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2025年湖南省永州市中考数学三模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是( )
A. B. C. D.
2.我国的传统节日“春节”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录今年春节期间，某景区游客万人次，景区门票价格元人以此计算，今年该景区春节期间门票总收入用科学记数法表示为( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
3.若与是同类项，则点关于原点的对称点所在象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.第十四届全国冬季运动会向全国征集会徽设计作品，其中很多设计方案既体现了季节和运动特征，又体现了对称之美以下幅设计方案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
6.计算的值( )
A. B. C. D.
7.如图，是的直径，弦于点，连接，，，，则弦的长为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧；分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线交于点已知，，则的长为( )
A. B. C. D.
9.已知二次函数是常数，且，当时，随的增大而减小，当时，的最小值是，则的值为( )
A. B. 或 C. D.
10.如图，在菱形中，对角线与相交于点，，垂足为点，若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.因式分解： ______．
12.哥德巴赫提出“每个大于的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果在质数，，中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是______．
13.方程的解为______．
14.一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是______．
15.若为方程的一个解，则的值为______．
16.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边垂直于轴，垂足为点，反比例函数的图象经过的中点，且与相交于点，，，的值为______．
17.如图，在中，，，中线与高交于点，如果，那么 ______．
18.如图，菱形在第二象限内，，反比例函数的图象经过点交边于点，若的面积为，则的值为______．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：．
20.本小题分
先化简，再求值：，其中．
21.本小题分
为积极落实关于在义务教育学校实施“专项行动”的通知，学校需确保每日综合体育活动时间不低于小时，课间活动时长统一调整为分钟某校开设了“一人一球”体育拓展课程，学生可根据自己的喜好选择一门球类项目：篮球；：足球；：排球；：羽毛球；：乒乓球，学校随机对该校部分学生的选课情况进行调查，绘制成两幅不完整的统计图如图所示请根据以上信息，回答下列问题：
此次调查的学生总数是______人，选择羽毛球的学生人数为______人；
扇形统计图中，求项目所对应的扇形圆心角的度数；
若该校有学生人，请估计有多少学生选修了排球．
22.本小题分
如图，矩形的对角线与交于点，为的中点，连接，过点作，交延长线于点，交于点，连接．
求证：四边形是平行四边形；
若，请直接写出图中的等边三角形．
23.本小题分
如图，佛山的龙狮文化是中华传统文化的重要组成部分，象征着吉祥和祈福为宣传龙狮文化，某学校计划购买龙和狮的摆件放于学校的宣传栏已知龙摆件比狮摆件的单价多元，用元购买龙摆件与用元购买狮摆件的数量相同．
求龙、狮摆件的单价分别是多少？
若计划购买龙、狮摆件共个，且狮摆件的数量不超过龙摆件数量的倍，则该校至少要花费多少钱购买龙、狮摆件？
24.本小题分
用某型号拖把去拖沙发底部地面的截面示意图如图所示，拖把头为矩形，，该沙发与地面的空隙为矩形，，拖把杆为线段，长为，为的中点，与所成角的可变范围是，当大小固定时，若经过点，或点与点重合，则此时的长即为沙发底部可拖最大深度．
如图，当时，求沙发底部可拖最大深度的长结果保留根号
如图，为了能将沙发底部地面拖干净，将减小到，请通过计算，判断此时沙发底部可拖最大深度的长能否达到？
25.本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点在的左侧，与轴交于点，连接，．
求抛物线的表达式；
点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴平行线交于点，点是线段上一点，当最大时，求的最小值．
将抛物沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点坐标为，点是新抛物线对称轴上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
26.本小题分
如图，以为直径的与的边交于点，点是直径下方半圆上的一动点，连接，交于点．
若，，求的值；
记的面积为，的面积为，若：，的半径为求线段的长；
如图，当动点运动到恰好使得为的中点时，的角平分线交于点，交于点，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：科学记数法表示数可得：
．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：根据题意可知，，，
解得：，
点即为：，
点关于原点的对称点为：，
点在第四象限．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：、选项图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：．
5.【答案】
【解析】解；、，原选项计算错误，不符合题意；
B、与不能合并，原选项计算错误，不符合题意；
C、，原选项计算错误，不符合题意；
D、，原选项计算正确，符合题意；
故选：．
6.【答案】
【解析】解：．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：是的直径，弦于点，
，
，
，
在中，，，
，
．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：过作于，
由作图得：平分，，，
，
在中根据勾股定理得：，
，，
≌，
，
设，则，，
在中，根据勾股定理得：
，
即：，
解得：，
，
9.【答案】
【解析】解：，
二次函数的对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，
，
当时，的最小值是，在对称轴的右边，此时随的增大而增大，
当时，，
，
解得或舍去，
即的值为．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，
，，
，
，
，
在中，
．
即的长为，
故选：．
11.【答案】
【解析】解：；
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，和是偶数的结果共有种，
概率为，
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：原方程去分母得，
，
，
，
检验：当时，，
是原方程的解．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，分两种情况：
腰是，
，
腰是不能构成三角形，
底是，
，
底是满足条件，
则周长为：，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：由题意可知：，
，
则，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：设点的坐标为，则点的坐标为．
由条件可知点的坐标为．
点，均在反比例函数的图象上，
，解得，
反比例函数的解析式为；
故答案为：．
17.【答案】
【解析】解：由题知，
，且为高线，，
．
又是的中线，
是的中位线．
，
．
在中，
．
为的重心，
．
过点作的垂线，垂足为，
，
，
．
又为中点，
．
在中，
．
故答案为：．
18.【答案】
【解析】解：连接、过点作于，
四边形是菱形，
，，且，
是等边三角形，
，
，
，
，
．
，
．
故答案为：．
19.【答案】解：
．
20.【答案】解：原式
，
当时，原式．
21.【解析】人，
样本中喜欢“：羽毛球”的人数为人，
故答案为：，；
，
答：扇形统计图中扇形的圆心角度数是；
人，
答：估计有名学生选修了排球．
22.【解析】证明：四边形是矩形，
．
，
．
．
为的中点，
．
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形；
解：在矩形中，，，，
，
，四边形是平行四边形，
是等边三角形．四边形是菱形，
，，，
，，
，是等边三角形，
综上可知，图中的等边三角形为，，．
23.【解析】设龙、狮摆件的单价分别是元、元，
由题意得，
整理得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
则，
答：龙摆件的单价是元、狮摆件的单价是元；
设购进龙摆件个，则狮摆件个，总费用为，
由题意可得，
整理得，，
解得，
总费用为：，
，
当时，费用最小，最小为，
答：该校至少要花费元钱购买龙、狮摆件．
24.【解析】设的延长线交于点．
四边形和四边形是矩形，，，
，，．
四边形是矩形．
，，．
，，
在中，，，
，
点是的中点，
，
，
．
答：沙发底部可拖最大深度的长为；
沙发底部可拖最大深度的长不能达到．
理由：由得：，，．
在中，，
，
，
，
此时沙发底部可拖最大深度的长不能达到．
25【解析】抛物线与轴交于，两点在的左侧，将点，点的坐标分别代入得：
，
解得：，
抛物线的表达式为；
抛物线与轴交于点，
当时，得：，
点，
设直线的解析式为，将点，点的坐标分别代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
，
当时，取得最大值，
此时点的坐标为，
如图，过点作，过点作于点，则，
，
，
，
，
根据题意得：，，
，
，
，
，
，
当点，，三点依次共线，且时，取得最小值，最小值为的长，
设直线的解析式为，把点，点的坐标分别代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为，
可设直线的解析式为，把点的坐标代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
当时，得：，
解得：，
点的坐标为，
，，
，
；
符合条件的点的坐标为或理由如下：
，，，
抛物线沿射线方向平移个单位长度，即水平向右平移个单位长度，竖直向上平移个单位长度，
抛物线的对称轴为直线，
新抛物线的对称轴为直线，
在轴负半轴上取点，使得，
，
，
，
，
过点作于点，
，，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
设，
当点在轴上方时，如图，过点作，交于点，过点作轴的垂线，过点作于点，过点作于点，
，，
，，，
，
≌，
，，
，
设直线的解析式为，
将，代入，
得：，
解得：，
直线的解析式为，
将代入，
得，
解得：负值舍，
；
当点在轴下方时，如图，过点作，交直线于点，过点作轴的垂线，过点作于点，过点作于点，
同理可得≌，
，，
，
同理可得直线的解析式为，
将代入，
得，
解得：或舍，
；
综上所述，符合条件的点的坐标为或．
26.【解析】为圆的直径，
，
，
，
，
，
，，
，
；
，
，
，，
：，
，
设，则，
，，
∽，
，
，
．
，
的半径为，
，
，
；
过点作于点，如图，
是的角平分线，，，
．
为的中点，
，
为圆的直径，
，
∽，
，
．
为圆的直径，，
，
．
是的角平分线，
．
，，
，
，
，
．
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