDE＝22.5°，CD＝CE＝ ，∴∠DCH＝45°，且DH⊥BC，∴∠HDC＝∠DCH＝45°，∴DH＝CH，∵DH2+CH2＝DC2＝2，∴DH＝CH＝1，∵∠ABC＝∠DCH＝45°∴△ABC是等腰直角三角形，又∵点G是BC 中点∴AG⊥BC，AG＝GC＝BG，∵BD＝DE，DH⊥BC∴BH＝HE＝ +1∵BH＝BG+GH＝CG+GH＝CH+GH+GH＝ +1∴1+2GH＝ +1，∴GH＝（3）证明：CE＝2GH理由如下：∵AB＝CA，点G 是BC的中点，∴BG＝GC，∵BD＝DE，DH⊥BC，∴BH＝HE，∵GH＝GC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）＝ BC﹣ BE+CE＝ CE，∴CE＝2GH【解析】【分析】（1）根据等边对等角，易证∠ACB=∠ABC，利用三角形的角平分线及等腰三角形的性质，可以推出∠CBD＝ ∠ACB，∠E＝ ∠ACB ，再利用三角形外角的性质，可证得∠ACB＝∠E+∠CDE，由此可得到∠CDE=∠E，利用等角对等边可证CD=CE，即可证得结论。（2）根据已知条件，可证∠DCH=45°，从而可得到△DCH是等腰直角三角形，利用勾股定理求出DH，CH的长，继而可证得△ABC是等腰直角三角形，再利用等腰三角形的三线合一的性质，可以证得AG=CG=BG，BH=HE，即可求出BH的长，然后可求出GH的长。（3）利用等腰三角形三线合一的性质，可证BG=CG，BH=HE，再根据GH=CG-HC，就可推出CE与GH的数量关系。47．如图，是的中线，是线段上一点（不与点重合）．交于点，，连接．（1）如图1，当点与重合时，证明；（2）如图1，当点与重合时，求证：四边形是平行四边形；（3）如图2，当点不与重合时，（2）中的结论还成立吗？请说明理由．【答案】（1）解：，，，，是的中线，且与重合，，；（2）由（1）知，，，∴四边形是平行四边形；（3）结论成立，理由如下：如图2，过点作交于，，四边形是平行四边形，，且，由（1）知，，，，，四边形是平行四边形【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得，，再由三角形的中线的定义可得BD=CD，根据ASA证明；（2）由（1）知，可得AB=ED，结合AB∥ED，根据平行四边形的判定定理即证；（3）过点作交于，由CE∥AM可证四边形是平行四边形，可得ED=GM，ED∥GM，由（1）知，，，可得AB∥DE，，根据平行四边形的判定定理即证.48．如图，中、，，外角平分线交于点，过点分别作直线的垂线，为垂足．（1）求的大小；（2）①求证：四边形是正方形．②若，求的长．（3）如图2，在中，，高，，求的长度．（直接写出结果不写解答过程）．【答案】（1）解：∵，∴，∴，∵平分，平分，∴，，∴，∴，（2）解：①作于，如图1所示：∵，，∴，∴四边形是矩形．∵，角平分线交于点，∴，，∴，∴四边形是正方形．解：②设，∵，∴，由①知四边形是正方形，∴，在与中，，∴≌（），∴，同理，，在中，，即，解得：，∴的长为；（3）【解析】【解答】解：（3）把 沿 翻折得 ，把 沿 翻折得 ，延长 交于点 ，如图所示：由（1）（2）得：四边形 是正方形，， ， ，∴ ，∴ ，设 ，则 ， ，在 中，由勾股定理得： ，解得 ，∴ ．【分析】（1）先根据题意得到即可得到，进而根据角平分线的性质得到，，从而结合题意即可求解；（2）①作于，先根据矩形的判定得到四边形是矩形，进而根据角平分线的性质得到，，再结合正方形的判定即可求解。②设，根据正方形的性质得到，再根据三角形全等的判定与性质证明≌（）即可得到，同理，，再根据勾股定理即可求解；（3）把 沿 翻折得 ，把 沿 翻折得 ，延长 交于点 ，先根据正方形的性质、折叠的性质结合题意得到 ， ， ，进而得到 ，设 ，则 ， ，根据勾股定理即可求解。49．如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与点C和点A重合），连接PB，过点P作PF⊥PB交射线DA于点F，连接BF，已知AD＝3 ，CD＝3，设CP的长为x．（1）线段PB的最小值为 ．（2）如图，当动点P运动到AC的中点时，AP与BF的交点为G，FP的中点为H，求线段GH的长度；（3）当点P在运动的过程中：①试探究∠FBP是否会发生变化？若不改变，请求出∠FBP大小；若改变，请说明理由；②当x为何值时，△AFP是等腰三角形？【答案】（1）（2）解：∵在Rt△ABC中，AP＝PC，∴BP= BC=3，∴BA＝BP＝AP=3，∴△ABP为等边三角形，∴∠ABP＝∠BAP=60°，在Rt△ABF和Rt△PBF中，，∴Rt△ABF≌Rt△PBF（HL），∴∠ABF＝∠PBF＝30°，AP⊥BF，∴PF＝BP tan∠PBF= ，在Rt△FGP中，FH＝HP，∴GH＝ PF= ；（3）解：①∠FBP＝30°，理由如下：过点P作PM⊥AD于M，交BC于N，则PN⊥BC，∴∠FPM+∠BPN=90°，∠PBN+∠BPN=90°，∴∠FPM=∠PBN，又∵∠FMP=∠PNB=90°，∴△FMP∽△PNB，∴ ，∵BN=AM，∴ ，∴tan∠PBF= = ，∴∠FBP＝30°；②当FA＝FP时，则BA＝BP，又∵∠BAC=60°，∴△ABP为等边三角形，∴AP＝AB＝3，∴x＝CP＝3，当PA＝PF时，∠APF＝120°＞90°，不合题意；当AP＝AF时，（点F在DA的延长线上），如图，∴∠PAF=180°-30°=150°，∴∠APF=15°，∴∠BPC=75°，∵∠BCP=30°，∴∠CBP=∠BPC=75°，∴CB=CP=3 ，综上所述，x=3或3 ，△AFP是等腰三角形．【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴AC= ，当BP⊥AC时，线段PB的值最小，S△ABC= ×AB×BC= ×AC×BP，即3×3 =BP×6，解得，BP= ，故答案是： ；【分析】（1）根据勾股定理计算得到AC，继而由垂线段最短即可得到PB的值最小；（2）证明△ABP为等边三角形，即可得到∠ABP=60°，继而由全等三角形的判定和性质，求出GH的长度即可；（3）根据题意，分FA=FP，AP=AF，PA=PB三种情况，结合等腰三角形的性质，求出答案即可。50．已知，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝18cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中．①已知点P的速度为每秒10cm，点Q的速度为每秒6cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．②若点P、Q的运动路程分别为x、y（单位：cm，xy≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求x与y满足的函数关系式．【答案】（1）解：∵四边形 是矩形，∴ ，∴ ， ．∵ 垂直平分 ，垂足为 ，∴ ，在 和△COF中，∵∴ ，∴ ，∴四边形 为平行四边形，又∵ ，∴四边形 为菱形，设菱形的边长 ，则在Rt△ABF中， ，解得： ，∴ ；（2）解：①显然当 点在 上时， 点在 上，此时 、 、 、 四点不可能构成平行四边形；同理 点在 上时， 点在 或 上，也不能构成平行四边形．因此只有当 点在 上、 点在 上时，才能构成平行四边形．∴以 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形时， ，∵点 的速度为每秒 ，点 的速度为每秒 ，运动时间为 秒，∴ ， ，∴ ，解得： ，∴以 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形时， ；②由题意得，以 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形时，点 、 在互相平行的对应边上．分三种情况：其一：如图1，当 点在 上、 点在 上时， ， ，即 ；其二：如图2，当 点在 上、 点在 上时， ， ，即 ；其三：如图3，当 点在 上、 点在 上时， ， ，即 ，综上所述， 与 满足的函数关系式是 ．【解析】【分析】（1）首先证明 ，由此得出 OE=OF ，从而证明四边形 AFCE 为菱形，然后在Rt△ABF中利用勾股定理进一步求解即可；（2）①根据题意依次发现当 P 点在 AF 上时， Q 点在 CD 上以及 P 点在 AB 上时， Q 点在 DE 或 CE 上，也不能构成平行四边形，当 P 点在 上、 Q 点在 上时，才能构成平行四边形，据此进一步求解即可；②以 A 、 C 、 P 、 Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，根据题意分当 P 点在 AF 上、 Q 点在 CE 上时或当 P 点在 BF 上、 Q 点在 DE 上时以及当 P 点在 AB 上、 Q 点在 CD 上时三种情况进一步分析求解即可.21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)" 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 【精选热题·期末50道综合题专练】沪科版数学八年级下册复习卷（原卷版）.doc 【精选热题·期末50道综合题专练】沪科版数学八年级下册复习卷（解析版）.doc
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