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第3讲 等式性质与不等式性质
【知识点1】数(式)的大小比较 2
【知识点2】不等式的基本性质 5
【知识点3】不等式性质的综合应用 8
1．两个实数比较大小的方法
作差法 (a，b∈R)．
2．等式的性质
性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a；
性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.
3．不等式的性质
性质1　对称性：a>b b性质2　传递性：a>b，b>c a>c；
性质3　可加性：a>b a＋c>b＋c；
性质4　可乘性：a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac性质5　同向可加性：a>b，c>d a＋c>b＋d；
性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ac>bd；
性质7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)．
常用结论
不等式的两类常用性质
(1)倒数性质
①a>b，ab>0 <；
②a；
③a>b>0,0；
④0(2)有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则
①真分数的性质
<，>(b－m>0)；
②假分数的性质
>，<(b－m>0)．
【知识点1】数(式)的大小比较
比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
例1：
【例1】（2025春 秦淮区校级月考）已知，是非零实数，且，是任意实数，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】应用特殊值法判断、、，作差法判断即可．
【解答】解：当时，不等式不成立，错误．
当，时，满足，但，错误．
因为，而，所以，则，正确．
当，，时，满足，但，错误．
故选：．
【例2】（2025 房山区一模）已知，，且，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】举反例即可说明选项都错误，根据是增函数即可判断的正误．
【解答】解：，，满足，不存在，错误；，错误；，错误．
，是增函数，．
故选：．
【例3】（2024秋 西城区期末）已知，，且，下列不等式中一定成立的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】举出反例检验选项，结合不等式性质检验选项．
【解答】解：当，时，显然错误；
当，时，显然错误；
当，时，显然错误；
由可得正确．
故选：．
【例4】（2024秋 固始县期末）已知，，则　　
A． B．
C． D．，的大小与有关
【答案】
【分析】利用作差法比较大小即可．
【解答】解：由题意可得，
当即或时，，当即时，，
当即时，，故、的大小与有关．
故选：．
【例5】（2024秋 辽宁期末）已知，均为正实数，若，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】采用作差方法化简变形，利用题中条件比较出差值大小即可．
【解答】解：，，
由，均为正实数，有，当且仅当时取等号，
所以．
故选：．
【知识点2】不等式的基本性质
判断不等式的常用方法
(1)利用不等式的性质逐个验证．
(2)利用特殊值法排除错误选项．
(3)作差法．
(4)构造函数，利用函数的单调性．
例1：
【例6】（2025春 皇姑区校级期中）已知，，，则下列不等式中一定成立的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】
【分析】利用特殊值法可判断错误，利用作差法计算可得正确，再由不等式性质可得错误．
【解答】解：对于，当时，可知不成立，故错误；
对于，因为，可得；
所以，故正确；
对于，由，可得，故错误；
对于，，当时，，故错误．
故选：．
【例7】（2025春 杨浦区校级月考）如果，那么下列不等式中成立的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据不等式的性质一一判断即可．
【解答】解：对于：因为，所以，，故错误，正确；
对于：因为，所以，所以，故错误；
对于：因为，所以，故错误．
故选：．
【例8】（2025春 琼山区校级月考）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】加糖前糖的浓度，加入克糖之后糖的浓度，糖水变甜，表示糖的浓度变大，即．
【解答】解：这一事实表示为一个不等式为．
下面证明不等式成立：
又，，
，即，
即．
故选：．
【例9】（2025 开封二模）设，，则的一个充分不必要条件是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用充分性和必要性的定义逐项判断即可．
【解答】解：对于，当，时，满足，但是不符合，故充分性不成立，故错误；
对于，，即，即，所以是的必要不充分条件，故错误；
对于，，即，故是的充要条件，故错误；
对于，，即，，故是的一个充分不必要条件，故正确．
故选：．
【例10】（2025 河北模拟）已知，，则的取值范围　　
A．， B． C．， D．
【答案】
【分析】由不等式的同向可加性得到结果．
【解答】解：因为，得，，所以，
所以的取值范围为．
故选：．
【知识点3】不等式性质的综合应用
利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点
(1)必须严格运用不等式的性质．
(2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．
例1：
【例11】（2025 临汾二模）若，，则的范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】根据不等式的性质即可求解．
【解答】解：由题意可知，，，
故由不等式可加性可知，．
故选：．
【例12】（2025 玉溪二模）已知，，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】易得，再结合已知可得，由，得，即可比较，，利用作差法即可比较，，即可得解．
【解答】解：由，得，
，当且仅当时取等号，
，且，
，
当时，，此时，与矛盾，，
由，得，
，当且仅当时取等号，
由知，等号取不到，
，
由，可得，
，所以，
，
，，，，，
由，得，
则，
，，
，
又，，，，
综上所述，．
故选：．
【例13】（2025 德州模拟）若实数，，满足，且，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】将换成用，表示，从而将平方表示成，由，求出，进而求出范围．
【解答】解：因为，，
所以且，
故且，
所以，
故，
所以，
所以．
故选：．
【例14】（2025 南宁模拟）若，，，则下列说法正确的是　　
A．若，且，则 B．若，则
C．若，则 D．若且，则
【答案】
【分析】利用不等式的基本性质判断，利用举实例法判断．
【解答】解：，当，时，满足，但，错误，
，，，，正确，
，，，正确，
，且，，，，当时，则，错误，
故选：．
【例15】（2024 岳麓区校级模拟）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一顾客到店购买黄金，售货员先将砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金　　
A．小于 B．等于
C．大于 D．与左右臂的长度有关
【答案】
【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：设天平左、右两边的臂长分别为，，
设售货员第一次称得黄金的质量为克，
第二次称得黄金的质量为个，
由题意可知，且，解得且，
故顾客购得的黄金为，
当且仅当时，等号成立，
由题意可知，，
则．
故选：．
第1页 共1页第3讲 等式性质与不等式性质
【知识点1】数(式)的大小比较 2
【知识点2】不等式的基本性质 5
【知识点3】不等式性质的综合应用 8
1．两个实数比较大小的方法
作差法 (a，b∈R)．
2．等式的性质
性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a；
性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.
3．不等式的性质
性质1　对称性：a>b b性质2　传递性：a>b，b>c a>c；
性质3　可加性：a>b a＋c>b＋c；
性质4　可乘性：a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac性质5　同向可加性：a>b，c>d a＋c>b＋d；
性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ac>bd；
性质7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)．
常用结论
不等式的两类常用性质
(1)倒数性质
①a>b，ab>0 <；
②a；
③a>b>0,0；
④0(2)有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则
①真分数的性质
<，>(b－m>0)；
②假分数的性质
>，<(b－m>0)．
【知识点1】数(式)的大小比较
比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
例1：
【例1】（2025春 秦淮区校级月考）已知，是非零实数，且，是任意实数，则　　
A． B． C． D．
【例2】（2025 房山区一模）已知，，且，则　　
A． B． C． D．
【例3】（2024秋 西城区期末）已知，，且，下列不等式中一定成立的是　　
A． B． C． D．
【例4】（2024秋 固始县期末）已知，，则　　
A． B．
C． D．，的大小与有关
【例5】（2024秋 辽宁期末）已知，均为正实数，若，，则　　
A． B． C． D．
【知识点2】不等式的基本性质
判断不等式的常用方法
(1)利用不等式的性质逐个验证．
(2)利用特殊值法排除错误选项．
(3)作差法．
(4)构造函数，利用函数的单调性．
例1：
【例6】（2025春 皇姑区校级期中）已知，，，则下列不等式中一定成立的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【例7】（2025春 杨浦区校级月考）如果，那么下列不等式中成立的是　　
A． B． C． D．
【例8】（2025春 琼山区校级月考）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式　　
A． B． C． D．
【例9】（2025 开封二模）设，，则的一个充分不必要条件是　　
A． B． C． D．
【例10】（2025 河北模拟）已知，，则的取值范围　　
A．， B． C．， D．
【知识点3】不等式性质的综合应用
利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点
(1)必须严格运用不等式的性质．
(2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．
例1：
【例11】（2025 临汾二模）若，，则的范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【例12】（2025 玉溪二模）已知，，，则　　
A． B． C． D．
【例13】（2025 德州模拟）若实数，，满足，且，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【例14】（2025 南宁模拟）若，，，则下列说法正确的是　　
A．若，且，则 B．若，则
C．若，则 D．若且，则
【例15】（2024 岳麓区校级模拟）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一顾客到店购买黄金，售货员先将砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金　　
A．小于 B．等于
C．大于 D．与左右臂的长度有关
第1页 共1页第3讲 等式性质与不等式性质
一．选择题（共10小题）
1．（2025 孝感模拟）已知，则下列不等式中一定成立的是　　
A． B． C． D．
2．（2025春 浙江期中）设，，若，则下列不等式中不正确的是　　
A． B． C． D．
3．（2024秋 安徽期末）已知，，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
4．（2025 海淀区模拟）设，，若，则　　
A． B． C． D．
5．（2025 河北模拟）已知，，，则的最小值为　　
A．2 B． C．4 D．9
6．（2025 湖南模拟）下列命题为真命题的是　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
7．（2025 广西模拟），则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
8．（2025春 渭滨区月考）设，，且，则　　
A． B． C． D．
9．（2025春 皇姑区期中）已知，，，则下列不等式中一定成立的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2024秋 龙岗区期末）下列命题是假命题的为　　
A．若，则 B．若，，则
C．若且，则 D．若，则
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025 临沂二模）已知，则下列不等式正确的是　　
A． B． C． D．
（多选）12．（2025 聊城二模）已知实数，满足，则　　
A．
B．
C．若，则
D．若，，则
（多选）13．（2025 凉州区模拟）已知，则下列不等式正确的是　　
A． B． C． D．
（多选）14．（2024秋 雨山区期末）下列命题为真命题的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
三．填空题（共4小题）
15．（2024秋 邵阳期末）已知，则的取值范围为 　　．
16．（2025 深圳开学）已知，，，则的取值范围是 　　．
17．（2024秋 信阳期末）若实数，，满足，，试确定，，的大小关系是 　　．
18．（2024春 崂山区期中）已知，，则的取值范围是 　　．
四．解答题（共6小题）
19．（2024秋 通辽期中）（1）若，试比较与的大小；
（2）已知，．求的取值范围．
20．（2024秋 拱墅区期末）已知，．
（1）分别求与的取值范围；
（2）求的取值范围．
21．（2024秋 单县期中）已知，．试求：
（1）的取值范围．
（2）的取值范围．
22．（2023秋 长安区月考）已知，，分别求：
（1）的取值范围；
（2）的取值范围；
（3）的取值范围．
23．（2024秋 府谷县月考）已知实数，满足，．
（1）求实数，的取值范围；
（2）求的取值范围．
24．（2024秋 禅城区月考）（1）已知，．求和的取值范围．
（2）已知，，求的取值范围．
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C B C B B D B A
二．多选题（共4小题）
题号 11 12 13 14
答案 AD BC AD BC
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【分析】举例说明错误；直接证明正确．
【解答】解：对于，当，时，，故错误；
对于，当，时，，故错误；
对于，当，时，不成立，故错误；
对于，由，得，则，故正确．
故选：．
2．【答案】
【分析】结合特殊值法，以及作差法，即可求解．
【解答】解：，
则，即，故正确；
，即故正确；
，故正确；
令，，满足，但，故错误．
故选：．
3．【答案】
【分析】根据不等式的性质求解．
【解答】解：因为，
又，，
所以，
即，
所以的取值范围是，．
故选：．
4．【答案】
【分析】由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：若，则，错误；
所以，正确；
由可得，，
故，错误；
由可得，，错误．
故选：．
5．【答案】
【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求出最小值．
【解答】解：由，，，得，
当且仅当且，即时取等号．
故选：．
6．【答案】
【分析】由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：当，，，时，显然错误；
因为，，由不等式性质可得，正确；
当，时，显然错误；
当时，显然错误．
故选：．
7．【答案】
【分析】结合对数恒等式化简，结合对数函数单调性确定的范围，即可比较，，的大小．
【解答】解：，，，
故．
故选：．
8．【答案】
【分析】选项，可举出反例；选项，利用基本不等式进行求解．
【解答】解：选项，当，时，，故，错误；
选项，当，时，，，，错误；
选项，当，时，，，错误；
选项，当时，，由基本不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立，但，故等号取不到，
故，正确．
故选：．
9．【答案】
【分析】利用特殊值法可判断错误，利用作差法计算可得正确，再由不等式性质可得错误．
【解答】解：对于，当时，可知不成立，故错误；
对于，因为，可得；
所以，故正确；
对于，由，可得，故错误；
对于，，当时，，故错误．
故选：．
10．【答案】
【分析】由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：当时，显然为假命题；
若，，则，为真命题；
若且，则，，为真命题；
若，则，
所以，为真命题．
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】
【分析】对于，可以用作差法判断，对于，举反例判断即可，对于，分，，三种情况讨论即可判断．
【解答】对于，，因为，
所以，，，即，所以，故正确；
对于，当时，，故错误；
对于，取，则，故错误，
对于，若，则成立，
若，则显然成立，
若，则成立，
综上所述，只要，就一定有，故正确．
故选：．
12．【答案】
【分析】由已知结合不等式性质及基本不等式检验各选项即可判断．
【解答】解：因为实数，满足，
当，时，显然错误；
，当且仅当时取等号，正确；
当，时，，即，正确；
若，，时，满足，，但，，显然错误．
故选：．
13．【答案】
【分析】由，可得．再利用不等式的基本性质逐一判断即可．
【解答】解：由，可得．
所以，故正确；
因为，
所以，即，故错误；
由，可得，所以，故错误；
由，可得，又，
所以，故正确．
故选：．
14．【答案】
【分析】利用不等式的性质，结合作差比较大小的方法，逐项判断即得．
【解答】解：对于，取，显然错误；
对于，若，则，即，正确；
对于，若，则，，，
所以，则，正确；
对于，若，则，则，错误．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】，．
【分析】由已知结合不等式的性质即可求解．
【解答】解：因为，即，
所以．
故答案为：，．
16．【答案】．
【分析】利用换元法，结合不等式性质，可得答案．
【解答】解：令，则，
即，
由，即，可得，则．
故答案为：．
17．【答案】．
【分析】通过配方得，所以．将条件中的两个式子相减，整理得，由得．所以．
【解答】解：因为，所以．
由条件有，即，
所以，所以．
故答案为：．
18．【答案】．
【分析】首先变形，再转化为求的范围．
【解答】解：由题意可知，，
，，则，所以．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
19．【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）作差后再配方即可；
（2）根据的范围可求出的范围，进而可得出的范围．
【解答】解：（1），
；
（2）由题设，，而，
．
20．【答案】（1）实数的范围为，，的范围为；（2）．
【分析】（1）不等式①，②，然后利用①②，②①分别求出，的范围；（2）利用）①②即可求解．
【解答】解：（1）不等式①，②，
①②可得：，解得，
②①可得：，解得，
所以实数的范围为，，的范围为；
（2）①②可得：，
即的范围为．
21．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用不等式的性质计算即可；
（2）利用不等式性质计算即可．
【解答】解：（1）由，可知，，
所以，
故的范围为；
（2）由，可知，
所以，
故的范围为．
22．【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】根据不等式的性质，即可求所给式子的范围．
【解答】解：（1）由题可知，，，所以，
则的取值范围为；
（2）由题可知，，，所以，
则的取值范围为；
（3）由题可知，，，所以，
则的取值范围为，．
23．【答案】（1），，；
（2）．
【分析】（1）用已知式子，表示，，利用不等式的性质求解范围即可；
（2）用已知式子，表示，利用不等式的性质求解范围即可．
【解答】解：（1）因为，，
所以，
所以，
即实数的取值范围为，．
因为，
由，所以，又，
所以，
所以，
即，
即实数的取值范围为．
（2）设，
则，解得，
则，
，．
，，
，
即的取值范围为．
24．【答案】（1），；
（2），．
【分析】（1）根据已知条件，结合不等式的性质，即可求解．
（2）先求出，再结合不等式的可加性，即可求解．
【解答】解：（1）依题意，，，
由得．
由得，
即的取值范围是，的取值范围是，．
（2）由，
得，解得，，
，
，，
，，
两式相加得，
即的取值范围是，．

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