资源简介

第5讲 一元二次方程、不等式
【知识点1】求解一元二次不等式 2
【知识点2】一元二次方程根的分布 3
【知识点3】三个二次之间的关系 5
【知识点4】一元二次不等式恒成立问题 6
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系
方程的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数 的图象
方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1不等式 的解集 {x|xx2} R
2.分式不等式与整式不等式
(1) >0(<0) f(x)g(x)>0(<0)；
(2) ≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
3．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|0)的解集为(－a，a)．
常用结论
1．一元二次不等式恒成立问题
(1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立 a>0且Δ<0；
(2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立 a<0且Δ<0；
(3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形．
2．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形．
【知识点1】求解一元二次不等式
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
例1：
【例1】（2025 开远市校级开学）已知，则关于的不等式的解集是　　
A．或 B．或
C． D．
【例2】（2025 广东学业考试）不等式的解集是　　
A． B．
C． D．，，
【例3】（2024秋 中山区校级期末）关于的一元二次方程的解集为，，则不等式的解集为　　
A． B．，
C． D．，，
【答案】
【分析】由方程的解集和根与系数关系得，，的关系，并由得的正负，代入不等式后即可求解．
【解答】解：关于的一元二次方程的解集为，，
，即，，，即．
，
即，即，解得．
故选：．
【例4】（2024秋 深圳校级期末）已知函数．
（1）若在区间，上单调递减，求的取值范围．
（2）求关于的不等式的解集．
【例5】（2024秋 海淀区校级期中）解关于的不等式：．
【知识点2】一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布
解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解．
(1)判别式Δ的符号．
(2)对称轴x＝－与所给区间的位置关系．
(3)区间端点处函数值的符号．
例1：
【例6】（2025 台湾四模）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【例7】（2025春 杭州期中）已知关于的不等式的解集为，，则的最大值是　　
A． B． C． D．
【例8】（2024秋 亳州期末）已知，且是方程的一个根，则的最小值是　　
A． B．4 C．2 D．8
【例9】（2025春 辽宁月考）若关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值是　　
A． B． C． D．
【例10】（2024秋 青海期末）若二次方程在上有两个不相等的实根，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【知识点3】三个二次之间的关系
已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负
例1：
【例11】（2023秋 信阳期中）已知关于的不等式的解集是，，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
【例12】（2024秋 吉林期末）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是　　
A．
B．
C．
D．的解集为
【例13】（2023秋 云南期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【例14】（2024秋 集安市月考）已知关于的不等式的解集为，，，则下列选项中正确的是　　
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
【例15】（2024秋 大理市期末）若关于实数的不等式的解集是或，则关于的不等式的解集是　　
A． B．
C． D．
【知识点4】一元二次不等式恒成立问题
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
例1：
【例16】（2024秋 武强县校级期末）时，不等式成立，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【例17】（2024秋 中牟县期末）设，不等式恒成立的一个充分条件可以是　　
A． B． C． D．
【例18】（2025 芒市校级开学）一元二次不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【例19】（2024秋 宁波期末）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为　　
A．3 B． C．4 D．
【例20】（2025 山东模拟）已知不等式对任意的恒成立，则实数的最小值 　　 ．
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 临泉县月考）不等式的解集为　　
A．或 B．或
C． D．
2．（2024秋 鹤山市期末）一元二次不等式的解集为　　
A． B．
C． D．
3．（2024秋 吕梁期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值为　　
A． B． C． D．
4．（2024秋 金山区期末）当时，关于的不等式的解集为　　
A． B．
C． D．
5．（2024秋 大兴区期末）关于的不等式的解集不可能是　　
A． B．， C． D．，
6．（2024秋 佛山期末）若关于的方程有两相异实根，，且，则实数的取值范围是　　
A．，， B．
C． D．
7．（2024秋 固镇县期末）关于的不等式的解集中恰有1个整数，则实数的取值范围是　　
A．，， B．，，
C．， 2， D．，，4
8．（2024秋 屯溪区期末）若关于的不等式 在，上有解，则实数的最小值为　　
A．9 B．5 C．6 D．
9．（2024秋 宿迁期末）设，，为实数，不等式的解集是或，则的最大值为　　
A． B． C． D．
10．（2024秋 济南期末）若，，则实数的取值范围为　　
A． B．
C．，， D．，，
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025 余姚市模拟）关于的一元二次不等式的解集为，则下列成立的是　　
A． B． C． D．
（多选）12．（2024秋 西峰区期末）关于的不等式的解集为的充分不必要条件有　　
A． B． C． D．
（多选）13．（2024秋 南昌县期末）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是　　
A．
B．不等式的解集为
C．
D．的最小值为
（多选）14．（2024秋 日照期末）已知关于的不等式的解集为，则　　
A．
B．
C．不等式的解集为
D．的最小值为6
三．填空题（共4小题）
15．（2025春 宝山区月考）已知不等式的解集为，则实数 　　 ．
16．（2025 南通模拟）已知二次不等式的解集为，，，则的取值范围是 　　 ．
17．（2024秋 许昌期末）若不等式对任意，都成立，则实数的取值范围为 　　．
18．（2024秋 广东期末）当关于的不等式对一切实数都成立时，的取值范围是 　　 ．
四．解答题（共6小题）
19．（2024秋 朝阳期末）已知函数．
（1）若关于的不等式的解集为，求，的值；
（2）当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围．
20．（2024秋 普宁市期末）已知不等式的解集为．
（1）求实数，的值；
（2）解关于的不等式：为常数，且
21．（2024秋 西宁期末）已知关于的不等式．
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）若不等式的解集为，求的取值范围．
22．（2024秋 渭滨区期末）已知二次函数．
（1）当取何值时，不等式对一切实数都成立？
（2）若在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围．
23．（2025春 辽宁月考）已知函数．
（1）求关于的一元二次不等式的解集；
（2）若，，使得成立，求实数的取值范围．
24．（2025 开福区开学）已知函数．
（1）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
第1页 共1页第5讲 一元二次方程、不等式
【知识点1】求解一元二次不等式 2
【知识点2】一元二次方程根的分布 6
【知识点3】三个二次之间的关系 9
【知识点4】一元二次不等式恒成立问题 12
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系
方程的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数 的图象
方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1不等式 的解集 {x|xx2} R
2.分式不等式与整式不等式
(1) >0(<0) f(x)g(x)>0(<0)；
(2) ≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
3．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|0)的解集为(－a，a)．
常用结论
1．一元二次不等式恒成立问题
(1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立 a>0且Δ<0；
(2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立 a<0且Δ<0；
(3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形．
2．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形．
【知识点1】求解一元二次不等式
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
例1：
【例1】（2025 开远市校级开学）已知，则关于的不等式的解集是　　
A．或 B．或
C． D．
【答案】
【分析】直接根据一元二次不等式的解法解不等式即可．
【解答】解：因为，即，且，
所以不等式的解集是．
故选：．
【例2】（2025 广东学业考试）不等式的解集是　　
A． B．
C． D．，，
【答案】
【分析】由二次不等式解法可得答案．
【解答】解：，
故不等式的解集是．
故选：．
【例3】（2024秋 中山区校级期末）关于的一元二次方程的解集为，，则不等式的解集为　　
A． B．，
C． D．，，
【答案】
【分析】由方程的解集和根与系数关系得，，的关系，并由得的正负，代入不等式后即可求解．
【解答】解：关于的一元二次方程的解集为，，
，即，，，即．
，
即，即，解得．
故选：．
【例4】（2024秋 深圳校级期末）已知函数．
（1）若在区间，上单调递减，求的取值范围．
（2）求关于的不等式的解集．
【答案】（1）；
（2）当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为，，．
【分析】（1）讨论当和时，函数在，上单调递减的情况即可得出结论；
（2）解，即解不等式，分类讨论当和的情况，在的情况下，再讨论，，，以及时的解集，从而得出结论．
【解答】解：（1）当时，的单调递减区间为，满足题意，
当时，因为在，上单调递减，
所以，
解得，
综上所述，的取值范围为；
（2）由可得，，
①当时，由，
解得；
②当时，方程的两根为，
当时，，解不等式得，
当时，，解不等式得或，
当时，，解不等式得或，
当时，由得，
综上，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为，，．
【例5】（2024秋 海淀区校级期中）解关于的不等式：．
【答案】若，则不等式为，此时解集为，；
若，则不等式解集为，；
若，则不等式解集为，，；
若，则不等式解集为；
若，则不等式解集为，，．
【分析】关于的大小进行分类讨论，求出取不同值时的解集．
【解答】解：若，则不等式为，此时解集为，；
若，不等式化为，
若，则不等式解集为，；
若，则不等式解集为，，；
若，则不等式解集为；
若，则不等式解集为，，．
【知识点2】一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布
解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解．
(1)判别式Δ的符号．
(2)对称轴x＝－与所给区间的位置关系．
(3)区间端点处函数值的符号．
例1：
【例6】（2025 台湾四模）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据一元二次函数的图像和零点存在定理求解的取值范围．
【解答】解：因为，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，，
可得，为函数的两个零点，
利用零点存在定理可得：，即，所以，
所以，
解得．
故选：．
【例7】（2025春 杭州期中）已知关于的不等式的解集为，，则的最大值是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据已知条件可得，，再利用基本不等式相关知识可解．
【解答】解：已知关于的不等式的解集为，，
则，，
则，
当且仅当时，即时，取等号，
则的最大值是．
故选：．
【例8】（2024秋 亳州期末）已知，且是方程的一个根，则的最小值是　　
A． B．4 C．2 D．8
【答案】
【分析】根据是方程的一个根得到和的关系，求出，根据基本不等式求出的最小值．
【解答】解：由是方程的一个根可得，
即，且，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
故的最小值是8．
故选：．
【例9】（2025春 辽宁月考）若关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用韦达定理列式计算得解．
【解答】解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，，
所以．
故选：．
【例10】（2024秋 青海期末）若二次方程在上有两个不相等的实根，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】结合二次方程根的分布条件建立关于的不等式组，解不等式组即可求解．
【解答】解：因为二次方程在上有两个不相等的实根，
所以，解得．
故选：．
【知识点3】三个二次之间的关系
已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负
例1：
【例11】（2023秋 信阳期中）已知关于的不等式的解集是，，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据不等式的解集得出，且，是对应方程的解，由根与系数的关系以及二次函数的图象与性质，即可得出正确的判断．
【解答】解：关于的不等式的解集是，
所以，且，是一元二次方程的两个解；
由根与系数的关系知，，选项正确；
又，选项正确；
且，选项正确．
由二次函数的解集是，
且，和3是方程的两解，如图所示：
所以，选项错误．
故选：．
【例12】（2024秋 吉林期末）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是　　
A．
B．
C．
D．的解集为
【答案】
【分析】根据不等式的解集得出对应方程的解，以及，由此判断选项中的命题是否正确．
【解答】解：因为不等式的解集为或，
所以和3是方程的解，且，选项错误；
所以，解得，，选项错误；
所以，选项正确；
不等式可化为，即，
解得，所以不等式的解集为，选项正确．
故选：．
【例13】（2023秋 云南期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据不等式的解集求出、，代入不等式求解集即可．
【解答】解：因为关于的不等式的解集为，
所以2和3是方程的解，
由根与系数的关系得，，
所以不等式为，解得，
所以不等式的解集为，
故选：．
【例14】（2024秋 集安市月考）已知关于的不等式的解集为，，，则下列选项中正确的是　　
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
【答案】
【分析】根据不等式的解集得出方程的解，判断，由此求解即可．
【解答】解：因为不等式的解集为，，，
所以和3是方程的解，且，选项错误；
由根与系数的关系知，，所以，；
所以不等式，可化为，解得，所以不等式的解集为，选项错误；
因为，所以选项错误；
不等式可化为，即，
解得或，所以不等式的解集为，，，选项正确．
故选：．
【例15】（2024秋 大理市期末）若关于实数的不等式的解集是或，则关于的不等式的解集是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据一元二次不等式与方程的关系，结合韦达定理求得，，再代入不等式，即可求解．
【解答】解：关于的一元二次不等式的解集是或，
，2是一元二次方程的两个实数根，
，，即，，
不等式化为，解得，
不等式的解集为．
故选：．
【知识点4】一元二次不等式恒成立问题
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
例1：
【例16】（2024秋 武强县校级期末）时，不等式成立，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】问题转化为在，上有解，结合二次函数的性质即可求解．
【解答】解：时，不等式成立，
即在，上有解，
所以，
根据二次函数的性质可知，当时，取得最小值0，
故．
故选：．
【例17】（2024秋 中牟县期末）设，不等式恒成立的一个充分条件可以是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由题干不等式对恒成立，解出的取值范围，根据充分条件结合选项得出与答案．
【解答】解：不等式对恒成立时，当时恒成立，
当时，对恒成立，只需，
解得，
综上有当不等式对恒成立，，，
而，，，故由选项推出题中不等式对恒成立．
故选：．
【例18】（2025 芒市校级开学）一元二次不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】结合二次函数的性质，开口向上，判别式小于零解不等式组即可；
【解答】解：由题意可得，
由可得，
即．
故选：．
【例19】（2024秋 宁波期末）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为　　
A．3 B． C．4 D．
【答案】
【分析】分和两种情况讨论，结合二次函数的性质可得，且，，再利用基本不等式求解即可．
【解答】解：不等式对任意的恒成立，即不等式，
当时，不等式化为，这不可能对任意恒成立，
当时，则，
解得，且，，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为4．
故选：．
【例20】（2025 山东模拟）已知不等式对任意的恒成立，则实数的最小值 　　 ．
【答案】．
【分析】由已知不等式恒成立分离参数，然后结合恒成立与最值关系的转化及基本不等式即可求解．
【解答】解：对任意的恒成立，
则在恒成立，
因为，当且仅当，即时取等号，
故，即．
故答案为：．
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 临泉县月考）不等式的解集为　　
A．或 B．或
C． D．
2．（2024秋 鹤山市期末）一元二次不等式的解集为　　
A． B．
C． D．
3．（2024秋 吕梁期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值为　　
A． B． C． D．
4．（2024秋 金山区期末）当时，关于的不等式的解集为　　
A． B．
C． D．
5．（2024秋 大兴区期末）关于的不等式的解集不可能是　　
A． B．， C． D．，
6．（2024秋 佛山期末）若关于的方程有两相异实根，，且，则实数的取值范围是　　
A．，， B．
C． D．
7．（2024秋 固镇县期末）关于的不等式的解集中恰有1个整数，则实数的取值范围是　　
A．，， B．，，
C．， 2， D．，，4
8．（2024秋 屯溪区期末）若关于的不等式 在，上有解，则实数的最小值为　　
A．9 B．5 C．6 D．
9．（2024秋 宿迁期末）设，，为实数，不等式的解集是或，则的最大值为　　
A． B． C． D．
10．（2024秋 济南期末）若，，则实数的取值范围为　　
A． B．
C．，， D．，，
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025 余姚市模拟）关于的一元二次不等式的解集为，则下列成立的是　　
A． B． C． D．
（多选）12．（2024秋 西峰区期末）关于的不等式的解集为的充分不必要条件有　　
A． B． C． D．
（多选）13．（2024秋 南昌县期末）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是　　
A．
B．不等式的解集为
C．
D．的最小值为
（多选）14．（2024秋 日照期末）已知关于的不等式的解集为，则　　
A．
B．
C．不等式的解集为
D．的最小值为6
三．填空题（共4小题）
15．（2025春 宝山区月考）已知不等式的解集为，则实数 　　 ．
16．（2025 南通模拟）已知二次不等式的解集为，，，则的取值范围是 　　 ．
17．（2024秋 许昌期末）若不等式对任意，都成立，则实数的取值范围为 　　．
18．（2024秋 广东期末）当关于的不等式对一切实数都成立时，的取值范围是 　　 ．
四．解答题（共6小题）
19．（2024秋 朝阳期末）已知函数．
（1）若关于的不等式的解集为，求，的值；
（2）当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围．
20．（2024秋 普宁市期末）已知不等式的解集为．
（1）求实数，的值；
（2）解关于的不等式：为常数，且
21．（2024秋 西宁期末）已知关于的不等式．
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）若不等式的解集为，求的取值范围．
22．（2024秋 渭滨区期末）已知二次函数．
（1）当取何值时，不等式对一切实数都成立？
（2）若在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围．
23．（2025春 辽宁月考）已知函数．
（1）求关于的一元二次不等式的解集；
（2）若，，使得成立，求实数的取值范围．
24．（2025 开福区开学）已知函数．
（1）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B C D C C B C D
二．多选题（共4小题）
题号 11 12 13 14
答案 ABD AC AB ACD
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【分析】把不等式化为，求出解集即可．
【解答】解：不等式可化为，
即，解得或，
所以不等式的解集为或．
故选：．
2．【答案】
【分析】利用一元二次不等式的解法求解．
【解答】解：一元二次不等式可化为：，
即，
解得，
即不等式的解集为．
故选：．
3．【答案】
【分析】利用一元二次不等式与一元二次方程的关系，借助韦达定理计算即可得．
【解答】解：因为的解集为，
所以关于的一元二次方程的两个根分别为，2，
由根与系数的关系可得，，
解得，，
所以．
故选：．
4．【答案】
【分析】确定二次项的系数符号和两根的大小关系，直接写出解集即可．
【解答】解：时，，不等式可化为，
因为，
所以，
解原不等式，得，
所以原不等式的解集为．
故选：．
5．【答案】
【分析】根据一元二次不等式的解集情况，判断即可．
【解答】解：当，△时，则不等式的解集为，
当，△时，则不等式的解集为，，，
当，△时，则不等式的解集为，
当，△时，则不等式的解集为，
当，△时，则不等式的解集为，，
综上所述，关于的不等式的解集不可能是，．
故选：．
6．【答案】
【分析】根据两相异实根，，满足得到关于的不等式组，再解不等式组可得答案．
【解答】解：根据题意，方程有两相异实根，，且，
则，
得，
则的取值范围为．
故选：．
7．【答案】
【分析】利用一元二次不等式的解法，解不等式，根据不等式的解集中恰有1个整数解，确定解集的取值范围，即可求解
【解答】解：由，
得，
若，则不等式无解．
若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为，则．
若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为，则．
综上，满足条件的的取值范围是，，．
故选：．
8．【答案】
【分析】由已知先分离参数，结合存在性问题与最值关系的转化即可求解．
【解答】解：由题意得 有解，
即有解，
即，
因为时，，当且仅当时取等号，
故．
故选：．
9．【答案】
【分析】结合二次不等式与二次方程的转化关系及方程的根与系数关系可得，，的关系，代入到所求式子，结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为不等式的解集是或，
所以的根为1，3且，
则，，
即，，，
则，当且仅当，即时取等号．
故选：．
10．【答案】
【分析】分，和三种情况分类讨论，其中当时，利用判别式列不等式求解即可，最后求并集．
【解答】解：当时，不等式为，即，显然在有解，符合题意；
，命题“，”为真命题，
当时，对于抛物线，开口向上，
只需△，解得或，
又，所以或，
当时，对于抛物线，开口向下，
显然在有解，符合题意；
综上，实数的取值范围是或，即，，．
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】
【分析】由题意可得，是方程的解，由韦达定理可得，的值，进而可得正确的结论．
【解答】解：由题意可得，是方程的解，
可得，，可得，即，且，
所以可得，
可得正确，不正确；
故选：．
12．【答案】
【分析】先求充要条件，再利用充分不必要条件是充要条件的真子集，来作判断即可．
【解答】解：由关于的不等式的解集为的充要条件为△，
解得，
由，得，，
又由于，
所以，是关于的不等式的解集为的充分不必要条件，
故正确；
而选项是充要条件，故错误；
又因为，
所以选项是必要不充分条件，故错误．
故选：．
13．【答案】
【分析】利用二次不等式解与系数的关系得到，关于的表达式，结合基本不等式，逐一分析判断各选项即可得解．
【解答】解：因为关于的不等式的解集为，
所以，4是方程的两根，且，故正确；
所以，解得，
所以，即，则，解得，
所以不等式的解集为，故正确；
而，故错误；
因为，，，所以，
则，
当且仅当，即或时，等号成立，
与矛盾，所以取不到最小值，故错误．
故选：．
14．【答案】
【分析】由一元二次不等式和一元二次函数的关系分析，由根与系数的关系分析，由不等式的解法分析，结合基本不等式的性质分析，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，不等式的解集为，对应二次函数开口向下，
则，故正确；
对于，若和4是的两个根，则，
整理得，，则有，故错误；
对于，不等式为，
又由，则，解得，
不等式的解集为，故正确；
对于，，
当且仅当时，等号成立，即的最小值为6，正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】3．
【分析】根据一元二次不等式以及一元二次方程之间的关系求解即可．
【解答】解：因为不等式的解集为，
所以的根为和3，
可得：，解得，
故．
故答案为：3．
16．【答案】．
【分析】根据条件，利用一元二次不等式的解法及根与系数的关系，得，即可求解．
【解答】解：因为二次不等式的解集为，，
则的两根为，，
所以，
所以，
即，
整理得，
等价于，
解得或，
所以实数的取值范围：．
故答案为：．
17．【答案】，．
【分析】利用参变分离法将不等式化成，只需求函数在，上的最小值即得参数的取值范围．
【解答】解：由不等式对任意，都成立，
可得不等式对任意，都成立，
当，时，根据二次函数的性质可得，
故得，即实数的取值范围为，．
故答案为：，．
18．【答案】，．
【分析】根据不等式恒成立对二次项系数的取值进行分类讨论，再由判别式可解得的取值范围．
【解答】解：当时，不等式可化为，显然恒成立，
当时，若不等式对一切实数都成立，
需满足，且，即，
综上可得，．
故答案为：，．
四．解答题（共6小题）
19．【答案】（1），的值分别为，，或，．
（2）．
【分析】（1）根据不等式的解集得出一元二次方程的根，从而求得，值；
（2）结合二次函数的性质可知，判别式△，解不等式可得．
【解答】解：（1）若关于的不等式的解集为，
则，1是方程的两根，
所以，，
解得，或，；
（2）当时，，
若在上恒成立，即的图象与轴至多有一个交点，
则△，
即，解得，
故的取值范围是．
20．
【分析】（1）根据不等式的解集得出对应方程的两根，由根与系数的关系求出、的值．
（2）不等式为，讨论和，写出对应不等式的解集．
【解答】解：（1）因为不等式的解集为，
所以1和2是方程的两根，
由根与系数的关系知，，解得，．
（2）不等式即为，
由，则时，解不等式得，或；
时，解不等式得，或；
综上，时，不等式的解集为或；
时，不等式的解集为或．
21．【答案】（1）2；（2），．
【分析】（1）由已知可得，2是方程的两根，然后利用韦达定理建立方程即可求解；（2）分，两种情况讨论，根据二次函数的性质建立不等式即可求解．
【解答】解：（1）由已知可得，2是方程的两根，
则由韦达定理可得，解得；
（2）因为不等式的解集为，
当时，不等式化为，恒成立，
当时，要使不等式的解集为，只需，解得，
综上，实数的范围为，．
22．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据二次函数的性质以及不等式，建立不等式组，可得答案；
（2）利用分类讨论思想，分二次函数存在一个或两个零点的情况，结合零点的定义以及零点存在性定理，可得答案．
【解答】解：二次函数，
（1）因为不等式对一切实数都成立，
所以，解得．
（2）若在区间内恰有一个零点，
当在上仅有一个零点时，由△，解得，此时零点为，符合题意；
当在上有两个零点时，△，即且，
①当时，，则由解得另一个零点为，符合题意；
②当（1）时，，则由解得另一个零点为，符合题意；
③当（1）时，由零点存在定理，则（1），即，解得．
综上，在区间内恰有一个零点时，实数的取值范围为．
23．【答案】（1）当或时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当或时，原不等式的解集为，；
（2）．
【分析】（1）分类讨论求解含参数的一元二次不等式．
（2）根据给定条件，分离参数，利用基本不等式求出最小值即可．
【解答】解：（1）不等式，
△，
当时，△，原不等式无解；
当或时，△，原不等式解为；
当或时，△，由，解得，
不等式的解为，
综上可得，当或时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当或时，原不等式的解集为，；
（2）当，时，，
则，
而，当且仅当，即时取等号，
由，，使得成立，得，
所以实数的取值范围是．
24．【答案】（1）；
（2）当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为或．
【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立，讨论、，结合二次函数的性质列不等式求参数范围；
（2）由题设有，应用分类讨论求对应解集．
【解答】解：（1）由题意，对一切实数恒成立，
当时，不等式可化为，不满足题意；
当时，则有，解得；
故实数的取值范围是．
（2）不等式等价于，即，
当时，不等式可化为，解集为；
当时，的两根为，，
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为或；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为或．
综上所述，
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为或．
第1页 共1页

展开更多......

收起↑