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知识点
锐角三角函数的定义
1
1. 定义
如图24.3-1，在
△ ABC 中，
∠ C=90°，
∠ A 的正弦：sin A=
∠ A 的余弦：cos A=
∠ A 的正切：tan A=
∠ A 的正弦、余弦、正切统称为锐角∠ A 的三角函数.
2. 表示法
(1)在sin A，cos A，tan A 中，三角函数的符号一定要小写，不能大写.
(2)当锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示时，它的三角函数习惯上省略角的符号，如sin A，cos α ，tan B 等；当锐角是用三个大写英文字母或数字表示时，它的三角函数不能省略角的符号，如sin ∠ ABC，sin ∠ 1 等.
(3)“sin A”，“cos A”，“tan A”是整体符号，不能理解为“sin·A”，“cos ·A”，“tan ·A”.
(4)sin2A 表示sin A·sin A=(sin A)2，不能写成sin A2；cos2A 表示cos A·cos A=(cos A)2，不能写成cos A2；tan2A 表示tan A·tan A=(tan A)2，不能写成tan A2.
特别提醒
1. 正 弦、余弦、正切都是一个比值，是没有单位的数值，它们只与锐角的大小有关，而与三角形的边的长短无关.
2. 由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且0 ＜sin A ＜1，0 ＜cos A ＜1，tan A ＞0.
3. 正 弦、余弦、正切符号后面可以直接写锐角的度数，如sin28°，cos8 °，tan18°等.
4. sin x，cos x和tan x都是以x为自变量的函数，一旦x的度数确定，它们的值就唯一确定，即锐角三角函数值随角度的变化而变化 .
在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A，∠ B，∠ C 的对边分别为a，b，c. 已知a=6，b=8，求出∠ A的三角函数值.
例 1
解题秘方：紧扣“锐角三角函数的定义”求解.
解：如图24.3-2，在Rt △ ABC 中，
∵∠ C=90°，a=6，b=8，
∴ c= =10.
∴ sin A= ，cos A= ，
tan A= .
1-1. 如图， 在矩形纸片ABCD 中，AB=9，BC=12，把△ BCD 沿对角线BD 折叠， 使点C落在点C′处，BC′交AD于点G， 则sin ∠ ABG的值为( )
A. B.
C. D.
D
在△ABC 中，∠C=90°，sin A= ，则tan B=( )
A. B. C. D.
解题秘方：当三角形出现边与边的比时，可引入参数，用这个参数表示出三角形的三边长，再用定义求解.
例2
解： 由sin A= ，可设BC=4k(k>0)， 则AB=
5k，根据勾股定理，得AC=3k，∴ tan B=
.
答案：B
2-1. 已知sinα = ，α 为锐角， 求cosα 和tanα 的值.
解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
设∠A＝α，BC＝3k(k＞0)．
如图24.3-3，在等腰三角形ABC 中，AB=AC，如果2AB=3BC，求∠ B 的三个三角函数值.
例 3
解题秘方：紧扣“锐角三角函数的定义的前提是在直角三角形中”这一特征，用“构造直角三角形法”求解.
解：过点A 作AD⊥BC 于点D，如图24.3-3，
∵ AB=AC，∴ BD=DC.
又∵ 2AB=3BC，∴ .
设AB=AC=3k(k>0)，则BC=2k.
∴ BD=CD=k，∴ AD=2 k.
∴ sin B= ，cos B= ，tan B= =2 .
3-1. 将一副三角尺(Rt △ ABC 与Rt △ BDC)按如图所示的方式摆放在一起，连接AD，试求∠ ADB 的正切值.
解：过点A作AM⊥DB，交DB的延长线于点M.
∵∠DBC＝45°，∠ABC＝90°，
∴∠MBA＝180°－45°－90°＝45°，
∴∠MAB＝45°.
∴∠MBA＝∠MAB，∴AM＝BM.
如图24.3-4， 在△ ABC 中， ∠ ACB=90 °，AC=BC=4，将△ ABC 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处，EF 是折痕，若AE=3，则sin ∠ BFD 的值为( )
A. B. C. D.
例4
解题秘方：紧扣“角相等则其三角函数值也相等”这一特征，用“等角转换法”将所要求的角的三角函数值转化为直角三角形中与该角相等的角的三角函数值.
解：∵在△ ABC 中，AC=BC=4，∴∠ A = ∠ B.
由折叠得∠ EDF = ∠ A= ∠ B.
∵∠ CDF = ∠ CDE + ∠ EDF = ∠ B + ∠ BFD，
∴∠ CDE = ∠ BFD.∵ CE=AC－AE=1，
∴ sin ∠ BFD=sin ∠ CDE=
答案：A
4-1. 如图，CD是Rt △ ABC 斜边上的高，AC=4，BC=3， 求cos ∠BCD的值.
知识点
锐角三角函数之间的关系
知2－讲
2
1. 同一锐角的三角函数之间的关系
(1)平方关系：sin2A+cos2A=1.
(2)商除关系： =tan A.
2. 互余两角的三角函数之间的关系
sin A= cos(90°－∠A). cos A=sin(90 °－∠ A).
深度理解
1. 锐角三角函数之间的关系都可用定义推理得出.
2. 锐角三角函数定义
速记口诀：
正弦等于对比斜，
余弦等于邻比斜，
正切等于对比邻，
函数特点要牢记.
已知α 为锐角且sinα = ，求cosα ，tanα 的值.
例 5
解题秘方：紧扣“同一锐角三角函数间的关系”求解.
解：∵ sin2α+cos2α=1，∴ cos2α=1－sin2α=
1－ = .
又∵α 为锐角，∴ 0 ＜ cosα ＜ 1，∴ cosα = ，
∴ tanα = .
5-1. 在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，sinA= ，求cosA，tanA 的值.
计算：sin21°+sin22°+…+sin288°+sin289°
解题秘方：紧扣sin α =cos(90°－α)将原式变形，再根据sin2α +cos2α =1 求解.
例6
解：原式=sin21°+sin22°+…+sin244°+sin245°+cos244°+…+cos22°+cos21°=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin244°+cos244°)+sin245°=44+ =44+ =44 .
6-1. 在△ ABC 中，已知∠C=90°，sinA+sinB= ，求sin A－sin B 的值.
知识点
特殊角的三角函数值
3
30°，45°，60°角的三角函数值
α
三角函数 30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α 1
特别提醒
由左表可以计算特殊锐角的三角函数值，也可由特殊角的三角函数值求出相应的锐角.
(1)
(2)
解题秘方：用“代入法”求值.
例 7
7-1. 求下列各式的值.
(1)sin30°－2cos60 °+tan45°
(2)
(3)
在△ ABC 中，∠ A，∠ B 均为锐角，且∠ A，∠ B
满足 －2=0，试判断△ ABC 的形状，
并说明理由.
解题秘方：先根据特殊角的三角函数值求出两个内角的度数，再判断三角形的形状.
例8
解：△ ABC 是直角三角形，理由如下：
∵
∴
又∵∠ A，∠ B 均为锐角，∴∠ A=60°，∠ B=30°.
∴∠ C=180°－∠ A－∠ B=90°.
∴△ ABC 是直角三角形.
8-1. 在锐角△ ABC 中，若|sinA－ |+(1－tanB)2=0，则∠ C 的度数是( )
A.45° B.60° C.75° D.105°
C
8-2. 在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，AB=2 ，AC= ， 则∠ B 的度数为______ .
60°
知识点
任一锐角的三角函数值
4
1. 利用计算器求锐角三角函数值
(1)将角度单位状态设定为“度”： (设置)
(角度单位) (度)，屏幕显示 .
(2)在角度单位状态为“度”的情况下，按 或 或
键直接求出一个角的正弦值、余弦值或正切值.
2. 已知锐角三角函数值求锐角的度数
一般的计算器中都有sin－1，cos－1，tan－1 键，这些是由正弦、余弦或正切值求锐角度数的功能键，已知一个锐角的正弦、余弦或正切值求锐角时，要用到
(sin－1)， (cos－1)或 (tan－1)键.
特别提醒
不同计算器的按键顺序不同，大体分两种情形：先按三角函数键，再按数字键或先输入数字，再按三角函数键.
用计算器求sin 16°，cos 42°，tan 85°，sin 72°38′25″的值.
解题秘方：按计算器的使用说明求值.
例 9
解：先将角度单位状态设定为“度”：
(设置) (角度单位) (度)，屏幕显示 ，然后再如表求值.
9-1. 用计算器求下列各式的值(结果精确到0.000 1).
(1)sin23°5′+cos66°55′ .
(2)sin27.8°－cos65°37′+tan49°56′.
解：原式＝sin23°5′＋sin23°5′＝2sin23°5′≈2×0.392 07≈0.784 1.
原式≈0.135 722－0.412 84＋1.188 94≈
0.018 42－0.412 84＋1.188 94≈0.794 5.
已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：
(1)sin A=0.516 8(结果精确到0.01°)；
(2)cos A=0.675 3(结果精确到1″).
解题秘方：按计算器的使用说明依次按键.
例10
解：(1)依次按键：
显示结果为31.117 845 56，即∠ A ≈ 31.12° .
(2)依次按键：
，显示结果为47°31′21.18″，即∠ A ≈ 47°31′21″.
10-1. 为了方便行人推车过某天桥，市政府在10 m 高的天桥一侧修建了一条40 m长的斜道(如图所示)，我们可以借助计算器求这条斜道倾斜角∠ A 的度数，具体按键顺序是( )
A.
B.
C.
D.
A
锐角三角函数
锐角三角函数
定义
计算
正弦
余弦
正切
特殊角的函数值
任一锐角的三角函数值
锐角的度数

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