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第7讲 函数的单调性与最值
【知识点1】函数的单调性与函数图象的特征 2
【知识点2】定义法求解函数的单调性 6
【知识点3】求函数的单调区间 11
【知识点4】由函数的单调性求解函数或参数 14
【知识点5】复合函数的单调性 18
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定 义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果 x1，x2∈I
当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减， 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足
条件 (1) x∈D，都有f(x)≤M； (2) x0∈D，使得f(x0)＝M (1) x∈D，都有f(x)≥M； (2) x0∈D，使得f(x0)＝M
结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值
常用结论
1． x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0) f(x)在区间I上单调递增(减)．
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
4．复合函数的单调性：同增异减．
【知识点1】函数的单调性与函数图象的特征
1. 从图象判断单调性
函数图象从左到右上升，则函数在对应区间单调递增；图象从左到右下降，则函数在对应区间单调递减．对于分段函数，需分别观察每一段图象的升降趋势．
2. 图象特征与单调性的关系
极值点：图象的 “峰”“谷” 对应函数的极大值点和极小值点，在极值点两侧函数单调性会发生改变．
渐近线：若函数存在水平渐近线或垂直渐近线，渐近线附近的图象趋势能反映函数的单调性变化 ．
对称性：偶函数关于轴对称，在轴两侧单调性相反；奇函数关于原点对称，在原点两侧单调性相同，可利用对称性由已知区间的单调性推出未知区间的单调性．
例1：
【例1】（2024秋 双流区期中）已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为　　
A．，， B．，，
C．， D．，
【答案】
【分析】由图象上升下降的情况判断即可．
【解答】解：函数的图象在区间和是下降的，在区间和是上升的，
故该函数的减区间为，．
故选：．
【例2】（2024秋 金昌期中）如图是函数的图象，其定义域为，，则函数的单调递减区间是　　
A．， B．， C．，，， D．，，
【答案】
【分析】根据函数单调性的定义可解．
【解答】解：由函数单调递减的定义可知对应图象呈下降趋势，根据函数图象可知，的单调递减区间为，和，．
故选：．
【例3】（2024春 嘉禾县期中）如图所示，函数在下列哪个区间上单调递增　　
A．， B．，， C．， D．，
【答案】
【分析】利用函数图象上升所对区间确定函数单调递增区间即可．
【解答】解：观察函数图象，在，、，上随的增大，函数的图象是下降的，
在，上随的增大，函数的图象是上升的，
因此函数在，、，上单调递减，在，上单调递增，
所以函数在，上是增函数．
故选：．
【例4】（2023秋 麒麟区期中）如图是函数的图象，则函数的单调递减区间为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据题意，由函数的图象分析即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数图象在上是下降趋势，则的单调递减区间为：．
故选：．
【例5】（2023秋 富阳区月考）若定义在上的函数的图像如图所示，则其单调递减区间是 　，和，　．
【答案】，和，．
【分析】根据题意，由函数的单调性的定义结合图像，分析可得到结果．
【解答】解：根据题意，的图象在，和，上呈下降趋势，该函数单调递减，
则其单调递减区间是，和，．
故答案为：，和，．
【知识点2】定义法求解函数的单调性
1. 基本步骤
设值：设，是给定区间内的任意两个值，且．
作差：计算，通过因式分解、通分、配方等方法变形．
定号：结合，的取值范围判断的正负，进而确定函数单调性．
结论：根据定号结果得出函数在给定区间的单调性．
2. 注意事项
设值时强调，的任意性，确保结论适用于整个区间．
作差变形根据函数形式选方法，如分式函数常用通分，二次函数常用配方．
定号时充分考虑，取值范围对式子正负性的影响．
例1：
【例6】（2025春 花山区月考）已知函数为奇函数，且（1）．
（1）求的解析式；
（2）求证：在区间，上单调递增．
【答案】（1）；
（2）证明见解析．
【分析】（1）根据（1）求出参数的值，再根据（1），求出参数的值，最后检验即可．
（2）根据单调性的定义求出即可．
【解答】解：（1）根据题意，函数，其定义域为，，，
若函数为奇函数，则有（1），即，解得，
又（1），解得，所以，
若，其定义域为，，，关于原点对称，
且，则为奇函数，符合题意；
故；
（2）证明：任意的，，，且，
有，
由，可得，，
则，即，
所以在区间，上单调递增．
【例7】（2024秋 邢台期末）已知函数．
（1）证明：函数在区间上是增函数；
（2）当，，求函数的值域．
【答案】（1）证明见解析；
（2），．
【分析】（1）利用函数的单调性的定义证明即得；
（2）利用已证的函数单调性，即可求得函数在给定区间上的值域．
【解答】解：（1）证明：函数，
任取，，且，
由，
因，故，，故，
即函数在区间上是增函数；
（2）由（1）的结论：函数在，上也是增函数，
则（2）（6），即，
故函数的值域为，．
【例8】（2024秋 孝南区期末）已知函数是定义在，上的奇函数，且（1）．
（1）求的解析式；
（2）判断的单调性，并利用定义证明你的结论．
【答案】（1）；
（2）在，上单调递增，证明见解析．
【分析】（1）由，（1），解方程求出，，即可求出的解析式；
（2）在，上是增函数，由单调性的定义证明即可．
【解答】解：（1）根据题意，函数是定义在，上的奇函数，
则，变形可得，
则，由，得，
所以，经检验，符合题意．
（2）在，上单调递增，
证明如下：
设，，，且，
则，
又，所以，因为，，，所以，
所以，则，
故在，上单调递增．
【例9】（2025 山东模拟）已知定义域为的奇函数，且时，．
（1）求时的解析式；
（2）求证：在，上为增函数．
【答案】（1）；
（2）证明见解析．
【分析】（1）利用函数的奇偶性求解析式即可；
（2）利用定义法证明单调性即可．
【解答】解：（1）定义域为的奇函数，
则当时，，
故
证明：（2）任取，
则，
因为，所以，
所以，
即，
所以在，上为增函数．
【例10】（2025 扬州模拟）已知函数满足．
（1）求的解析式；
（2）用定义法证明在上单调递减．
【答案】（1）；
（2）证明见解析．
【分析】（1）根据题意，由换元法代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由单调性的定义法代入计算，即可证明．
【解答】解：（1）由于，
则的定义域为，
由，
则，
故的解析式为，．
（2）证明：任取，，令，
则，
因为，，，
所以，，
从而，即，
故在上单调递减．
【知识点3】求函数的单调区间
1. 基本初等函数
一次函数：，时在上单调递增；时在上单调递减．
二次函数：，先由对称轴公式确定对称轴，再根据的正负判断单调区间．
指数函数：，时在上单调递增；时在上单调递减．
对数函数：，时在上单调递增；时在上单调递减．
2. 复合函数
利用 “同增异减” 原则．设，令，分别确定和的单调区间，再根据原则判断的单调区间．
3. 复杂函数
对于分式函数、根式函数等，先求定义域，再通过求导、换元等方法确定单调区间．
对于含绝对值的函数，通过去绝对值符号转化为分段函数，分别求每一段的单调区间．
例1：
【例11】（2024秋 苏州期末）函数的单调递减区间为　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】利用复合函数的单调性可求得函数的减区间．
【解答】解：对于，根据，可得或，
因此的定义域为，，，
由于内层函数在，上为增函数，在区间，上为减函数，
外层函数在，上为增函数，
由复合函数的单调性可知，函数的减区间为，．
故选：．
【例12】（2024秋 无锡期中）函数的单调增区间是　　
A． B．
C． D．，
【答案】
【分析】求出函数的定义域，根据反比例函数的性质及函数的变换规则判断即可．
【解答】解：函数的定义域为，
又的图象是由向右平移2个单位得来，
的单调递增区间为，，
所以的单调递增区间为，．
故选：．
【例13】（2024秋 孝义市月考）函数的单调增区间为　　
A． B．
C．，， D．，
【答案】
【分析】先分离常数，再结合复合函数的单调性求解即可．
【解答】解：函数，定义域为，
且的单调递减区间为，，
故函数的单调增区间为，，
故选：．
【例14】（2024 江西模拟）函数的一个单调递减区间为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】结合偶函数的性质，以及复合函数的单调性判断方法，即可求解．
【解答】解：，
令，
则，由复合函数的单调性可知的单调递减区间为函数的单调递减区间，
又函数为偶函数，
函数的单调递减区间为和，
故的单调递减区间为和．
故选：．
【例15】（2024秋 齐齐哈尔期中）函数的单调递增区间为 　，　．
【答案】，．
【分析】根据复合函数的单调即可求解．
【解答】解：由题意，，解得，
即函数的定义域为，，
令，函数图象开口向下，对称轴为，
所以函数在，上单调递增，在，上单调递减，
又在定义域上单调递增，
由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为，．
故答案为：，．
【知识点4】由函数的单调性求解函数或参数
1. 求解函数值
已知函数单调性，若，函数单调递增时；单调递减时，借此比较函数值大小或求解不等式．
2. 求解参数
根据单调性定义求解：函数在区间上单调递增，则对任意，且恒成立；单调递减则恒成立，建立不等式求解参数范围．
根据导数与单调性的关系求解：函数在区间上可导且单调递增，则在区间上恒成立（注意等号情况）；单调递减则恒成立，通过求解不等式得到参数取值范围．
例1：
【例16】（2025 保定二模）若函数在，上单调，则的取值范围是　　
A．， B．， C．，， D．，，
【答案】
【分析】根据指数函数的单调性可知，．对的取值范围进行分类讨论去绝对值，结合指数函数的单调性即可求解．
【解答】解：当，时，
因为函数在上单调递增，
可知，．
当，时，，
所以，
此时在，上单调递增；
当时，
则，
则在，上先单调递减，再单调递增；
当，时，，
所以，
则在，上单调递减．
综上，要使函数在，上单调，
则，，．
故选：．
【例17】（2025 河南模拟）若函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】当时，由对数的性质可得；当时，由，可得，再由临界值的大小关系求解即可．
【解答】解：当时，单调递增，故；
当时，若单调递增，
则在区间，上恒成立，
只需，
即当时，，得．
又函数是增函数，
则，解得，
所以的取值范围为，．
故选：．
【例18】（2025 黄冈模拟）设函数，对，有成立，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C． D．，
【答案】
【分析】根据条件得到在上单调递增，再利用分段函数的单调性，列不等式组，即可求解．
【解答】解：根据题意，函数，对，有成立，
则在上单调递增，必有，
解得，即的取值范围为，．
故选：．
【例19】（2025 南通模拟）已知函数在区间单调递增，则的取值范围是　　
A． B．， C．， D．，
【答案】
【分析】根据题意，由函数的单调性的定义可得关于的不等式式组，解可得答案．
【解答】解：根据题意，函数在区间单调递增，
则有，解可得，即的取值范围为，．
故选：．
【例20】（2025春 清远期中）已知函数，若对上的任意实数，，恒有成立，那么实数的取值范围是　　
A． B．， C． D．
【答案】
【分析】根据是上的减函数，列出不等式组，解该不等式组即可得答案．
【解答】解：根据题意，若对上的任意实数，，恒有成立，
假设，必有，
故函数是定义域为的减函数，
而函数，必有，即，解得，
故实数的取值范围是．
故选：．
【知识点5】复合函数的单调性
1. 确定函数构成
明确复合函数是由哪几个基本函数复合而成．
2. 分别分析内外函数单调性
根据函数类型确定外层函数和内层函数各自的单调区间．
3. 利用 “同增异减” 原则
结合内外函数的单调区间和 “同增异减” 原则确定复合函数的单调区间，同时要注意内层函数的值域需满足外层函数的定义域要求．
例1：
【例21】（2025 南通模拟）已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据同增异减可得的增减性，故可求实数的取值范围．
【解答】解：，
设，则为上的增函数，
要使在内单调递增，
则在内单调递增，且在内恒成立，
所以，解得．
故选：．
【例22】（2025 安丘市模拟）已知，则函数的单调递增区间为　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】求解的值，然后利用复合函数的单调性求解即可．
【解答】解：，可得．
二次函数，开口向上，是对称轴，，是二次函数的单调增区间，
由复合函数的单调性求值，函数的单调递增区间为，．
故选：．
【例23】（2025春 湖北期中）已知函数在区间，上单调递减，则实数的取值范围为　　
A．， B． C．， D．，
【答案】
【分析】根据题意，设，则，由复合函数单调性的判断方法可得关于的不等式，解可得答案．
【解答】解：根据题意，函数，设，则，
若函数在区间，上单调递减，而在上递增，
则在区间，上单调递减且恒成立，
则有，解可得，即的取值范围为，．
故选：．
【例24】（2025 枣庄模拟）若函数在，上单调递减，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由复合函数的单调性法则可知，在，上单调递增，由此可得答案．
【解答】解：由于在上单调递减，
则由复合函数的单调性法则可知，在，上单调递增，
可得，即．
故选：．
【例25】（2025 广东模拟）已知函数在区间，上单调递增，则实数的取值范围是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】由复合函数的单调性把问题转化为二次函数在区间，上单调递增且恒大于0，由此列关于的不等式组求解．
【解答】解：令，
函数在区间，上单调递增，
在区间，上单调递增且恒大于0，
则，解得．
实数的取值范围是．
故选：．
第1页 共1页第7讲 函数的单调性与最值
【知识点1】函数的单调性与函数图象的特征 2
【知识点2】定义法求解函数的单调性 5
【知识点3】求函数的单调区间 6
【知识点4】由函数的单调性求解函数或参数 8
【知识点5】复合函数的单调性 9
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定 义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果 x1，x2∈I
当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减， 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足
条件 (1) x∈D，都有f(x)≤M； (2) x0∈D，使得f(x0)＝M (1) x∈D，都有f(x)≥M； (2) x0∈D，使得f(x0)＝M
结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值
常用结论
1． x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0) f(x)在区间I上单调递增(减)．
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
4．复合函数的单调性：同增异减．
【知识点1】函数的单调性与函数图象的特征
1. 从图象判断单调性
函数图象从左到右上升，则函数在对应区间单调递增；图象从左到右下降，则函数在对应区间单调递减．对于分段函数，需分别观察每一段图象的升降趋势．
2. 图象特征与单调性的关系
极值点：图象的 “峰”“谷” 对应函数的极大值点和极小值点，在极值点两侧函数单调性会发生改变．
渐近线：若函数存在水平渐近线或垂直渐近线，渐近线附近的图象趋势能反映函数的单调性变化 ．
对称性：偶函数关于轴对称，在轴两侧单调性相反；奇函数关于原点对称，在原点两侧单调性相同，可利用对称性由已知区间的单调性推出未知区间的单调性．
例1：
【例1】（2024秋 双流区期中）已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为　　
A．，， B．，，
C．， D．，
【例2】（2024秋 金昌期中）如图是函数的图象，其定义域为，，则函数的单调递减区间是　　
A．， B．， C．，，， D．，，
【例3】（2024春 嘉禾县期中）如图所示，函数在下列哪个区间上单调递增　　
A．， B．，， C．， D．，
【例4】（2023秋 麒麟区期中）如图是函数的图象，则函数的单调递减区间为　　
A． B． C． D．
【例5】（2023秋 富阳区月考）若定义在上的函数的图像如图所示，则其单调递减区间是 　，和，　．
【知识点2】定义法求解函数的单调性
1. 基本步骤
设值：设，是给定区间内的任意两个值，且．
作差：计算，通过因式分解、通分、配方等方法变形．
定号：结合，的取值范围判断的正负，进而确定函数单调性．
结论：根据定号结果得出函数在给定区间的单调性．
2. 注意事项
设值时强调，的任意性，确保结论适用于整个区间．
作差变形根据函数形式选方法，如分式函数常用通分，二次函数常用配方．
定号时充分考虑，取值范围对式子正负性的影响．
例1：
【例6】（2025春 花山区月考）已知函数为奇函数，且（1）．
（1）求的解析式；
（2）求证：在区间，上单调递增．
【例7】（2024秋 邢台期末）已知函数．
（1）证明：函数在区间上是增函数；
（2）当，，求函数的值域．
【例8】（2024秋 孝南区期末）已知函数是定义在，上的奇函数，且（1）．
（1）求的解析式；
（2）判断的单调性，并利用定义证明你的结论．
【例9】（2025 山东模拟）已知定义域为的奇函数，且时，．
（1）求时的解析式；
（2）求证：在，上为增函数．
【例10】（2025 扬州模拟）已知函数满足．
（1）求的解析式；
（2）用定义法证明在上单调递减．
【知识点3】求函数的单调区间
1. 基本初等函数
一次函数：，时在上单调递增；时在上单调递减．
二次函数：，先由对称轴公式确定对称轴，再根据的正负判断单调区间．
指数函数：，时在上单调递增；时在上单调递减．
对数函数：，时在上单调递增；时在上单调递减．
2. 复合函数
利用 “同增异减” 原则．设，令，分别确定和的单调区间，再根据原则判断的单调区间．
3. 复杂函数
对于分式函数、根式函数等，先求定义域，再通过求导、换元等方法确定单调区间．
对于含绝对值的函数，通过去绝对值符号转化为分段函数，分别求每一段的单调区间．
例1：
【例11】（2024秋 苏州期末）函数的单调递减区间为　　
A．， B．， C．， D．，
【例12】（2024秋 无锡期中）函数的单调增区间是　　
A． B．
C． D．，
【例13】（2024秋 孝义市月考）函数的单调增区间为　　
A． B．
C．，， D．，
【例14】（2024 江西模拟）函数的一个单调递减区间为　　
A． B． C． D．
【例15】（2024秋 齐齐哈尔期中）函数的单调递增区间为 　，　．
【知识点4】由函数的单调性求解函数或参数
1. 求解函数值
已知函数单调性，若，函数单调递增时；单调递减时，借此比较函数值大小或求解不等式．
2. 求解参数
根据单调性定义求解：函数在区间上单调递增，则对任意，且恒成立；单调递减则恒成立，建立不等式求解参数范围．
根据导数与单调性的关系求解：函数在区间上可导且单调递增，则在区间上恒成立（注意等号情况）；单调递减则恒成立，通过求解不等式得到参数取值范围．
例1：
【例16】（2025 保定二模）若函数在，上单调，则的取值范围是　　
A．， B．， C．，， D．，，
【例17】（2025 河南模拟）若函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
【例18】（2025 黄冈模拟）设函数，对，有成立，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C． D．，
【例19】（2025 南通模拟）已知函数在区间单调递增，则的取值范围是　　
A． B．， C．， D．，
【例20】（2025春 清远期中）已知函数，若对上的任意实数，，恒有成立，那么实数的取值范围是　　
A． B．， C． D．
【知识点5】复合函数的单调性
1. 确定函数构成
明确复合函数是由哪几个基本函数复合而成．
2. 分别分析内外函数单调性
根据函数类型确定外层函数和内层函数各自的单调区间．
3. 利用 “同增异减” 原则
结合内外函数的单调区间和 “同增异减” 原则确定复合函数的单调区间，同时要注意内层函数的值域需满足外层函数的定义域要求．
例1：
【例21】（2025 南通模拟）已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【例22】（2025 安丘市模拟）已知，则函数的单调递增区间为　　
A．， B．， C．， D．，
【例23】（2025春 湖北期中）已知函数在区间，上单调递减，则实数的取值范围为　　
A．， B． C．， D．，
【例24】（2025 枣庄模拟）若函数在，上单调递减，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【例25】（2025 广东模拟）已知函数在区间，上单调递增，则实数的取值范围是　　
A． B．
C． D．
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