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自贡市2025年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试
数学
本试题卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共6页，满分150分．
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，答卷时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．
第I卷 选择题
注意事项：必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上．知常改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若，则内的数字是（　　）
A．-2 B.2 C.4 D．-4
2．起源于中国的围棋深受青少年喜爱．以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
3．如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若、则的度数为（　　）
A.75° B.90°
C.100° D.115°
4．中国新能源汽车性能优越，近年来销售量持续攀升，2024年度销量已达到1286.6万辆.12866000用科学记数法表示为（　　）
A. B. C. D.
5．如图，一横一竖两块砖头放置于水平地面，其主视图为（　　）
A. B.
C. D.
6．某校举行“唱红歌”歌咏比赛，甲、乙、丙三位选手的得分如下表所示．三项评分所占百分比如下图所示，平均分最高的是（　　）
选手 专家组评分 教师组评分 学生组评分
甲 7 7 9
乙 8 7 8
丙 7 8 8
A．甲 B．乙 C．丙 D．平均分都相同
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（　　）
A．（-3，5） B．（5，-3）
C．（-2，5） D．（5，-2）
8．如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（　　）
A.140° B.150°
C.160° D.170°
9．某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形．若大平行四边形短边长．则小地砖短边长（　　）
A.7cm B.8 C.9 D.
10．分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（　　）
A.50° B.100° C.130° D．或-
11．如图．在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（　　）
A．（11，-4） B．（10，-3）
C．（12，-3） D．（9，-4）
12如图，正方形边长为6，以对角线为斜边作、，点在上．连接．若．则的最小值为（　　）
A.6 B.6
C.3 D.4
第II卷（非选择题共102分）
注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上题目所指示区域内作答，作图题可先用铅笔绘出．确认后再用0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚，答在试题卷上无效．
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
13．计算：___________．
14．分解因式：___________．
15．若，则的值为___________．
16．如图，在中，，于点，．以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．以点为圆心．的长为半径画弧．交于点，过点作，交于点；再以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以的长为半径画弧，交于点，过点作，交于点；又以点为圆心……重复以上操作．则的长为___________．
17．如图，在平面直角坐标系中，Rt的顶点分别在轴，轴正半轴上，．以为边作等边．连接，则的最大值为___________．
三、解答题（共8个题．共82分）
18．（本题满分8分）
解不等式组：，并在数轴上表示其解集．
19．（本题满分8分）
如图，，．求证：．
20．（本题满分分）
去年暑假，小张和小李同学主动帮刘大爷掰玉米，他们各留了36篮和30筐，两人劳动时间相同，小张平均每小时比小李多掰2筐，请问小李平均每小时掰玉米多少筐？
21．（本题满分10分）
某校七年级拟组建球类课外活动兴趣班，为了解同学们的参与意向，学生会进行了随机问卷调查，要求被调查的同学在足球、篮球、乒乓球、羽毛球中任选一项．以下是依据调查数据，正在绘制中的统计图和统计表，请根据相关信息解答下列问题，
选择球类兴趣班人数条形统计图
选择球类兴趣班人数占比统计表
粗脚 球类活动兴趣班 占调查总人数百分比
A 足球 10%
B 篮球
C 乒乓球
D 羽毛球
（1）请补全上述条形统计图和占比统计表，若用扇形统计图反映选择球类活动兴趣班的人数占比，则篮球兴趣班的扇形圆心角为___________度；
（2）估计该校七年级400名学生中，选择乒乓球兴趣班的人数；
（3）若用电脑随机选择A，B，C，D四类兴趣班，请用列表或画树状图的方法，求该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率
22．（本题满分10分）
如图．等圆和相交于两点，经过的圆心，连接，作直径，延长到点，使，连接．
（1）___________度；
（2）求证：为的切线；
（3）若，求上的长．
23．（本题满分10分）
如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．
（1）求的值；
（2）若，求点坐标；
（3）双曲线关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点旋转后与的交点坐标.
24．（本题满分13分）
如图1，自贡彩灯公园内矗立着一座高塔，它见证过自贡灯会的辉煌历史．小蕊参加了测量该塔高度的课外实践活动，小组同学研讨完测量方案后，活动如下．
（1）制作工具
如图2，在矩形木板上点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物，过点画射线．测量时竖放木板，当重垂线时，将等腰直角三角尺的直角顶点紧靠铁钉，绕点转动三角尺，通过边瞄准目标，测量可得仰角度数．采用同样方式，可测俯角度数．
测量时，是否水平呢？小蕊产生了疑问．组长对她说：“因为始终垂直于水平面，满足就行．”求证：．
（2）获取数据
如图3，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高3米，小蕊在15楼阳台处测得塔底的仰角为，在25楼对应位置处测得塔底的俯角为，塔顶的仰角为．
如图4，为得到仰角与俯角的正切值，小蕊在练习本上画了一个，．在边上取两点，使，量得，，，则___________，___________，___________（结果保留小数点后两位）．
（3）计算塔高
请根据小蕊的数据，计算该塔高度（结果取整数）．
（4）反思改进
小蕊的测量结果与该塔实际高度存在2米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小蕊提出两条合理的改进建议（总字数少于50字）．
25．（本题满分15分）
如图，在中，分别是的中点，连接，交于点．
（1）若，，，则四边形的面积为___________；
（2）若，的最大面积为．设，求与之间的函数关系式，并求的最大值；
（3）若（2）问中取任意实数，将函数的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数的图象．直线交该图象于点，（点在点左边），过点的直线交该图象于另一点，过点的直线与直线交于点．若，试问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
数学试题答案详解
一、选择题
1．A2．C3．D4．C5．A
6．A7．B8．D9．C10．C
11．A12．B
二、填空题
13．的计算过程为，所以．
14．的分解因式为．
15．若，则的值为：将代入得4．
16．在ABC中，按照给定步骤重复操作，D2025F2025的长度为2．
17．在平面直角坐标系中，根据给定条件，OD的最大值为等边三角形的高加上OD在x轴上的投影，计算得．
二、解答题
18.1．解第一个不等式：
已知不等式
移项得：
除以3得：
2．解第二个不等式：
已知不等式：
移项得：
简化得：
3．合并解集：
结合两个不等式的解，得到不等式组的解集为
4．在数轴上表示解集：
画一条数轴，标记出-1和2两个点，用空心圆圈表示（因为不包含这两个点）
连接-1和2之间的线段，表示解集范围
19.1．分析已知条件：
已知
2．证明三角形全等：
在和中，由于（已知），（公共边），
且（对顶角相等）
根据ASA全等条件，可得
3．得出结论：
由于两三角形全等，根据全等三角形的性质，对应边相等，即
20．设小李平均每小时掰玉米筐，则小张平均每小时掰玉米筐．
根据题意，两人劳动时间相同，所以掰的玉米筐数之比等于他们的速度之比，即：
交叉相乘得：36x=30（x+2）
展开并化简：
移项：
解得：
所以，小李平均每小时掰玉米12筐．
21．题答案及步骤：
（1）由条形统计图可知各球类兴趣班人数占比，设总人数为：
足球：4人，占比10%，得4/n=10%，解得n=40．
篮球：人数设为，占比35%，得，解得．
乒乓球：人数设为，占比，得，解得．
羽毛球：人数设为，占比，得，解得．
将以上数据填入条形统计图和占比统计表中：
组别 球类活动兴趣班 占调查总人数百分比
A 足球 10%
B 篮球 35%
C 乒乓球 25%
D 羽毛球 30%
（2）估计该校七年级400名学生中选择乒乓球兴趣班的人数：
人．
（3）用列表法求该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率：
所有可能组合为（A，A），（A，B），（A，C），（A，D），（B，A），（B，B），（B，C），（B，D），（C，A），，共16种．
22．题目答案及步骤：
（1）
步骤：由于和相交于两点，
且经过的圆心，根据圆的性质，连接两圆圆心的线段垂直于两圆的交线．因此，
．
（2）证明为的切线：
步骤：连接和．
由于是的半径，且
（题目给出，此处应理解为的简写，即），
所以DB（等腰三角形的底角相等）．
又因为和是对顶角，
所以．
因此，，
即（因为是的延长线）与在点的切线垂直．
根据切线的性质，为的切线．
（3）若，求上的长：
步骤：设的半径为，
则（因为是的直径）．
在直角三角形中，根据勾股定理，有，
即，
解得（负值舍去，因为半径不能为负）．
但此处需注意，题目中的可能是打印错误，若按此值计算得出的半径与后续求解长不符．则，
解得或（舍去）．
因此，的半径为4．
由于是和的公共弦，且垂直于，
所以的长度可通过勾股定理在直角三角形中求得，但此处直接给出结果：
（其中为的半径，且等于-r=4-r，但在此题中不需具体求出的值）．
23．（1）求的值：
步骤：由于点在正比例函数上，所以．
将代入反比例函数中，
得-2=-k/（-2），解得k=4．
（2）若，求点坐标：
步骤：设，由于在反比例函数上，
且垂直于轴，所以的横坐标为．
将代入中，得的纵坐标为．
又因为，所以，解得．
因为在轴正方向，所以．因此，．
（3）射线绕点旋转后与的交点坐标：
步骤：双曲线关于轴对称的图象为．
设射线绕点旋转后与的交点坐标为．
由于与轴对称，
所以旋转后的射线与的交点横坐标与的横坐标互为相反数．
因为经过点（若按题目原意则应为，
所以．将代入中，得．
因此，交点坐标为（-2，2）.
24．（1）证明
推理过程：
已知水平面，矩形木板中，且是矩形的边，可认为处于水平方向（矩形对边平行且矩形木板可水平放置），
即平行于水平面．
因为OM，根据“如果一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于这个平面内的一条直线，那么这条直线垂直于另一条直线”，
又垂直于水平面，平行于水平面，
所以．
由于，根据平行线的传递性（垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条），可得．
（2）设塔的高度为，塔底到15楼阳台的水平距离为，塔底到25楼阳台D的水平距离为D2．由于楼层高度已知为3米，
所以D1和D2的差值可以通过楼层数计算得出，
即
（3）反思改进：
使用高精度测量工具：为提高测量精度，应使用激光测距仪、高精度全站仪等高精度测量工具进行距离和角度的测量．
多次测量取平均值：在同一位置进行多次测量，并计算平均值，以减少偶然误差的影响．
考虑大气折射等因素：在远距离测量时，应考虑大气折射等因素对测量结果的影响，并进行相应的校正．
建立更精确的数学模型：结合楼层高度、角度测量值等数据，建立更精确的数学模型来计算塔高．.
25．
（1）四边形BCDE的面积计算步骤：
由于D、E分别是AC、AB的中点，
根据中位线定理，且．
四边形BCDE是梯形，面积公式为．
已知，，由于，且是的一半，
所以．
代入面积公式得：．
（2）的最大面积S与BD长度x的函数关系及最大值：
设，则
四边形BCDE面积．
对求导得：．
令导数为零解得．
代入得最大面积．
（3）判断直线l是否过定点：
已知函数S的图象向右、向上平移1个单位长度后得到函数y的图象．
直线与图象交于点，，过点的直线与图象交于另一点Q．
若S=SQ，则由于平移关系，F、Q关于直线x=1对称．
设H点坐标为，则Q点坐标为．
由于H、Q在直线l上，代入得方程组，但此题信息不足以确定直线l是否过定点，故无法给出确切答案．

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