资源简介

(共19张PPT)
1. 掌握相似三角形的应用；（重点）
2. 进一步了解数学建模思想，提高分析问题、解决问题的能力.（难点）
学习目标
问题1 判定两三角形相似的方法有哪些？
问题2 相似三角形的性质有哪些？
观察与思考
导入新课
世界上最高的树
—— 红杉
台湾最高的楼
——台北101大楼
怎样测量这些非常高大物体的高度？
世界上最宽的河
— —亚马逊河
怎样测量河宽？
利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体的高度及两物之间的距离问题.
据史料记载，古希腊数学家，天文学家开勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆.借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
如图，如果木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为 3 m，测 OA 长为 201 m，
求金字塔的高度 BO.
利用相似三角形测量高度
一
B
O
E
A(F)
D
讲授新课
解：太阳光是平行的光线，因此∠BAO =∠EDF.
因此金字塔的高为 134 m.
又∵ ∠AOB =∠DFE = 90°，
∴△ABO∽△DEF.
B
O
E
A(F)
D
A
F
E
B
O
┐
┐
还可以有其他方法测量吗？
OB
EF
=
OA
AF
△ABO∽△AEF
OB =
OA · EF
AF
平面镜
如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在河的这一边取点 Q 和 S，使点 P、Q、S共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT
与过点 Q 且垂直 PS的直线 b 的交
点为 R.如果测得 QS = 45 m，
ST = 90 m，QR = 60 m，求河
的宽度 PQ.
利用相似三角形测量宽度
二
P
Q
S
T
R
a
b
因此河宽大约为 90 m.
P
Q
S
T
R
a
b
60 m
45 m
90 m
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.
测距的方法
方法归纳
例 已知左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树的根部的距离 BD = 5 m，一个身高 1.6 m 的人沿着正对这两棵树的一条水平直路从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点 C 了？
典例精析
分析：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K.视线 FA，FG 的夹角 ∠AFH 是观察点 A 的仰角. 类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域 Ⅰ 和Ⅱ 都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内. 再往前走就根本看不到 C 点了.
由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端 C .
解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条直线上．
∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD. ∴△AEH ∽ △CEK.
∴ .
即
解得 EH = 8.
1. 如图，铁道口的栏杆短臂长 1 m，长臂长 16 m，当短臂端点下降 0.5 m 时，长臂端点升高______m.
8
O
B
D
C
A
┏
┛
1 m
16 m
0.5 m
？
2.某一时刻树的影长为 8 米，同一时刻身高为 1.5 米的人的影长为 3 米，则树高为______米.
4
当堂练习
解：设正方形 PQMN 是符合要求的，△ABC 的高 AD 与 PN 相交于点 E.设正方形 PQMN 的边长为 x mm.
因为PN∥BC，所以△APN∽△ABC.
所以 .
3. △ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC = 120 mm，高 AD = 80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？
N
M
Q
P
E
D
C
B
A
解得 x = 48 (mm).
因此 ，
1. 相似三角形的应用主要有两个方面：
（1）测高
测量不能到达两点间的距离，常构造相似三角形求解.
（不能直接使用皮尺或刻度尺测量）
（不能直接测量的两点间的距离）
测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决.
（2）测距
课堂小结
2. 解相似三角形实际问题的一般步骤：
（1）审题；
（2）构建图形；
（3）利用相似解决问题.

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