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【真题真练·50道综合题专练】浙教版数学八年级下册期末总复习
1．（2023八下·湛江期末）如图，点O是平行四边形ABCD对角线的交点，，分别过点、作，，连接OE．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）设AC＝12，BD＝16，求的长．
2．（2023八下·岑溪期末）我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球2021年的单价是200元，今年的单价为162元．
（1）求2021年到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；
（2）购买期间发现该品牌足球在A、B两个体育用品店有不同的促销方案，A店买十送一，B店全场九折，通过计算说明到哪个店购买足球更优惠．
3．（2021八下·长兴期末）一次函数y=2x+2与反比例函数y= （k≠0）的图象都经过点A（1，m），y=2x+2的图象与x轴交于点B。
（1）求点B的坐标及反比例函数的表达式；
（2）点C（0，-2），若四边形ABCD是平行四边形，直接写出点D的坐标，并判断D点是否在此反比例函数的图象上。
4．（2024八下·芙蓉期末）武汉某文化公司向市场投放型和型商品共件进行试销，型商品成本价元/件，型商品成本价元/件，要求两种商品的总成本价不超过元，已知型商品的售价为元/件，型商品的售价为元/件，全部售出且获得的利润不低于元．设该公司投放型商品件，销售这批商品的利润为元．
（1）求与之间的函数解析式，并求出的取值范围；
（2）该公司决定在试销活动中每售出一件型商品，就从一件型商品的利润中捐献慈善资金元，当该公司售完这件商品并捐献资金后获得的最大收益为元时，求的值．
（3）公司发现，将这两款商品成套以的价格销售时可以卖出套。公司决定降价成套出售，经过市场调查发现：销售单价每降价元，可多卖出套.当销售单价为多少元时利润可达到元且尽可能让利于顾客？
5．（2021八下·新昌期末）如图，在直角坐标系中，点和点是一次函数和反比例函数图象的交点.
（1）求反比例函数的表达式和点的坐标.
（2）利用图象，直接写出当时的取值范围.
（3）连结并延长交双曲线于点，连结，求的面积.
6．（2023八下·东莞期末）如图，在正方形中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且．
（1）求证：；
（2）四边形的形状是　 　；
（3）若，请借助图中几何图形的面积关系来证明．
7．（2021八下·福山期末）计算：
（1） ；
（2） ．
（3）用两种不同的方法解方程：x2+4x﹣5＝0．
8．（2022八下·薛城期末）如图，点D是ABC内一点，点E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如果∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，，AD＝6，求四边形EFGH的周长．
9．（2020八下·龙湖期末）某校在“爱护地球、绿化祖国”的创建活动中，组织学生开展了植树造林活动，为了解全校学生植树情况，学校随机抽查了100名学生的植树情况，将调查数据整理如下表：
植树数量(棵) 5 6 7 8 10
人数 28 25 10 15 22
（1）上述数据中，中位数是　 　棵，众数是　 　棵.
（2）若该校有1800名学生，请根据以上调查结果估计该校学生植树总数.
10．（2019八下·瑶海期末）如图，有长为48米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度25米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD．
（1）当AB的长是多少米时，围成长方形花圃ABCD的面积为180m2？
（2）能围成总面积为240m2的长方形花圃吗？说明理由．
11．（2023八下·衡山期末）某校举行了“珍爱生命，预防溺水”主题知识竞赛活动，八（1）、八（2）班各选取五名选手参赛.两班参赛选手成绩依次如下：（单位：分）
八（1）班：8，8，7，8，9
八（2）班：5，9，7，，9
学校根据两班的成绩绘制了如下不完整的统计表：
班级 平均数 众数 中位数
八（1） 8 b c
八（2） a 9 9
根据以上信息，请解答下面的问题：
（1）填空：　 　，　 　，　 　.
（2）已知八（1）班比赛成绩的方差是，请你计算八（2）班比赛成绩的方差，并从方差的角度分析哪个班级成绩更稳定.
12．（2023八下·忻州期末）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：
样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
根部横截面积x 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06
材积量y 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40
（1）估计该林区一颗这种树木平均根部横截面积与平均材积量．
（2）现测量了该林区部分这种树木的根部横截面积，经过测算得到这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据估计该林区这种树木的总材积量．
13．（2021八下·顺义期末）已知：如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点，作射线BE，过点D作DF⊥BE于点F，交BC延长线于点G，连接FC．
（1）依据题意补全图形；
（2）求证：∠FBC＝∠CDG；
（3）用等式表示线段DF，BF，CF之间的数量关系并加以证明．
14．（2024八下·上虞期末）解答下列各题：
（1）用配方法解方程：
（2）如图是 6×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C，P各点都在格点上 ．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求在同一答题图上画图．
①找出格点D，连结，使四边形是平行四边形．
②过点P作一条直线，使直线平分平行四边形的周长和面积．
15．（2024八下·拱墅期末）在直角坐标系中，设函数，已知当x＝1时，y1＝4，函数y1，y2的图象交于点A和点B，点A到两条坐标轴的距离相等．
（1）求函数y1的表达式．
（2）求点A的坐标及k2的值．
（3）若点A在第一象限内，
①当x＝1时，比较y1与y2的大小；
②直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．
16．（2021八下·丽水期末）如图，已知直线OA与反比例函数y= (x>0)，y= (x>0)的图象分别交于点A，B，点A的坐标为(1，4)，且点B是线段OA的中点。
（1）求k1，k2的值；
（2）已知反比例函数y= 的图象上C点的横坐标为2，连结OC并延长交反比例函数y= 的图象于点D，连结AD，BC，试判断AD与BC的数量关系和位置关系，请说明理由。
17．（2021八下·萧山期末）设函数 .
（1）若函数 的图象经过点 ，求 的函数表达式.
（2）若函数 与 的图象关于 轴对称，求 的函数表达式.
（3）当 ，函数 的最大值为 ，函数 的最小值为 ，求 与 的值.
18．（2023八下·通许期末）如图①，在正方形中，是对角线的中点，是线段上（不与点重合）的一个动点，过点作交边于点．
（1）求证：．
（2）过点作于点，如图②，若正方形的边长为2，则点在运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，请写出这个不变的值；若变化，请说明理由．
19．（2023八下·姜堰期末）已知代数式．
（1）当为何值时，代数式比的值大2；
（2）求证：对于任意的值，代数式的值恒为正数．
20．（2021八下·濉溪期末）某工厂计划从今年1月份起，每月生产收入为22万元，但生产过程中会引起环境污染，将会受到环保部门的处罚，每月罚款2万元．如果投资111万元治理污染，从1月份开始，每月不但不受处罚，还可降低生产成本，使1月至3月生产收入以相同的百分率逐月增长，3月份以后，每月生产收入稳定在3月份的水平．经测算，投资治污后，1月份生产收入为25万元，3月份生产收入为36万元．
（1）求投资治污后，2月、3月每月生产收入增长的百分率；
（2）如果把利润看作是每月生产收入的总和减去治理污染的投资或环保部门的罚款，试问治理污染多少个月后，所投资金开始见成效(即治污后所获得利润不少于不治污情况下所获利润)
21．（2021八下·濉溪期末）阅读并完成下面问题：
①；
②；
③； …
（1）填空：的倒数为　 　．（n为正整数）的值为　 　．
（2）计算：．
22．（2022八下·薛城期末）如图，平行四边形ABCD中，AE平分交BC于E，DF平分交BC于F．
（1）求证：；
（2）若E为BC的三等分点（靠近C点），，，求直线AB与CD之间的距离．
23．（2022八下·阿荣旗期末）某商场统计了每个营业员在某月的销售额，绘制了如下统计图．
解答下列问题：
（1）设营业员的月销售额为x（单位：万元）．商场规定：当时为不称职，当时为基本称职，当时为称职，当时为优秀．试求出不称职、基本称职、称职、优秀四个层次营业员人数所占百分比，并画出相应的扇形图．
（2）根据（1）中规定，所有称职和优秀的营业员月销售额的中位数、众数和平均数分别是多少？
（3）为了调动营业员的积极性，决定制定一个月销售额奖励标准，凡达到或超过这个标准的营业员将受到奖励．如果要使得称职和优秀的所有营业员的半数左右能获奖，奖励标准应定为多少元？并简述其理由．
24．（2022八下·安庆期末）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）每件服装降价多少元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元．
（2）商家能达到平均每天赢利1800元吗？请说明你的理由．
25．（2023八下·丽水期末）如图，某学校有一块长，宽的长方形空地，计划在其中修建三块相同的长方形绿地，三块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.
（1）若设计人行通道的宽度为，则三块长方形绿地的面积共多少平方米
（2）若三块长方形绿地的面积共，求人行通道的宽度．
26．（2023八下·长春期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴相交于点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点与点关于轴对称，求的面积．
27．（2023八下·青浦期末）如图，在三角形中，，分别是与它的邻补角的平分线，于点E．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接交AC于点O，若，求证：四边形是正方形．
28．（2023八下·沈丘期末）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表：
镜片焦距x（米） 1.00 0.50 0.25 0.20 0.10
近视眼镜的度数y（度） 100 200 400 500 1000
（1）请写出适当的函数解析式描述近视眼镜的度数y与镜片焦距x的关系；
（2）验光师测得小明同学的近视度数是250度，给小明配的眼镜的焦距应该是多少米？
29．（2023八下·恩施期末）党的二十大报告提出：传承中华优秀传统文化，满足人民日益增长的精神文化需求，某校积极开展活动，从诗词歌赋、戏剧戏曲、国宝非遗、饮食文化、名人书法五个方面让传统文化“活”起来，在某次竞赛活动中，学校随机抽取部分学生进行知识竞赛，竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：A：，B：，C：，D：，E：，并绘制出如下的统计图1和图2．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图1中A组所在扇形的圆心角度数为 ▲ °，并将条形统计图补充完整．
（2）若“”这一组的数据为：90，96，92，95，93，96，96，95，97，100．求这组数据的众数和中位数．
（3）若此次竞赛进入初赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按20%，30%，50%的比例确定最后得分，得分达到90分及以上可进入决赛，小敏这三轮的成绩分别为86，89，93，问小敏能参加决赛吗？请说明你的理由．
30．（2022八下·平谷期末）已知：正方形ABCD，过点D作直线DE，点C关于直线DE的对称点为，连接，作直线交直线DE于点P．
（1）补全图形；
（2）判断的形状并证明；
（3）猜想线段PA，PC，PD的数量关系并证明．
31．（2022八下·门头沟期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取正整数时，求此时方程的根．
32．（2022八下·黄山期末）某校要从小王和小李两名同学中挑选一人参加全市知识竞赛，在最近的五次选拔测试中他俩的成绩（单位：分）如表：
姓名 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
小王 60 75 100 90 75
小李 70 85 100 80 80
（1）完成表格：
姓名 平均成绩 中位数 众数 方差
小王 80 75 75 190
小李 　 　 　 　
（2）在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是谁？若将80分以上（含80分）的成绩视为优秀，则小王、小李在这五次测试中的优秀率各是多少？
（3）历届比赛表明，成绩达到80分以上（含80分）就很可能获奖，成绩达到90分以上（含90分）就很可能获得一等奖，那么你认为选谁参加比赛比较合适？请说明理由．
33．（2024八下·新会期末）若一个含根号的式子可以写成的平方其中，，，都是整数，为正整数，即，则称为完美根式．是的完美平方根例如：因为，所以是的完美平方根．
（1）已知是的完美平方根，求的值；
（2）若是的完美平方根，用含，的式子表示，．
（3）已知为完美根式，直接写出它的一个完美平方根．
34．（2023八下·吉首期末）（1）计算：；
（2）计算：．
35．（2023八下·荣成期末）在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升．
（1）某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率；
（2）某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价．
36．（2022八下·抚宁期末）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接．
（1）求证：；
（2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由）
37．（2024八下·三门期末）如图1，是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即B，D之间的距离）．在手柄转动过程中，B，D之间的距离y（单位：）随的长度x（单位：）的变化规律如图2所示．
（1）指出图中点P坐标的实际意义；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围：
（3）直接写出B，D之间距离的变化范围．
38．（2024八下·新昌期末）如图1，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点处并将其吊起来，在点右侧的秤钩上挂一个物体，在点左侧的秤杆上有一个动点（最大距离为），在点处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数（单位：）与的长度（单位：）的五组对应值，已在平面直角坐标系中描点如图2．
（1）请在图2中画出与的函数图象，并判断它是什么函数．
（2）求关于的函数表达式．
（3）移动弹簧秤的位置，若秤杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值．
39．（2024八下·海曙期末）如图， 是渔民骑坐 “木海马” 在滩涂上赶海， 这一工具大大提高了渔民赶海时的效率．已知人和 “木海马” 对滩涂的压力 （单位∶ ），“木海马” 底面面积 （单位：） 与人和木板对滩涂的压强 （单位∶ ）满足关系： ，若人和木板对滩涂的压力 合计为 ，
（1）用含 的代数式表示 ；
（2）当 “木海马” 底面面积为 时，人和木板对滩涂的压强是多少 ；
（3）若要人和木板对滩涂的压强不超过 ，则 “木海马” 底面面积至少需要多少 ．
40．（2023八下·榆树期末）某校为了改善学生伙食，准备午餐为学生提供鸡腿．现有A、B两家副食品厂可以提供规格为的鸡腿，而且它们的价格相同，品质也相近．质检人员分别从两家随机各抽取10个，记录它们的质量（单位：g）如下：
A加工厂 74 74 74 75 73 77 78 72 76 77
B加工厂 78 74 77 73 75 75 74 74 75 75
并对以上数据进行整理如下：
平均数 中位数 众数 方差
A加工厂 75 74.5 b 3.4
B加工厂 75 a 75 2
根据以上分析，回答下列问题：
（1）统计表中a=　 　，b=　 　；
（2）根据以上信息估计B加工厂加工的100个鸡腿中，质量为的鸡腿有多少个？
（3）如果考虑鸡腿的规格，学校应该选购哪家加工厂的鸡腿？说明理由．
41．（2020八下·无为期末）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：
．请你仿照小明的方法解决下列问题：
（1） ，则 　 　， 　 　；
（2）已知 是 的算术平方根，求 的值；
（3）当 时，化简 　 　．
42．（2017八下·丰台期末）已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）选择一个m的值，并求出此时方程的根．
43．（2017八下·顺义期末）绿色出行是对环境影响最小的出行方式，“共享单车”已成为北京的一道靓丽的风景线．已知某地区从2017年1月到5月的共享单车投放量如右图所示．
（1）求1月至2月共享单车投放量的增长率；
（2）求2月至4月共享单车投放量的月平均增长率．
44．（2024八下·顺德期末）在中，，点是线段上的一点，连接．
（1）如图，，是的角平分线，于点．
当时，求的长；
若的中线交于点，判断与的关系，并说明理由；
（2）如图，若，点是上的一点，且，连接交于点，求的度数．
45．（2024八下·鄞州期末）如图1，点是正方形内部的一点，．连结，，过点作的垂线交的延长线于点．
（1）猜测的度数，并说明理由；
（2）若，求正方形的边长；
（3）如图2，过点作的垂线交于点．当恰好过的中点时，设正方形的边长为，用含的代数式表示．
46．（2022八下·温州期末）某小组进行漂洗实验，每次漂洗的衣服量和添加洗衣粉量固定不变实验发现，当每次漂洗用水量v（升）一定时，衣服中残留的洗衣粉量y（克）与漂洗次数x（次）满足y=（k为常数），已知当使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留洗衣粉2克．
（1）求k的值．
（2）如果每次用水5升，要求漂洗后残留的洗衣粉量小于0.8克，求至少漂洗多少次？
（3）现将20升水等分成x次（x>1）漂洗，要使残留的洗衣粉量降到0.5克，求每次漂洗用水多少升？
47．（2021八下·北仑期末）定义：只有三边相等的四边形称为准菱形.
（1）如图1，图形
　 　（填序号）是准菱形；
（2）如图2，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，求证：四边形ABCD是准菱形；
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA，OC分别落在y轴，x轴上，反比例函数y＝ （k＞0）的图象分别与边AB，BC交于点D，E.已知AD＝DE，△ADE的面积为10，AD：DB＝5：3，若点F是坐标平面上一点，四边形ADEF是准菱形，当准菱形ADEF面积最大时，求点F的坐标.
48．（2023八下·晋城期末）山西某中学王老师为了选拔一名优秀的学生参加市内的数学比赛，对两名备赛选手进行了6次测验，两位同学的测验成绩如表所示：
（参考公式）
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 平均成绩 中位数 众数 方差
甲 83 85 90 80 85 87 85 a 85 b
乙 86 86 83 84 85 86 c 85.5 d
根据表中提供的数据，解答下列问题：
（1）a的值为　 　，d的值为　 　．
（2）求b和c的值，并直接指出哪位同学的成绩更稳定．
（3）根据以上信息，你认为王老师应该选哪位同学参加比赛，请说明理由．
49．（2021八下·合肥期末）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点．已知关于x的一元二次方程为．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）求衍生点M的轨迹的解析式；
（3）若无论k为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上，求b与c满足的关系．
50．（2022八下·海州期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点、，点、在第二象限内.
（1）点的坐标　 　；
（2）将正方形以每秒2个单位的速度沿轴向右平移秒，若存在某一时刻，使在第一象限内点、两点的对应点、正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时的值以及这个反比例函数的解析式；
（3）在（2）的情况下，问是否存在轴上的点和反比例函数图象上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由.
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【真题真练·50道综合题专练】浙教版数学八年级下册期末总复习
1．（2023八下·湛江期末）如图，点O是平行四边形ABCD对角线的交点，，分别过点、作，，连接OE．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）设AC＝12，BD＝16，求的长．
【答案】（1）解：∵四边形为平行四边形，，
∴平行四边形为菱形，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为矩形．
（2）解：∵，，
∴，，
在中，，
由（1）知四边形为矩形，
∴．
【解析】【分析】（1）由题意可得平行四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，然后根据矩形的判定定理进行证明；
（2）根据平行四边形的性质可得OC=AC=6，OD=BD=8，由勾股定理可得CD的值，根据矩形的性质可得OE=CD，据此解答.
2．（2023八下·岑溪期末）我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球2021年的单价是200元，今年的单价为162元．
（1）求2021年到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；
（2）购买期间发现该品牌足球在A、B两个体育用品店有不同的促销方案，A店买十送一，B店全场九折，通过计算说明到哪个店购买足球更优惠．
【答案】（1）设2021年到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x
根据题意得：200（1-x）2＝162
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）
答：2021年到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%.
（2）A店买十送一，A店实际需要购买的足球个数为91个
在A店购买需要的费用为162×91＝14742（元）
在B店购买需要的费用为162×100×＝14580（元）
∵14742元＞14580元，
∴去B店购买足球更优惠．
答：去B店购买足球更优惠.
【解析】【分析】（1）设2021年到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据足球2021年的单价×（1-降低的百分率）2= 今年的单价 ，列出方程并解之即可；
（2）根据促销方案，分别计算出A、B两店的费用，再比较即可.
3．（2021八下·长兴期末）一次函数y=2x+2与反比例函数y= （k≠0）的图象都经过点A（1，m），y=2x+2的图象与x轴交于点B。
（1）求点B的坐标及反比例函数的表达式；
（2）点C（0，-2），若四边形ABCD是平行四边形，直接写出点D的坐标，并判断D点是否在此反比例函数的图象上。
【答案】（1）解：在 中令y=0，则x=-1，
∴点B的坐标是（ ，0），
∵点A在直线 上，
∴点A的坐标是（1，4），
∵点A在（1，4）反比例函数 的图象上，
∴k=4，即反比例函数的表达式为 ．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点D的坐标是（2，2），
∴点D在反比例函数 的图象上．
【解析】【分析】（1）因为A点是一次函数和反比例函数的交点，所以将A点代入一次函数可以求出m的值，即m=4，再将A点代入反比例函数可以求出k值，由此设一次函数y=0时，可以求出B点的横坐标.
（2）因为四边形ABCD是平行四边形，知道点A，B，C三点，可以知道点D的坐标为（2，2），将点D横坐标代入反比函数图象上，可知点D在反比例函数上.
4．（2024八下·芙蓉期末）武汉某文化公司向市场投放型和型商品共件进行试销，型商品成本价元/件，型商品成本价元/件，要求两种商品的总成本价不超过元，已知型商品的售价为元/件，型商品的售价为元/件，全部售出且获得的利润不低于元．设该公司投放型商品件，销售这批商品的利润为元．
（1）求与之间的函数解析式，并求出的取值范围；
（2）该公司决定在试销活动中每售出一件型商品，就从一件型商品的利润中捐献慈善资金元，当该公司售完这件商品并捐献资金后获得的最大收益为元时，求的值．
（3）公司发现，将这两款商品成套以的价格销售时可以卖出套。公司决定降价成套出售，经过市场调查发现：销售单价每降价元，可多卖出套.当销售单价为多少元时利润可达到元且尽可能让利于顾客？
【答案】（1）解：根据题意得，，
∵两种商品的总成本价不超过元，全部售出且获得的利润不低于元，
∴，
解得，
∴与之间的函数解析式为，的取值范围是；
（2）解：根据题意可知一共捐出元，∴，
当时，的最大值小于，不符合最大收益为元，
∴.这种情况不存在；
当时，可知时，取最大值，
∴，
解得，
∴的值为；
（3）解：设销售单价为元时，利润可达到元，由题意得，，
整理得，，
解得，，
∵尽可能让利于顾客，
∴，
答：当销售单价为元时利润可达到元且尽可能让利于顾客．
【解析】【分析】（） 设该公司投放型商品件， 则投放B型商品件，则总利润等于A、B两种商品的利润和，再根据不等关系“两种商品的总成本价不超过元，全部售出且获得的利润不低于元”列不等式组并求解即可得到的范围；
（）由于售出一件A型商品需要捐献a元，则售出x件需捐出ax 元，即，因为当时，y总小于10000元，不符合要求；因此，此时y随x的增大而增大，即当x＝120时，y有最大值19600，解关于a的一元一次方程即可；
（）设销售单价为元时，则降价元，此时销售客为，每套利润为元，则由总利润可达到元列出一元二次方程并求解，由于要让利于民，因此取较小的解即可．
（1）解：根据题意得，，
∵两种商品的总成本价不超过元，全部售出且获得的利润不低于元，
∴，
解得，
∴与之间的函数解析式为，的取值范围是；
（2）解：根据题意可知一共捐出元，
∴，
当时，的最大值小于，不符合最大收益为元，
∴.这种情况不存在；
当时，可知时，取最大值，
∴，
解得，
∴的值为；
（3）解：设销售单价为元时，利润可达到元，
由题意得，，
整理得，，
解得，，
∵尽可能让利于顾客，
∴，
答：当销售单价为元时利润可达到元且尽可能让利于顾客．
5．（2021八下·新昌期末）如图，在直角坐标系中，点和点是一次函数和反比例函数图象的交点.
（1）求反比例函数的表达式和点的坐标.
（2）利用图象，直接写出当时的取值范围.
（3）连结并延长交双曲线于点，连结，求的面积.
【答案】（1）解：将点代入一次函数，得，
∴点A的坐标为
将点代入反比例函数，得，
∴反比例函数的表达式为.
解得，.∴点的坐标为.
（2）解：或.
（3）解：法一：如图1，构造矩形.
.
法二：如图2，过点作轴，与直线相交于点.
由反比例函数的对称性点的坐标为.
当时，，
∴点D的坐标为，
∴.
∴.
法三：由题意可知，，，
所以是直角三角形，且，
∴.
【解析】【解答】解：（2）不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时，x的取值范围，由图象可得或.
【分析】（1）由题意把点A的坐标分别代入一次函数和反比例函数的解析式可求得a和m的值，即可得反比例函数的解析式；然后将一次函数的解析式和反比例函数的解析式联立解方程组可求得点B的坐标；
（2）由不等式可知：直线的图象高于双曲线的图象，结合图形可得符合题意得x的范围；
（3）法（一）：将三角形ABC放在矩形中，用矩形的面积减去外边三个直角三角形的面积即可求解；
法（二）： 过点C作CD⊥x轴，与直线AB相交于点D，根据反比例函数的图象是中心对称图形可得点C的坐标，由CD⊥x轴可知这两点的横坐标相等，由点D在直线上可得点D的纵坐标，则CD=yC-yD，根据S三角形ABC=S三角形ADC+S三角形BDC可求解.
6．（2023八下·东莞期末）如图，在正方形中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且．
（1）求证：；
（2）四边形的形状是　 　；
（3）若，请借助图中几何图形的面积关系来证明．
【答案】（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，．
又∵，
∴．
∴
（2）正方形
（3）证明：∵，
∴大正方形的面积为：；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，
则其面积为：，
∴，
整理得．
【解析】【解答】（2）∵，
∴，EH=EF，
∵，
∴，
∴.
同理，，
∴四边形HEGF为正方形.
【分析】（1）利用正方形的性质求出和，结合已知条件求出，根据边角边即可证明两个三角形全等；
（2）结合第一问的三角形全等推出，EH=EF，利用等量转换即可求出，采用同样的方法证明四边形的其余三个角也是90度，格局邻边相等的矩形是正方形就可以证明四边形HEGF为正方形；
（3）根据已知条件先求出大正方形的面积，利用面积割补法用参数表示出大面积，将二者进行整理即可求证.
7．（2021八下·福山期末）计算：
（1） ；
（2） ．
（3）用两种不同的方法解方程：x2+4x﹣5＝0．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式＝
；
（3）解：方法一：原方程变形为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴x1＝﹣5，x2＝1．
方法二：因式分解，得 ，
∴x+5＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣5，x2＝1．
【解析】【分析】（1）先利用完全平方公式、二次根式的性质化简，再计算即可；
（2）先利用二次根式的性质、平方差公式和分母有理化化简，再计算即可；
（3）利用公式法和配方法求解即可。
8．（2022八下·薛城期末）如图，点D是ABC内一点，点E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如果∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，，AD＝6，求四边形EFGH的周长．
【答案】（1）证明：∵点E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点．∴EH＝FG＝AD，BC，∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）解：∵∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，∴BC＝2CD＝4．由（1）得：四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，又∵AD＝6，∴四边形EFGH的周长＝AD+BC＝6+4＝10．
【解析】【分析】（1）利用中位线的性质可得EH＝FG＝AD，BC，再利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形的判定方法求解即可；
（2）先求出BC的长，再利用四边形的周长公式及等量代换求出答案。
9．（2020八下·龙湖期末）某校在“爱护地球、绿化祖国”的创建活动中，组织学生开展了植树造林活动，为了解全校学生植树情况，学校随机抽查了100名学生的植树情况，将调查数据整理如下表：
植树数量(棵) 5 6 7 8 10
人数 28 25 10 15 22
（1）上述数据中，中位数是　 　棵，众数是　 　棵.
（2）若该校有1800名学生，请根据以上调查结果估计该校学生植树总数.
【答案】（1）6；5
（2）解： .
=7(棵)
∴1800×7=12600(棵).
答：估计该校学生植树12600棵
【解析】【解答】解：（1）（28+25+10+15+22）=100
100÷2=850
∴中位数为（6+6）÷2=6
众数为5
（2）（28×5+25×6+7×10+8×15+10×22）÷100=7（棵）
1800×7=12600（棵）
【分析】（1）根据中位数以及众数的含义求出数据即可；
（2）根据题意，求出100名学生平均每人植树的数量，再计算得到1800名学生的学生人数即可。
10．（2019八下·瑶海期末）如图，有长为48米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度25米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD．
（1）当AB的长是多少米时，围成长方形花圃ABCD的面积为180m2？
（2）能围成总面积为240m2的长方形花圃吗？说明理由．
【答案】（1）解：设AB的长是x米，则BC的长为（48-3x）米，根据题意列方程得，
x（48-3x）=180，
解得x1=6，x2=10，
当x=6时，48-3x=30＞25，不正确，舍去；
当x=10时，48-3x=18＜25，正确；
答：当AB的长是10米时，围成长方形花圃ABCD的面积为180m2
（2）解：不能，理由如下：
同（1）可得x（48-3x）=240，
整理得x2-16x+80=0，
△=（-16）2-4×80=-64＜0，
所以此方程无解，
即不能围成总面积为240m2的长方形花圃．
【解析】【分析】（1）设出AB的长是x米，则BC的长为（48-3x）米，由长方形的面积计算公式列方程解答即可；（2）利用（1）的方法列出方程，利用判别式进行解答．
11．（2023八下·衡山期末）某校举行了“珍爱生命，预防溺水”主题知识竞赛活动，八（1）、八（2）班各选取五名选手参赛.两班参赛选手成绩依次如下：（单位：分）
八（1）班：8，8，7，8，9
八（2）班：5，9，7，，9
学校根据两班的成绩绘制了如下不完整的统计表：
班级 平均数 众数 中位数
八（1） 8 b c
八（2） a 9 9
根据以上信息，请解答下面的问题：
（1）填空：　 　，　 　，　 　.
（2）已知八（1）班比赛成绩的方差是，请你计算八（2）班比赛成绩的方差，并从方差的角度分析哪个班级成绩更稳定.
【答案】（1）8；8；8
（2）解：由（1）可知，八（2）班的平均数是8，
方差为：
=
=
=，
八（1）班成绩更稳定．
【解析】【解答】解：(1)a==8，故a=8；
8出现的次数最多，
众数为：8，故b=8；
由中位数的定义将 8，8，7，8，9 按顺序排列得7、8、8、8、9，可得c=8.
【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义即可得a、b、c的值；
（2）根据方差定义即可求解，由方差的性质即可得出八（1）班成绩更稳定.
12．（2023八下·忻州期末）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：
样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
根部横截面积x 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06
材积量y 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40
（1）估计该林区一颗这种树木平均根部横截面积与平均材积量．
（2）现测量了该林区部分这种树木的根部横截面积，经过测算得到这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据估计该林区这种树木的总材积量．
【答案】（1）解：一颗这种树木平均根部横截面积．
一颗这种树木平均材积量．
答：该林区一颗这种树木平均根部横截面积为，平均材积量为
（2）解：设树木的材积量与其根部横截面积的函数解析式为．
因为的图象经过点，得
．
解得
．
所以，树木的材积量与其根部横截面积的函数解析式为．
当时，．
答：该林区这种树木的总材积量为．
【解析】【分析】（1）分别计算两组数据的平均数即可；
（2）利用待定系数法求出树木的材积量y与其根部横截面积x的函数解析式，然后再根据关系式求出当自变量x=2000时的函数值即可。
13．（2021八下·顺义期末）已知：如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点，作射线BE，过点D作DF⊥BE于点F，交BC延长线于点G，连接FC．
（1）依据题意补全图形；
（2）求证：∠FBC＝∠CDG；
（3）用等式表示线段DF，BF，CF之间的数量关系并加以证明．
【答案】（1）解：如图，
．
（2）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：．
证明：过点C作，交于点H，
∴， ．
∴．
又∵，．
∴，
∴，．
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）先利用，，再结合可得；
（3）过点C作，交于点H，先证明，可得是等腰直角三角形，即可得到，最后利用线段的和差及等量代换可得。
14．（2024八下·上虞期末）解答下列各题：
（1）用配方法解方程：
（2）如图是 6×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C，P各点都在格点上 ．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求在同一答题图上画图．
①找出格点D，连结，使四边形是平行四边形．
②过点P作一条直线，使直线平分平行四边形的周长和面积．
【答案】（1）解：，，
，
，
∴；
（2）解：①取格点D，使得平行且等于即可得到平行四边形；
②连接交于点O，过点P、O作直线l交于点E，直线I平分平行四边形的周长和面积．
【解析】【分析】（1）运用配方法解此方程即可；
（2）①利用网格的特点找到点D使得平行且等于即可；
②找到平行四边形ABCD的对角线的交点O，作过点P和O的直线I，即为满足条件的直线l．
（1）解：，
，
，
，
∴；
（2）解：①取格点D，使得平行且等于即可得到平行四边形；
②连接交于点O，过点P、O作直线l交于点E，直线I平分平行四边形的周长和面积．
15．（2024八下·拱墅期末）在直角坐标系中，设函数，已知当x＝1时，y1＝4，函数y1，y2的图象交于点A和点B，点A到两条坐标轴的距离相等．
（1）求函数y1的表达式．
（2）求点A的坐标及k2的值．
（3）若点A在第一象限内，
①当x＝1时，比较y1与y2的大小；
②直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．
【答案】（1）解：∵当x＝1时，y1＝4，
∴4＝k1＋6，
解得：k1＝ 2，
∴y1＝ 2x＋6，
故答案为：y1＝ 2x＋6.
（2）解；一次函数y1＝ 2x＋6，过第一、二、四象限，
设点A（m，m）在第一象限，
m＝ 2m＋6，
解得：m＝2，
∴A（2，2），
∵A（2，2）在反比例函数图象上，
∴k2＝4，
设点A（ m，m）在第二、四象限，
m＝ 2×（ m）＋6，
解得m＝ 6，
∴A（6， 6），
∵A（6， 6）在反比例函数图象上
∴k2＝ 36．
综上分析，点A坐标为A（2，2）或（6， 6），k2为4或 36．
（3）解；①当点A在第一象限，反比例函数解析式为y＝，一次函数解析式为y＝ 2x＋6，
当x＝1时，y1＝4，y2＝4，
∴y1＝y2．
②联立方程组，
解得：或，
∴A（2，2），B（1，4）．
当y1＞y2时，自变量x的取值范围1＜x＜2或x＜0．
【解析】【分析】（1）待定系数法求出y1解析式即可；
（2）分类讨论点A所在象限，分别求出对应的点A坐标及k2值即可；
（3）①将x＝1代入两个函数解析式即可比较出y1＝y2；
②先求出另一个交点B的坐标，据此写出不等式解集即可．
16．（2021八下·丽水期末）如图，已知直线OA与反比例函数y= (x>0)，y= (x>0)的图象分别交于点A，B，点A的坐标为(1，4)，且点B是线段OA的中点。
（1）求k1，k2的值；
（2）已知反比例函数y= 的图象上C点的横坐标为2，连结OC并延长交反比例函数y= 的图象于点D，连结AD，BC，试判断AD与BC的数量关系和位置关系，请说明理由。
【答案】（1）解：把A(1，4)代入y= ， k1=4．
∵点B是线段OA的中点∴B( ，2)
把点B（，2）代入y=，得k2=1.
（2）解：把x=2代入y= ，得y= ；∴C(2， )．
则直线OC的解析式为y= x
可得： x，∴x2=16，x=±4
∵x>0， ．点D的横坐标是4． ：．D(4， 1)．
：C(2， )，D(4，1)，∴C是线段OD的中点
又∵B是线段OA的中点，
∴BC是△AOD的中位线，
∴AD∥BC，AD=2BC
【解析】【分析】（1）将A（1，4）代入y= 中可求得k1的值，根据线段中点的概念可得点B的坐标，然后将其代入y= 中可求得k2的值；
（2） 将x=2代入y=中可得y=，据此可得点C的坐标，进而求出直线OC的解析式，联立y=可求得点D的坐标，推出C是线段OD的中点，最后根据B是线段OA的中点结合三角形中位线的性质进行解答即可.
17．（2021八下·萧山期末）设函数 .
（1）若函数 的图象经过点 ，求 的函数表达式.
（2）若函数 与 的图象关于 轴对称，求 的函数表达式.
（3）当 ，函数 的最大值为 ，函数 的最小值为 ，求 与 的值.
【答案】（1）解： 函数 的图象经过点 ，
，
，
，
， ；
（2）解： 函数 与 的图象关于 轴对称，
，
，
， .
（3）解：当 时，函数 ， 的图象在第一、三象限，
根据题意，当 时，函数 有最大值 ，当 时，函数 有最小值 ，
，
解得 ；
当 时，函数 ， 的图象在第二、四象限，
根据题意，当 时，函数 有最大值 ，当 时，函数 有最小值 ，
，
解得 ；
当 时，函数 图象在二、四象限，函数 的图象在第一、三象限，
根据题意，当 时，函数 有最大值 ，当 时，函数 有最小值 ，
，不合题意，
故 与 的值为6、6或 、 .
【解析】【分析】（1）将点（2，1）代入y1中可得k的值，进而得到函数解析式；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征可得： ，据此可得k的值，进而得到函数解析式；
（3）当k>0时，根据反比例函数图象的性质可得：当x=1时，函数y1有最大值m；当x=4时，函数 y2最小值m-4，据此可得k、m的值；同理可求出k<-2、-218．（2023八下·通许期末）如图①，在正方形中，是对角线的中点，是线段上（不与点重合）的一个动点，过点作交边于点．
（1）求证：．
（2）过点作于点，如图②，若正方形的边长为2，则点在运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，请写出这个不变的值；若变化，请说明理由．
【答案】（1）解：过P作，交AB于M，交CD于点N
∵
∴
∴
∵四边形是正方形
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴可证四边形是矩形
∴
∴
∴．
（2）解：点P运动的过程中，的长度不变.
连接OB，
∵O为正方形ABCD对角线AC的中点，
∴OB⊥AC，
∴∠AOB=90°，
∴∠AOB=∠EFP=90°，
∴∠OBP+∠BPO=90°.
∵∠BPE=90°，
∴∠BPO+∠OPE=90°，
∴∠OBP=∠OPE.
由（1）可得PB=PE，
∴△OBP≌△FPE（AAS），
∴PF=OB.
∵AB=2，△ABO为等腰直角三角形，
∴OB==，
∴PF为定值，.
【解析】【分析】（1）过P作MN∥AD，交AB于M，交CD于点N，由正方形以及平行线的性质可得∠BMP=∠BAD=90°，∠PNE=∠D=90°，由同角的余角相等可得∠EPN=∠MBP，易得PN=CN，四边形MBCN为矩形，则BM=CN，利用ASA证明△BMP≌△PNE，据此可得结论；
（2）连接OB，根据正方形的性质可得OB⊥AC，由同角的余角相等可得∠OBP=∠OPE，由（1）可得PB=PE，利用AAS证明△OBP≌△FPE，得到PF=OB，易得△ABO为等腰直角三角形，AB=2，据此求解.
19．（2023八下·姜堰期末）已知代数式．
（1）当为何值时，代数式比的值大2；
（2）求证：对于任意的值，代数式的值恒为正数．
【答案】（1）解：由题意得：A-B=2，
即 ，
整理得：x2+4x+3=0，
（x+1）（x+3）=0，
解得：；
（2）证明：A-B=x2+4x+5=（x+2）2+1，
∵（x+2）2+≥0，
∴（x+2）2+1＞1，
∴ 对于任意的值，代数式的值恒为正数．
【解析】【分析】（1）由题意得：A-B=2，据此建立方程并解之即可；
（2）由题意得：A-B=（x+2）2+1，根据偶次幂的非负性即可判断.
20．（2021八下·濉溪期末）某工厂计划从今年1月份起，每月生产收入为22万元，但生产过程中会引起环境污染，将会受到环保部门的处罚，每月罚款2万元．如果投资111万元治理污染，从1月份开始，每月不但不受处罚，还可降低生产成本，使1月至3月生产收入以相同的百分率逐月增长，3月份以后，每月生产收入稳定在3月份的水平．经测算，投资治污后，1月份生产收入为25万元，3月份生产收入为36万元．
（1）求投资治污后，2月、3月每月生产收入增长的百分率；
（2）如果把利润看作是每月生产收入的总和减去治理污染的投资或环保部门的罚款，试问治理污染多少个月后，所投资金开始见成效(即治污后所获得利润不少于不治污情况下所获利润)
【答案】（1）解：设2月、3月每月生产收入增长的百分率为x，根据题意得25(1＋x)2＝36，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．
答：投资治污后，2月、3月每月生产收入增长的百分率为20%.
（2）解：设治理污染y个月后，所投资金开始见成效，根据题意得25＋25(1＋20%)＋36＋36(y－3)－111≥(22－2)y，解得y≥8.
答：治理污染8个月后，所投资金开始见成效．
【解析】【分析】（1）设2月、3月每月生产收入增长的百分率为x，根据题意列出方程25(1＋x)2＝36求解即可；
（2）根据题意列出不等式25＋25(1＋20%)＋36＋36(y－3)－111≥(22－2)y求解即可。
21．（2021八下·濉溪期末）阅读并完成下面问题：
①；
②；
③； …
（1）填空：的倒数为　 　．（n为正整数）的值为　 　．
（2）计算：．
【答案】（1）；
（2）解：
．
【解析】【解答】解：（1）的倒数为；
（n为正整数）的值为；
故答案为：；；
【分析】（1）利用分母有理化化简即可；
（2）先利用分母有理化化简，再计算即可。
22．（2022八下·薛城期末）如图，平行四边形ABCD中，AE平分交BC于E，DF平分交BC于F．
（1）求证：；
（2）若E为BC的三等分点（靠近C点），，，求直线AB与CD之间的距离．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，∴∠DAE=∠BEA，∠ADF=∠CFD，∵AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，∴∠DAE=∠BAE，∠CDF=∠ADF，∴∠BAE=∠BEA，∠CDF=∠CFD，∴AB=BE，CD=CF，又AB=CD，∴BE=CF，∴BE－EF=CF－EF，∴BF=EC；
（2）解：如图，过点B作BG⊥AE于G，过点C作 CH⊥DF于H，
则∠BGE=∠FHC=90°，又∵AB=BE，FC=CD，∴GE=AE=，FH=DF=1，．∵AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，∴∠EAD=∠BAD，∠FDA=∠ADC，∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，∴∠EAD+∠FDA=90°，∴AE⊥DF，又CH⊥DF，∴CH∥AE，∴∠BEG=∠FCH，又 ∠BGE=∠FHC，BE=FC，∴ΔBGE≌ΔFHC （AAS），∴BG=FH=1，∴在Rt△BGE中，，∵E为BC的三等分点，∴S平行四边形ABCD=3S△ABE=3×××1=，设直线AB与CD的距离为h，∵AB=BE=2，AB∥CD，∴2h=，解得：h= ，即直线AB与CD的距离为．
【解析】【分析】（1）利用平行四边形性质和角平分线的定义可得AB=DC=BE=CF，再利用线段的和差可得BE－EF=CF－EF，即BF=EC； （2）过点B作BG⊥AE于G，过点C作 CH⊥DF于H，先求出S平行四边形ABCD=3S△ABE=3×××1=，设直线AB与CD的距离为h，可得2h=，求出h的值即可。
23．（2022八下·阿荣旗期末）某商场统计了每个营业员在某月的销售额，绘制了如下统计图．
解答下列问题：
（1）设营业员的月销售额为x（单位：万元）．商场规定：当时为不称职，当时为基本称职，当时为称职，当时为优秀．试求出不称职、基本称职、称职、优秀四个层次营业员人数所占百分比，并画出相应的扇形图．
（2）根据（1）中规定，所有称职和优秀的营业员月销售额的中位数、众数和平均数分别是多少？
（3）为了调动营业员的积极性，决定制定一个月销售额奖励标准，凡达到或超过这个标准的营业员将受到奖励．如果要使得称职和优秀的所有营业员的半数左右能获奖，奖励标准应定为多少元？并简述其理由．
【答案】（1）解：一共有营业员： （人），
优秀： ，
称职：，
基本称职：，
不称职：，
如图所示；
（2）解：所有称职和优秀的营业员的人数为： 人，则位于第11位的月销售额是22万元，所以中位数是22，
月销售额是20万元的有5人，最多，所以众数是20，
平均数是；
（3）解：奖励标准应定为22万元
理由：要使称职和优秀的员工中有半数左右能获奖，应该以这些员工的销售额的中位数为标准．
【解析】【分析】（1）根据统计图中的数据计算求解即可；
（2）根据中位数，众数和平均数的定义计算求解即可；
（3）根据中位数作答即可。
24．（2022八下·安庆期末）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）每件服装降价多少元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元．
（2）商家能达到平均每天赢利1800元吗？请说明你的理由．
【答案】（1）解：设每件服装降价元，则销售量为件，
根据题意可得：，
化简得：，
解得：，，
又因为需要让利于顾客，所以，
答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元．
（2）解：设每件服装降价元，
根据题意可得：，
化简得：，
∵，
∴此方程无解．
因此不可能每天盈利1800元．
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再解方程即可；
（2）先求出 ， 再解方程即可。
25．（2023八下·丽水期末）如图，某学校有一块长，宽的长方形空地，计划在其中修建三块相同的长方形绿地，三块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.
（1）若设计人行通道的宽度为，则三块长方形绿地的面积共多少平方米
（2）若三块长方形绿地的面积共，求人行通道的宽度．
【答案】（1）解：
答：三块的长方形绿地的面积共648平方米
（2）解：设人行通道的宽度为x米，
由题意，得，
化简，得，
解得，（不符合题意，舍去）.
答：人行通道的宽度为
【解析】【分析】（1）利用平移的性质，可求出三块长方形绿地的面积和.
（2）设人行通道的宽度为x米，可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值即可.
26．（2023八下·长春期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴相交于点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点与点关于轴对称，求的面积．
【答案】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵点在反比例函数图象上，
∴，则点坐标为，
将两点的坐标代入得：
，解得
∴一次函数的解析式为：
（2）解：∵一次函数交轴于点，
∴点坐标为，
∵点与点关于轴对称，
∴点坐标为，，
将分为与两个部分，
∴，
，
，
∴
【解析】【分析】（1）将经过函数图象上的点的坐标代入函数解析式即可求出答案。
（2）根据对称点的坐标特征可得出点D坐标，将分为与两个部分 ，分别求面积相加即可求出答案。
27．（2023八下·青浦期末）如图，在三角形中，，分别是与它的邻补角的平分线，于点E．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接交AC于点O，若，求证：四边形是正方形．
【答案】（1）证明：∵
∴是等腰三角形
∵是的平分线
∴，
∵是的平分线
∴
∴
∵
∴四边形是矩形；
（2）证明：如图所示，
∵
∴
∵四边形是矩形
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵四边形是矩形
∴四边形是正方形．
【解析】【分析】 (1)、证明是等腰三角形，再证明，，有三个角是的四边形是矩形得出 四边形是矩形；
(2)、 根据 四边形是矩形的性质求出 ，证明，可得 四边形是正方形．
28．（2023八下·沈丘期末）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表：
镜片焦距x（米） 1.00 0.50 0.25 0.20 0.10
近视眼镜的度数y（度） 100 200 400 500 1000
（1）请写出适当的函数解析式描述近视眼镜的度数y与镜片焦距x的关系；
（2）验光师测得小明同学的近视度数是250度，给小明配的眼镜的焦距应该是多少米？
【答案】（1）解：根据表格数据可得近视眼镜的度数y与镜片的焦距x成反比例，
设y关于x的函数关系式是，
∵y＝400，x＝0.25，
∴，
解得：k＝100，
∴y关于x的函数关系式是．
（2）解：当y=200时，
解得
∴给小明配的眼镜的焦距应该是0.5米．
【解析】【分析】（1）根据表中数据可知近视眼镜的度数y与镜片的焦距x成反比例，则设y关于x的函数关系式是，代入一个表中的数据，求得k，便可得到 视眼镜的度数y与镜片焦距x的关系 ；
（2）根据（1）中所得的函数关系式，令y=200，得到焦距x.
29．（2023八下·恩施期末）党的二十大报告提出：传承中华优秀传统文化，满足人民日益增长的精神文化需求，某校积极开展活动，从诗词歌赋、戏剧戏曲、国宝非遗、饮食文化、名人书法五个方面让传统文化“活”起来，在某次竞赛活动中，学校随机抽取部分学生进行知识竞赛，竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：A：，B：，C：，D：，E：，并绘制出如下的统计图1和图2．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图1中A组所在扇形的圆心角度数为 ▲ °，并将条形统计图补充完整．
（2）若“”这一组的数据为：90，96，92，95，93，96，96，95，97，100．求这组数据的众数和中位数．
（3）若此次竞赛进入初赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按20%，30%，50%的比例确定最后得分，得分达到90分及以上可进入决赛，小敏这三轮的成绩分别为86，89，93，问小敏能参加决赛吗？请说明你的理由．
【答案】（1）解：54；
参加此次竞赛总人数：（人），
A组所占百分比：，
A组所在扇形的圆心角度数，
B组人数：（人），
条形统计图如图所示：
（2）解：排序为90，92，93，95，95，96，96，96，97，100，∴中位数为：，
∵96出现次数最多，∴众数为96，
综上：众数为96，中位数为95.5；
（3）解：小敏最后得分：，
∴小敏能参加决赛．
【解析】【分析】（1）利用C的人数除以所占的比例可得总人数，利用A的人数除以总人数，然后乘以360°即可得到所占扇形圆心角的度数，根据总人数求出B所占的比例可得对应的人数，据此可补全条形统计图；
（2）将数据按照由小到大的顺序进行排列，求出中间两个数据的平均数即为中位数，找出出现次数最多的数据即为众数；
（3）利用各轮的成绩×所占的比例=最终成绩求出最终成绩，进而进行判断.
30．（2022八下·平谷期末）已知：正方形ABCD，过点D作直线DE，点C关于直线DE的对称点为，连接，作直线交直线DE于点P．
（1）补全图形；
（2）判断的形状并证明；
（3）猜想线段PA，PC，PD的数量关系并证明．
【答案】（1）解：补全图形，如图所示：
（2）解：DAC是等腰三角形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴，∵点C关于直线的对称点为，∴，∴，∴ DA是等腰三角形；
（3）解：，理由如下：连接CP，延长PA至点M，使得AM=PC，连接DM
由对称性可得，∠DCP=∠DP由（2）可得，∠1=∠2∵∠1+∠3=180，
∠2+∠DP= 180°，∴∠3=∠DP，∴∠3=∠DCP，∵四边形ABCD是矩形，
∴DA= DC，∠ADC= 90°，在 DMA和 DPC中， ，
∴ DMA≌ DPC（SAS），∴∠4=∠5， DM= DP∵∠ADP+∠5= 90°，
∴∠4+∠ADP= 90°，∴ MDP是等腰直角三角形；
∴ =2DP2，∴PM=PD，∴ PA+ PC=PD．
【解析】【分析】（1）根据要求作出图象即可；
（2）利用等腰三角形的判定方法判断即可；
（3）先证明 MDP是等腰直角三角形，再利用勾股定理和等量代换可得 =2DP2，即可得到PA+ PC=PD。
31．（2022八下·门头沟期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取正整数时，求此时方程的根．
【答案】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，解得：，的取值范围为；
（2）解：为正整数，，原方程为，即，解得：，，当取正整数时，此时方程的根为和．
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
（2）将m的值代入，再求解即可。
32．（2022八下·黄山期末）某校要从小王和小李两名同学中挑选一人参加全市知识竞赛，在最近的五次选拔测试中他俩的成绩（单位：分）如表：
姓名 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
小王 60 75 100 90 75
小李 70 85 100 80 80
（1）完成表格：
姓名 平均成绩 中位数 众数 方差
小王 80 75 75 190
小李 　 　 　 　
（2）在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是谁？若将80分以上（含80分）的成绩视为优秀，则小王、小李在这五次测试中的优秀率各是多少？
（3）历届比赛表明，成绩达到80分以上（含80分）就很可能获奖，成绩达到90分以上（含90分）就很可能获得一等奖，那么你认为选谁参加比赛比较合适？请说明理由．
【答案】（1）解：小李的成绩：70、80、80、85、100，∴平均成绩为：（70+80+80+85+100）÷5=83，中位数是80，众数是80，方差为=96；表格如下：
姓名 平均成绩 中位数 众数 方差
小王 80 75 75 190
小李 83 80 80 96
（2）解：因为小王的方差是190，小李的方差是96，而96＜190，所以小李成绩较稳定；小王的优秀率为2÷5=0.4=40%，小李的优秀率为4÷5=0.8=80%；小王、小李在这五次测试中的优秀率各是40%，80%；
（3）解：方案一：选择小李参加，理由：因为小李的成绩较小王稳定，且优秀率比小王的高，因此选小李参加比赛获奖机会大；方案二：选择小王参加，理由：因为小王90分以上有2次，而小李只有一次，因此小王获得一等奖的机会大．
【解析】【分析】（1）利用众数、平均数、方差和中位数的定义及计算方法逐项判断即可；
（2）利用方差的性质：方差越大，数据波动越大求解；再利用优秀率的计算方法求解即可；
（3）利用优秀率的定义及计算方法求解即可。
33．（2024八下·新会期末）若一个含根号的式子可以写成的平方其中，，，都是整数，为正整数，即，则称为完美根式．是的完美平方根例如：因为，所以是的完美平方根．
（1）已知是的完美平方根，求的值；
（2）若是的完美平方根，用含，的式子表示，．
（3）已知为完美根式，直接写出它的一个完美平方根．
【答案】（1）解：是的完美平方根，
，
，
.
（2）解：是的完美平方根，
，
，
，.
（3）解：是完美根式，
，
，
，，
，或，，
，都是整数，
，，
的完美平方根是或．
【解析】【分析】(1)由完美平方根的定义可得，利用完全平方公式进行化简后，可得.
(2)由完美平方根的定义可得，利用完全平方公式进行展开，可得，.
(3)由完美平方根的定义可得，利用完全平方公式进行展开，进而可得，，故，或，，解得，，即可求得的完美平方根是或．
34．（2023八下·吉首期末）（1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
.
【解析】【分析】（1）运用二次根式、零指数幂、负整数指数幂进行运算，进而即可求解；
（2）根据二次根式的混合运算结合题意即可求解。
35．（2023八下·荣成期末）在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升．
（1）某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率；
（2）某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价．
【答案】（1）解：由题意可把2020年新能源汽车的销售总量看作单位“1”，设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，则有：
，
解得：（不符合题意，舍去），
答：该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为．
（2）解：设每辆汽车的售价下调m万元，由题意得：
，
整理得：
解得：，
∵尽量让利于顾客，
∴；
25-4=21（万）
答：下调后每辆汽车的售价为21万元．
【解析】【分析】（1）设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，然后根据题意可得方程：，进而问题可求解；
（2）设每辆汽车的售价下调m万元，则销售量为辆，根据题意可得等量关系：“单件的销售价×销售量=96”，据此可得方程，整理进而求解即可．
36．（2022八下·抚宁期末）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接．
（1）求证：；
（2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由）
【答案】（1）证明：∵，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是菱形，
理由是：∵为中点，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
为中点，
，
∴四边形是菱形；
（3）当时，四边形是正方形.
【解析】【解答】
解：（3）当时，四边形是正方形
理由：∵，，
，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
；
∴四边形是正方形．
故答案为：当时，四边形是正方形.
【分析】（1）根据角之间的关系可得，根据直线平行判定定理可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（3）根据三角形内角和定理可得，再根据菱形性质可得，则，再根据正方形判定定理即可求出答案.
（1）证明：∵，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是菱形，
理由是：∵为中点，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
为中点，
，
∴四边形是菱形；
（3）解：当时，四边形是正方形，
理由：∵，，
，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
∴四边形是正方形．
37．（2024八下·三门期末）如图1，是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即B，D之间的距离）．在手柄转动过程中，B，D之间的距离y（单位：）随的长度x（单位：）的变化规律如图2所示．
（1）指出图中点P坐标的实际意义；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围：
（3）直接写出B，D之间距离的变化范围．
【答案】（1）解：由题意得，点P的坐标的实际意义为当的长度为时，千斤顶的高度为；
（2）解：如图所示，连接交于O，当时，，
∵四边形是菱形，
∴，AC⊥BD，
在中，由勾股定理得；
由于菱形的边长不发生变化，
∴是定值，
当时，则，
在中，由勾股定理得，
∴，即；
（3）大于等于，小于等于．
【解析】【解答】（3）解：在中，当时，；当时，；
∴B，D之间距离的变化范围为大于等于，小于等于．
【分析】（1）结合x代表的是AC的长度，y代表的是BD的长，即可得出答案；
（2）连接BD交AC于O，当AC=18cm时，BD=24cm，由菱形的对角线互相平分得OA=AC=9cm，OB=BD=12cm，则由勾股定理算出AB=15cm，由于菱形的边长不变即AB=15cm是一个定值，当AC=xcm时，则，由勾股定理得表示出OB，然后根据y=2OB得出y关于x的函数解析式；
（3）根据（2）所求分别求出当和时的函数值即可得到答案．
（1）解：由题意得，点P的坐标的实际意义为当的长度为时，千斤顶的高度为；
（2）解：如图所示，连接交于O，
当时，，
∵四边形是菱形，
∴，
在中，由勾股定理得；
由于菱形的边长不发生变化，
∴是定值，
当时，则，
在中，由勾股定理得，
∴，即；
（3）解：在中，当时，；当时，；
∴B，D之间距离的变化范围为大于等于，小于等于．
38．（2024八下·新昌期末）如图1，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点处并将其吊起来，在点右侧的秤钩上挂一个物体，在点左侧的秤杆上有一个动点（最大距离为），在点处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数（单位：）与的长度（单位：）的五组对应值，已在平面直角坐标系中描点如图2．
（1）请在图2中画出与的函数图象，并判断它是什么函数．
（2）求关于的函数表达式．
（3）移动弹簧秤的位置，若秤杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值．
【答案】（1）解：如图：
它是反比例函数．
（2）解：设这个反比例函数的表达式为由图像可知，图像过，
∴，
∴．
（3）解：时，中随的增大而减小，
当的值最大时，最小．
即当时，

【解析】【分析】（1）用平滑的曲线连接各点即可；
（2）利用待定系数法求反比例函数的解析式即可；
（3）利用反比例函数的增减性解答即可．
（1）解：如图：
它是反比例函数．
（2）设这个反比例函数的表达式为
由图像可知，图像过，
∴，
∴．
（3）时，中随的增大而减小，
当的值最大时，最小．
即当时，
39．（2024八下·海曙期末）如图， 是渔民骑坐 “木海马” 在滩涂上赶海， 这一工具大大提高了渔民赶海时的效率．已知人和 “木海马” 对滩涂的压力 （单位∶ ），“木海马” 底面面积 （单位：） 与人和木板对滩涂的压强 （单位∶ ）满足关系： ，若人和木板对滩涂的压力 合计为 ，
（1）用含 的代数式表示 ；
（2）当 “木海马” 底面面积为 时，人和木板对滩涂的压强是多少 ；
（3）若要人和木板对滩涂的压强不超过 ，则 “木海马” 底面面积至少需要多少 ．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：当时，，
答：人和木板对滩涂的压强是；
（3）解：∵，
∴当时，p随S的增大而减小，
∴当时，即，
∴，
答：“木海马”底面面积至少需要．
【解析】【分析】（1）根据F=PS可得，然后将F=700代入得出结论；
（2）把s=1.4代入（1）中解析式即计算可；
（3）根据反比例函数的增减性得出结论.
40．（2023八下·榆树期末）某校为了改善学生伙食，准备午餐为学生提供鸡腿．现有A、B两家副食品厂可以提供规格为的鸡腿，而且它们的价格相同，品质也相近．质检人员分别从两家随机各抽取10个，记录它们的质量（单位：g）如下：
A加工厂 74 74 74 75 73 77 78 72 76 77
B加工厂 78 74 77 73 75 75 74 74 75 75
并对以上数据进行整理如下：
平均数 中位数 众数 方差
A加工厂 75 74.5 b 3.4
B加工厂 75 a 75 2
根据以上分析，回答下列问题：
（1）统计表中a=　 　，b=　 　；
（2）根据以上信息估计B加工厂加工的100个鸡腿中，质量为的鸡腿有多少个？
（3）如果考虑鸡腿的规格，学校应该选购哪家加工厂的鸡腿？说明理由．
【答案】（1）75；74
（2）解：估计B加工厂质量为的鸡腿有（个）；
（3）解：应该选择B加工厂的鸡腿，由以上分析可知：B加工厂的鸡腿与A加工厂的鸡腿的质量的平均数都是，但B加工厂鸡腿的中位数，众数都是，而且比A加工厂的鸡腿的中位数，众数大，说明B加工厂的鸡腿质量多集中在附近，而且B加工厂鸡腿的方差还比A加工厂的鸡腿的方差小，说明B加工厂鸡腿的质量波动小，所以选择B加工厂．
【解析】【解答】解：（1）解：将B加工厂数据重新排列为73，74，74，74，75，75，75，75，77，78，∴中位数a＝，A加工厂数据74出现的次数最多，∴众数b＝74，故答案为：75，74；
【分析】（1）根据中位数和众数的定义计算求解即可；
（2）根据题意求出 （个）即可作答；
（3）根据中位数，众数和方差的定义计算求解即可。
41．（2020八下·无为期末）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：
．请你仿照小明的方法解决下列问题：
（1） ，则 　 　， 　 　；
（2）已知 是 的算术平方根，求 的值；
（3）当 时，化简 　 　．
【答案】（1）2；1
（2）解：∵ 是 的算术平方根，
∴ ，
∴ ；
（3）2
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴a＝2，b＝1；（3）∵ ，
∴ ，
，
，
，
．
【分析】（1）根据题目所给方法对 变形即可；（2）根据题意结合所给方法求出 ，然后对所求式子变形，整体代入计算即可；（3）根据题目所给方法，将 写成 的形式，然后根据二次根式的性质化简即可．
42．（2017八下·丰台期末）已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）选择一个m的值，并求出此时方程的根．
【答案】（1）证明：∵Δ= = = ，
无论m取何值时， ，
∴ >0，即△>0.
∴此方程有两个不相等的实数根.
（2）解：当 时，原方程为 ，∴
【解析】【分析】（1）根的判别式△>0表示有两个不同的实根；△<0表示没有实根；△=0表示有两个相等的实根；（2）代入m之后求解一元二次方程。
43．（2017八下·顺义期末）绿色出行是对环境影响最小的出行方式，“共享单车”已成为北京的一道靓丽的风景线．已知某地区从2017年1月到5月的共享单车投放量如右图所示．
（1）求1月至2月共享单车投放量的增长率；
（2）求2月至4月共享单车投放量的月平均增长率．
【答案】（1）解：
（2）解：
【解析】【分析】（1）根据“增长率＝（2月共享单车投放量 1月共享单车投放量）÷1月共享单车投放量×100%”即可求解；
（2）设2月至4月共享单车投放量的月平均增长率为x，根据等量关系“2月份的共享单车投放量×（1＋增长率）2＝4月份的共享单车投放量”即可．
44．（2024八下·顺德期末）在中，，点是线段上的一点，连接．
（1）如图，，是的角平分线，于点．
当时，求的长；
若的中线交于点，判断与的关系，并说明理由；
（2）如图，若，点是上的一点，且，连接交于点，求的度数．
【答案】（1）解：设，
是的角平分线，，
则，则，
在等腰直角三角形中，，
即，则，
则；
且，理由：
如图，为直线，为等腰直角三角形，
则，
而，则，即，
则，
由知，，，
则≌，
则，
则，
即且；
（2）解：如图，过作，使，连，，
则四边形为平行四边形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，，
，
且，
为等腰直角三角形，，
，
．
【解析】【分析】（1）①设，根据角平分线的性质得到，，再根据等腰直角三角形的性质得到，进而结合题意即可求出x，从而得到AB；
②根据等腰直角三角形的性质得到，进而根据象限的性质得到，由知，，，从而根据三角形全等的判定与性质证明≌得到，从而根据等腰三角形的判定结合题意即可求解；
（2）过作，使，连，，则四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，，等量代换得到ME=CM，再根据三角形全等的判定与性质证明≌得到，，，从而结合题意运用等腰直角三角形的判定与性质得到，再根据平行线的性质即可求解。
45．（2024八下·鄞州期末）如图1，点是正方形内部的一点，．连结，，过点作的垂线交的延长线于点．
（1）猜测的度数，并说明理由；
（2）若，求正方形的边长；
（3）如图2，过点作的垂线交于点．当恰好过的中点时，设正方形的边长为，用含的代数式表示．
【答案】（1）解：，证明如下：
在正方形中，，，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，∴．
∴．
（2）解：由（1）知，，
∵
∴是等腰直角三角形．∴，
连结．
∵，，
由勾股定理可知．，∴正方形的边长为．
（3）解：作．
∵，，
∴，
∵，，
∴，．
∴．
∵．
∴，
∴，∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
连结，，
∵，
∴．
【解析】【分析】（1）设，根据正方形的性质，结合等边对等角和三角形的内角和定理，进行求解即可；
（2）先得是等腰直角三角形，求出CF的长度，连接AC，勾股定理求出AC的长，再根据正方形的性质，求出正方形的边长；
（3）作，根据AAS证明，得到，进而求出AB的长，勾股定理求出AG的长，等积法求出HG的长即可．
46．（2022八下·温州期末）某小组进行漂洗实验，每次漂洗的衣服量和添加洗衣粉量固定不变实验发现，当每次漂洗用水量v（升）一定时，衣服中残留的洗衣粉量y（克）与漂洗次数x（次）满足y=（k为常数），已知当使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留洗衣粉2克．
（1）求k的值．
（2）如果每次用水5升，要求漂洗后残留的洗衣粉量小于0.8克，求至少漂洗多少次？
（3）现将20升水等分成x次（x>1）漂洗，要使残留的洗衣粉量降到0.5克，求每次漂洗用水多少升？
【答案】（1）解：∵使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留洗衣粉2克，
∴v=5，x=1，y=2，
∴2=，
∴k=-0.1．
（2）解：∵v=5，
∴y=，
∵反比例函数y=，在x>0的范围内y随x的增大而减少，
∴当y<0.8时，漂洗的次数x>2.5，
∴至少漂洗3次，衣服中残留的洗衣粉量小于0.8克．
（3）解：由（1）得y=，
∴xy=-0.1v+2.5，即x2y=-0.1vx+2.5x，
∵将20升水等分成x次，
∴vx=20，
∴x2y=-2+2.5x，
∵y=0.5，
∴0.5x2=-2+2.5x，
即x2-5x+4=0，
∴x1=4，x2=1（舍去，x＞1），
∴当x=4时，每次漂洗用水v=20÷4=5升.
答：每次漂洗用水5升.
【解析】【分析】（1）根据使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留洗衣粉2克，即得v=5，x=1，y=2，代入解析式中即可求出值；
（2）把v=5代入函数解析式得y=，根据反比例函数的性质，即在x>0的范围内y随x的增大而减少，可求出当y<0.8时，漂洗的次数x>2.5，再由漂洗次数为正整数，即可得出至少漂洗的次数；
（3）由（1）得y=，整理得x2y=-0.1vx+2.5x，由将20升水等分成x次可得vx=20，再由y=0.5，再次化简得x2-5x+4=0，解之即可求得符合题意的x值，进而求出每次漂洗用水升数.
47．（2021八下·北仑期末）定义：只有三边相等的四边形称为准菱形.
（1）如图1，图形
　 　（填序号）是准菱形；
（2）如图2，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，求证：四边形ABCD是准菱形；
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA，OC分别落在y轴，x轴上，反比例函数y＝ （k＞0）的图象分别与边AB，BC交于点D，E.已知AD＝DE，△ADE的面积为10，AD：DB＝5：3，若点F是坐标平面上一点，四边形ADEF是准菱形，当准菱形ADEF面积最大时，求点F的坐标.
【答案】（1）②③
（2）解：过点B作BE∥AD交CD于点E，
∵AB∥DC，
∴四边形ABED为平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABED为菱形，
∴∠D=∠BEC，∠ABC+∠C=180°，AD=BE，
∵∠ABC +∠D=180°，
∴∠D=∠BEC=∠C，
∴BE=BC，
∴AB＝AD=BC，
故四边形ABCD是准菱形；
（3）解：∵AD：DB＝5：3，AD＝DE，
设DB=3a，则AD=DE=5a，
在Rt△BDE中，
由勾股定理得BE= ，
∵△ADE的面积为10，
∴ ，即 ，
∴ (负值已舍)，
∵点D，E在反比例函数 的图象上，
设点D的坐标为(5， )，点E的坐标为(8， )，点B的坐标为(8， )，
∵BE=4，
∴ ，
解得： ，
∴点D的坐标为(5， )，点E的坐标为(8， )，点B的坐标为(8， )，
在Rt△ABE中，AE= ，
四边形ADEF是准菱形，根据准菱形的定义知点F在以E为圆心，5为半径的圆上，
要使准菱形ADEF面积最大，即△AEF面积最大，
则当EF⊥AE时，△AEF面积最大，如图：
∵∠DAH+∠ADH=90°，∠BAE+∠AEB=90°，∠FEG+∠EFG=90°，∠FEG+∠AEB=90°，
∴∠DAH=∠FEG，
又∵AD=EF=5，
∴Rt△ADH Rt△EFG(AAS)，
∴AH=EG，DH=FG，
在等腰△ADE中，△ADE的面积为10，AH=HE= AE= ，
AE DH=10，解得DH= ，
FG= ，EG ，
点F的坐标为(8- ， )；
四边形ADEF是准菱形，根据准菱形的定义知点F在以A为圆心，5为半径的圆上，
要使准菱形ADEF面积最大，即△AEF面积最大，
则当AF⊥AE时，△AEF面积最大，如图：
同理求得FG= ，AG ，
点F的坐标为(- ， )；
综上，点F的坐标为(- ， )或(8- ， ).
【解析】【解答】（1）解：图①四边都相等，不符合准菱形的定义，不是准菱形；
图②有三边相等，符合准菱形的定义，是准菱形；
图③有三边相等，符合准菱形的定义，是准菱形；
图④不存在边相等，不符合准菱形的定义，不是准菱形；
故答案为：②③；
【分析】（1）利用准菱形的定义对图1中的四个图形进行判断即可.
（2） 过点B作BE∥AD交CD于点E， 易证四边形ABED是平行四边形，由AB=AD可证得四边形ABDE是菱形，利用菱形的性质可证得∠D=∠BEC，∠ABC+∠C=180°，AD=BE，可推出∠D=∠BEC=∠C，利用等角对等边，可证得BE=CB=AB=AD，即可证得结论.
（3）设DB=3a，则AD=DE=5a，利用勾股定理可表示出BE的长，利用三角形的面积公式求出a的值； 点D，E在反比例函数 的图象上， 设点D的坐标为(5， )，点E的坐标为(8， )，点B的坐标为(8， )， 根据BE=4，建立关于k的方程，解方程求出k的值，即可得到点D，E，B的坐标；利用勾股定理求出AE的长，四边形ADEF是准菱形，根据准菱形的定义知点F在以E为圆心，5为半径的圆上，要使准菱形ADEF面积最大，即△AEF面积最大，则当EF⊥AE时，△AEF面积最大，如图：易证∠DAH=∠FEG，利用AAS证明△ADH≌△EFG，由此可证得 AH=EG，DH=FG， 利用三角形的面积公式求出FG，EG的长，可得到点F的坐标；四边形ADEF是准菱形，根据准菱形的定义知点F在以A为圆心，5为半径的圆上，要使准菱形ADEF面积最大，即△AEF面积最大，则当AF⊥AE时，△AEF面积最大，同理可求出FG，AG的长，可得到点F的坐标.
48．（2023八下·晋城期末）山西某中学王老师为了选拔一名优秀的学生参加市内的数学比赛，对两名备赛选手进行了6次测验，两位同学的测验成绩如表所示：
（参考公式）
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 平均成绩 中位数 众数 方差
甲 83 85 90 80 85 87 85 a 85 b
乙 86 86 83 84 85 86 c 85.5 d
根据表中提供的数据，解答下列问题：
（1）a的值为　 　，d的值为　 　．
（2）求b和c的值，并直接指出哪位同学的成绩更稳定．
（3）根据以上信息，你认为王老师应该选哪位同学参加比赛，请说明理由．
【答案】（1）86；86
（2）解：根据平均数的定义，；根据题中所给的方差公式，．由于甲乙同学成绩的平均数相同，而甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差，故乙的成绩更稳定．
（3）解：选择乙同学．理由：甲乙同学成绩的平均数相同，且乙同学成绩的中位数更大，方差更小，成绩更稳定．
【解析】【解答】解：（1）甲同学成绩从低到高排序为：80，83，85，85，87，90；
则中位数；
观察乙同学的成绩，出现次数最多的成绩为86，
故众数．
【分析】（1）利用平均数和众数的定义及计算方法求解即可；
（2）利用方差的计算方法求出甲和乙的方差，再利用方差的性质求解即可；
（3）根据平均数和中位数的定义及性质求解即可。
49．（2021八下·合肥期末）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点．已知关于x的一元二次方程为．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）求衍生点M的轨迹的解析式；
（3）若无论k为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上，求b与c满足的关系．
【答案】（1）证明：
不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：
，，
衍生点M的轨迹的解析式；y=x+2；
（3）解：
直线经过定点
关于x的方程有两个根
由根与系数的关系式得，
【解析】【分析】 (1) 由一元二次方程根的判别式的△=4>0，即可得出结论；
(2) 解方程得出两根，可知衍生点M的坐标，由坐标的关系可得轨迹方程；
(3)由直线方程可知直线经过定点（2，4），可得一元二次方程的两根，再由一元二次方程根与系数的关系可得a，b，c的关系。
50．（2022八下·海州期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点、，点、在第二象限内.
（1）点的坐标　 　；
（2）将正方形以每秒2个单位的速度沿轴向右平移秒，若存在某一时刻，使在第一象限内点、两点的对应点、正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时的值以及这个反比例函数的解析式；
（3）在（2）的情况下，问是否存在轴上的点和反比例函数图象上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（-3，1）
（2）解：由（1），得点B（-3，1），D（-7，3），
∴运动t秒时，点，.
设反比例函数的关系式为，
∵点，在反比例函数图象上，
∴，
解得，k=6，
∴反比例函数的关系式为；
（3）解：存在，理由：由（2）知，点，，，
∴，，反比例函数关系式为，
设点Q，点P（0，s）.
以点PQ四个点为顶点的四边形是平行四边形，
∴①当PQ与是对角线时，
∴，，
解得，，
∴，；
②当与是对角线时，
∴，，
解得，，
∴，；
③当与是对角线时，
∴，，
解得，，
∴，.
综上所述：或或.
【解析】【解答】解：（1）过点B，D作BH⊥x轴，DG⊥x轴交于点H，G，
∵点A（-6，0），D（-7，3），
∴OA=6，OG=7，DG=3，
∴AG=OG-OA=1.
∵∠DAG+∠BAH=90°，∠DAG+∠GDA=90°，
∴∠GDA=∠BAH.
又∠DGA=∠AHB=90°，AD=AB，
∴△DGA≌△AHB，
∴DG=AH=3，BH=AG=1，
∴点B的坐标是（-3，1）；
【分析】（1）过点B，D作BH⊥x轴，DG⊥x轴交于点H，G，由同角的余角相等得∠GDA=∠BAH，用角角边可证△DGA≌△AHB，得DG=AH，BH=AG，则点B的坐标可求解；
（2）由点的坐标平移的规律“左减右加”得运动t秒时，点D'、B'的坐标分别为D'（-7+2t，3）、B （-3+2t，1），设反比例函数的关系式为y=，由题意把点D'、B'的坐标分别代入反比例函数的解析式可得关于t的方程，解方程可求解；
（3）存在，理由：由（2）的结论可得反比例函数的解析式，设点Q、P的坐标分别为Q（m，）、P（0，s），由平行四边形的性质分三种情况讨论：①当PQ与D'B'是对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分可得关于m、s的方程组，解之可求解；②当PB'与QD'是对角线时，同理可求解；③当PD'与QB'是对角线时，同理可求解.
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