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第6讲 函数的概念及其表示
【知识点1】函数的概念 2
【知识点2】函数的解析式 3
【知识点3】分段函数 4
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
常用结论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
【知识点1】函数的概念
函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法
(1)函数概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应．
(2)两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数．
例1：
【例1】（2025 五华区校级模拟）已知集合，，下列对应关系能构成函数的是　　
A．， B．， C．， D．，
【例2】（2023 青羊区校级模拟）给出下列4个函数，其中对于任意均成立的是　　
A． B．
C． D．
【例3】（2025 广东模拟）函数的定义域为　　
A．，， B．，，
C．， D．，
【例4】（2025 扬州校级模拟）已知函数的定义域为，，则函数的定义域为　　
A．， B．，
C． D．
【例5】（2025 泉州模拟）函数的值域为　　
A．， B．， C． D．，
【知识点2】函数的解析式
函数解析式的求法
(1)配凑法．(2)待定系数法．(3)换元法．(4)解方程组法．
例1：
【例6】（2025 台湾四模）若为二次函数且，，则的解析式为 　　．
【例7】（2025 重庆模拟）设定义域为的函数满足：，都有且为常数），则函数 　　 ．
【例8】（2025 河北模拟）已知定义在上的函数满足，且，试写出一个满足上述条件的的解析式：　　 ．
【例9】（2025 昆明模拟）已知函数是定义在上的奇函数，且当且仅当时，，则当时，的解析式为 　　 ．
【例10】（2024 怀仁市校级四模）已知集合，，，函数，若函数满足：对任意，存在，，使得，则的解析式可以是 　　．（写出一个满足条件的函数解析式即可）
【知识点3】分段函数
分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
例1：
【例11】（2024 罗山县二模）若，则的值为　　
A．0 B．1 C．2 D．
【例12】（2022 上虞区模拟）设函数，则（1）　　，若（a），则实数的取值范围是 　　．
【例13】（2020 西城区校级模拟）函数，满足的的取值范围　　
A． B． C．或 D．或
【例14】（2020 宝鸡二模）若，则（3）　　．
【例15】（2021 市中区校级模拟）已知函数，数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是 　　．
第1页 共1页第6讲 函数的概念及其表示
一．选择题（共10小题）
1．（2025 南京模拟）下列各组函数是同一函数的是　　
A．与 B．与
C．与 D．与
2．（2023 广西模拟）函数的定义域是　　
A． B． C． D．
3．（2025 黄冈二模）已知函数的定义域，值域，则满足条件的有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2025 潍坊模拟）已知且，与成正比例关系，其图象如图所示，且，则　　
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2025 日照二模）已知函数的值域为，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
6．（2025 福建模拟）存在函数满足：对任意都有　　
A． B． C． D．
7．（2025 惠东县模拟）把函数的图象按向量平移，得到的图象，则　　
A． B． C． D．
8．（2024 衡阳县模拟）新高考改革后，生物，化学，政治，地理采取赋分制度：原始分排名前的同学赋分分．若原始分的最大值为，最小值为，令为满足（a），（b）的一次函数．对于原始分为，的学生，将的值四舍五入得到该学生的赋分．已知小赵原始分96，赋分97；小叶原始分81，赋分95；小林原始分89，他的赋分是　　
A．95 B．96 C．97 D．96或97
9．（2025 焦作三模）已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为　　
A． B．
C． D．
10．（2025 山海关区模拟）已知函数，则的值域为　　
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2024 琼海模拟）已知函数的定义域和值域均为，，对于任意非零实数，，，函数满足：，且在上单调递减，（1），则下列结论错误的是　　
A．
B．
C．在定义域内单调递减
D．为奇函数
（多选）12．（2025 长沙模拟）已知且，则函数的图象可能是　　
A． B．
C． D．
（多选）13．（2025 江西模拟）已知函数，若存在，，使得在区间，上的值域为，，则　　
A．的取值范围是 B．的取值范围是
C． D．
（多选）14．（2024 福州模拟）定义在上的函数的值域为，且，则　　
A． B．（4）（1）
C． D．
三．填空题（共4小题）
15．（2025 湖北模拟）若函数的图象过点，则函数的图象一定经过点 　　．
16．（2025 松江区三模）已知函数，则的值域为 　　 ．
17．（2025 普陀区三模）函数的定义域是　 　．
18．（2023 大连模拟）已知定义在上的奇函数满足，则的一个解析式为　　．
四．解答题（共6小题）
19．（2025 涡阳县开学）
（1）画出的图象；
（2）若，求的范围；
（3）求的值域．
20．（2025春 清远期中）求下列函数的解析式．
（1）；
（2）是一次函数，且满足．
21．（2024秋 哈尔滨期末）已知函数是定义在上的奇函数．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）求当，时，函数的值域．
22．（2024秋 江西月考）已知函数，函数与函数的图象关于直线对称．
（1）求的解析式；
（2）求函数在区间内的值域．
23．（2025春 讷河市期中）（1）已知，求的表达式；
（2）已知奇函数的定义域为，当时，，求函数的解析式．
24．（2025春 清远期中）如图，定义在，上的函数的图象由一条线段及抛物线的一部分组成．
（1）求（4）的值及的解析式；
（2）若，求实数的值．
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C B D D A D C A
二．多选题（共4小题）
题号 11 12 13 14
答案 BC BCD AC ACD
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．
【解答】解：对于，，，，，两函数的对应关系不同，不是同一函数；
对于，，，，，，，两函数的对应关系不同，不是同一函数；
对于，，，，，，，，，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于，，，，，，，，两函数的定义域不同，不是同一函数．
故选：．
2．【分析】由题意可得，解不等式可得函数的定义域．
【解答】解：由题意可得，
解不等式可得
所以函数的定义域是，
故选：．
3．【答案】
【分析】先计算，得出，再根据函数的定义即可写出所有符合条件的函数．
【解答】解：令，则，
则，；，；，，．
故选：．
4．【答案】
【分析】先设，根据，求出，再根据指数式与对数式的转化，可求的值．
【解答】解：根据题意，因为与成正比例关系，所以可设，
又由函数的图象，时，，
故，则．
由，变形可得，
又，所以，必有．
故选：．
5．【答案】
【分析】由已知结合分段函数的性质及一次函数，对数函数的性质即可求解．
【解答】解：因为函数的值域为，
当时，，
故当时，单调递减，且，
即，解得．
故选：．
6．【答案】
【分析】利用函数的定义逐项判断得解．
【解答】解：对于，取得（1），取得（1），矛盾，不是；
对于，取得，取得，矛盾，不是；
对于，取得，取得，矛盾，不是；
对于，为上的增函数，对任意都有唯一的满足，则存在函数满足，是．
故选：．
7．【答案】
【分析】根据函数图象的变换法则即可得出答案．
【解答】解：依题意，函数的图象是由函数的图象向右平移2个单位而得到，
则．
故选：．
8．【答案】
【分析】由题意设，再根据赋分原理，列出和的范围，并表示，根据不等式，即可求解．
【解答】解：设，，，
，
，．
赋分是96或97．
故选：．
9．【答案】
【分析】根据图象分别判断的奇偶性，零点以及特殊值，排除即可．
【解答】解：根据图象可知，的图象关于轴对称，所以是偶函数，则，且函数过点，
对于，，不为偶函数，不符合题意，
对于，，不符合题意，
对于，当时，，不符合题意，
对于，满足，，以及时，，符合图象特征．
故选：．
10．【答案】
【分析】先结合三角恒等变形对进行化简，然后结合三角函数及二次函数的性质即可求解．
【解答】解：
，
令，，，
则可化为
根据二次函数的性质可得，，
所以．
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】
【分析】赋值法可判断，根据等比数列求和公式判断，利用奇偶函数的定义及赋值法判断，由函数的特例可判断．
【解答】解：对于，令，则，
因，故得，故正确；
对于，由，
令，则，
则，即，
故是以为首项，2为公比的等比数列，
于是，故错误；
对于，由题意，函数的定义域为，，，关于原点对称，
令，则①，
把，都取成，可得②，
将②式代入①式，可得，
化简可得，即为奇函数，故正确；
对于，在上单调递减，函数为奇函数，可得在上单调递减，
但是不能判断在定义域上的单调性，例如，故错误．
故选：．
12．【答案】
【分析】求出原函数的导函数，然后利用导函数的符号分析原函数的单调性与最值，逐一判断得答案．
【解答】解：由，得，
且，当时，（1），当时，，
故存在，使得，
当时，，单调递减，
当，时，，单调递增，
则，则函数的图象可能是，不可能是；
当时，（1），当时，，
故存在，使得，
当时，，单调递减，
当，时，，单调递增，
则，，，则，
当时，，故正确；
当时，，故正确．
故选：．
13．【答案】
【分析】由题意可得，是方程的两个根，可得方程有2个不相等的正根，，利用一元二次方程根的分布得所满足的条件，求解可判断，利用基本不等式计算可判断．
【解答】解：函数，若存在，，使得在区间，上的值域为，，
因为在，上单调递增，
所以，所以，是方程的两个根，
设，则，是方程的两个根，
因为，所以有2个不相等的正根，，
根据二次方程根的存在条件可得，，解得，故正确，错误．
由基本不等式，可得，
所以，故正确；
，
因为，所以，故错误．
故选：．
14．【答案】
【分析】由已知，利用赋值法分别检验各选项即可判断．
【解答】解：令，则，
函数的值域为，
，选项正确；
令，，则（2）（1），
令，，则（4）（2）（1），选项错误；
令，则，
，即，选项正确；
，，
，当且仅当时取等号，
，故选项正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】
【分析】由（1），令，解出的值，即可．
【解答】解：由题意知，（1），
令，则，
函数的图象过点．
故答案为：．
16．【答案】．
【分析】结合二次函数及对勾函数单调性及分段函数的性质即可求解．
【解答】解：因为，
当时，，
当时，单调递减，故，
则的值域为．
故答案为：．
17．【分析】由根式内部的代数式大于等于0且对数型函数的真数大于0联立不等式组求解的取值集合得答案．
【解答】解：要使函数游意义，应满足：
，，
解得．
函数的定义域为，．
故答案为：，．
18．【答案】（答案不唯一）．
【分析】根据已知条件可得到的周期为8，结合为奇函数，所以可以考虑三角函数（答案不唯一）．
【解答】解：为上的奇函数，，
又，用“”替换“ “，
，
，
的周期为8，
的一个解析式可以为．
故答案为：（答案不唯一）．
四．解答题（共6小题）
19．【分析】（1）利用分段函数画出函数的图象即可．
（2）通过函数的图象，转化求解不等式的解集即可．
（3）利用函数的图象，求解函数的值域即可．
【解答】解：（1）
画出的图象如图：；
（2）若，可得，解得的范围；
（3）由函数的图象可知：的值域，．
20．【答案】（1）；
（2）或．
【分析】（1）利用换元法可得答案；
（2）设代入，根据多项式相等可得答案．
【解答】解：（1）令，则，
所以，
可得；
（2）设，
所以，
可得，解得或，
所以或．
21．【答案】（1）；（2）．
【分析】（Ⅰ）根据是上的奇函数得出，然后即可求出，的值，进而得出的解析式；
（Ⅱ）根据的范围可求出的范围，然后根据二次函数的最值求法求出的最大值和最小值，进而得解．
【解答】解：（Ⅰ）是上的奇函数，
，即，
，
，，
；
（Ⅱ），
，，
，，
时取最小值；时，取最大值2，
的值域为．
22．【答案】（1）；
（2），．
【分析】（1）由指数函数与对数函数的关系结合题设即可得解；
（2）由（1）结合得，再结合一元二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）因为函数与函数的图象关于直线对称，
所以函数与函数互为反函数，所以．
（2）由（1），
令，若，则，
所以，在上单调递减，在，上单调递增，
且（1），（4），（3）
所以当时，，
所以函数在区间内的值域为，．
23．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）在原式中用替换，得，与原式联立方程组，求解即可．
（2）设，可得出，求出的表达式，利用奇函数的性质可得出函数在时的解析式．
【解答】解：因为，
所以，
消去，得．
所以．
（2）因为奇函数的定义域为，所以．
当时，，又当时，，
所以，
所以．
故．
24．【分析】（1）运用待定系数法设出解析式，再把已知点代入求解即可；
（2）分段求解，符合题意的保留，不符合题意的舍去．
【解答】解：（1）根据图象可知（4），（4），
设
因为过点和点代入可得：，
即
当时，，
因为过点，，，代入可得：
所以；
（2），
当时，，符合题意；
当时，即，（舍去）
故，第6讲 函数的概念及其表示
【知识点1】函数的概念 2
【知识点2】函数的解析式 4
【知识点3】分段函数 7
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
常用结论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
【知识点1】函数的概念
函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法
(1)函数概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应．
(2)两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数．
例1：
【例1】（2025 五华区校级模拟）已知集合，，下列对应关系能构成函数的是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】根据函数的定义逐一判断即可．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，则，按照对应关系，集合中每个元素，在集合中都有唯一元素与之对应，故正确；
对于，取，则，故错误；
对于，取，则，故错误；
对于，，，按照对应关系，集合中每个元素，在集合中都有唯一元素与之对应，故正确．
故选：．
【例2】（2023 青羊区校级模拟）给出下列4个函数，其中对于任意均成立的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】从函数的定义出发进行分析，任意只能对应唯一的，否则不满足，由此可排除选项，，．
【解答】解：对于，取，则，取，则有，故不成立；
对于，取，则，取，则，故不成立；
对于，取，则（6），取，则（6），故不成立；
对于，令，，则由，
可得，即，
故，故成立．
故选：．
【例3】（2025 广东模拟）函数的定义域为　　
A．，， B．，，
C．， D．，
【答案】
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0，联立不等式组求解．
【解答】解：要使原函数有意义，则，解得且．
函数的定义域为，，．
故选：．
【例4】（2025 扬州校级模拟）已知函数的定义域为，，则函数的定义域为　　
A．， B．，
C． D．
【答案】
【分析】根据抽象函数定义域的求法，列出方程组，即可求得答案．
【解答】解：因为的定义域是，，所以，
根据抽象函数定义域求法，在函数中，
，解得且，
则定义域为．
故选：．
【例5】（2025 泉州模拟）函数的值域为　　
A．， B．， C． D．，
【答案】
【分析】求出函数定义域，再利用单调性求出值域．
【解答】解：函数的定义域为，，
又在，上单调递增，
，
故的值域为，．
故选：．
【知识点2】函数的解析式
函数解析式的求法
(1)配凑法．(2)待定系数法．(3)换元法．(4)解方程组法．
例1：
【例6】（2025 台湾四模）若为二次函数且，，则的解析式为 　　．
【答案】．
【分析】利用待定系数法和对应思想的应用求出结果．
【解答】解：设，
由于，所以，
又因为，
所以，
故，解得，
所以．
故答案为：．
【例7】（2025 重庆模拟）设定义域为的函数满足：，都有且为常数），则函数 　　 ．
【答案】．
【分析】由已知函数关系，运用赋值法可求解．
【解答】解：定义域为的函数满足：，都有，
由①，
令可得②，
在②中，令，则③，
由②可得，④，
由①可得，⑤，
由②可得，⑥，
则由③④⑤⑥可得，，即，
因，则．
故答案为：．
【例8】（2025 河北模拟）已知定义在上的函数满足，且，试写出一个满足上述条件的的解析式：　　 ．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】根据函数的递推关系，可猜想函数为，验证即可．
【解答】解：根据题意可知，中间符号为“”， 前后两个代数式中间符号为“”，
类比两角差的余弦公式，
但，猜测的一个解析式为．
检验，，
，
，满足题意，
又，满足题意，
故的一个解析式为．
故答案为：（答案不唯一）．
【例9】（2025 昆明模拟）已知函数是定义在上的奇函数，且当且仅当时，，则当时，的解析式为 　　 ．
【答案】．
【分析】利用奇函数的定义，将求时的解析式转化为时的情况，直接代入已知解析式即可．
【解答】解：设时，，，
因为是奇函数，所以，
所以当时，．
故答案为：．
【例10】（2024 怀仁市校级四模）已知集合，，，函数，若函数满足：对任意，存在，，使得，则的解析式可以是 　　．（写出一个满足条件的函数解析式即可）
【答案】．
【分析】先将表示出来，再赋值即可．满足（1），且一次项系数不为零的所有一次或者二次函数解析式均正确．
【解答】解：，
令，则，
，取，则．
故答案为：．
【知识点3】分段函数
分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
例1：
【例11】（2024 罗山县二模）若，则的值为　　
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】
【分析】利用函数的解析式知道当时是以2周期的周期函数，故（2），再代入函数解析式即得
【解答】解：
当时，（2），
当时即（2）
故选：．
【例12】（2022 上虞区模拟）设函数，则（1）　　，若（a），则实数的取值范围是 　　．
【答案】；，，．
【分析】依据分段函数的定义去求（1）的值；分类讨论关于的不等式组，去求的取值范围．
【解答】解：函数，
（1），
（1）；
（a）或，
解得或，
若（a），则实数的取值范围是，，．
故答案为：；，，．
【例13】（2020 西城区校级模拟）函数，满足的的取值范围　　
A． B． C．或 D．或
【答案】
【分析】分和两种情况解不等式，解指数不等式时，要化为同底的指数不等式，再利用指数函数的单调性来解．
【解答】解：当时， 即，，，，
当时， 即，，
综上， 或，
故选：．
【例14】（2020 宝鸡二模）若，则（3）　　．
【分析】先求出（3）来，再求（3），一定要注意定义域选择好解析式．
【解答】解：（3）
（3）
故答案为．
【例15】（2021 市中区校级模拟）已知函数，数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是 　　．
【分析】由函数，数列满足，且是递增数列，我们易得函数为增函数，根据分段函数的性质，我们可得函数在各段上均为增函数，根据一次函数和指数函数单调性，我们易得，且，且（7）（8），由此构造一个关于参数的不等式组，解不等式组即可得到结论．
【解答】解：数列是递增数列，
又
，
且（7）（8）
解得，或
故实数的取值范围是
故答案为：
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