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第9讲 函数的对称性
【知识点1】判断函数的对称性 1
【知识点2】利用对称性求函数值或解析式 5
【知识点3】对称性与奇偶性、周期性的综合应用 8
【知识点4】利用对称性解不等式或方程 13
1．奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称．
(2)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝a；若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(a,0)．
2．若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称；
若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a,0)对称．
3．两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．
【知识点1】判断函数的对称性
1.轴对称：
验证是否对某常数a恒成立．
若为多项式函数，观察是否满足（整理后各项系数为0）．
2.中心对称：
验证是否对某常数a,b恒成立．
若为多项式函数，观察是否满足（整理后各项系数为0）．
技巧：
二次函数必关于对称．
三次函数必关于其拐点中心对称．
例1：
【例1】（2025 四川模拟）已知函数，则函数的图象　　
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
【答案】
【分析】由函数的奇偶性可得为奇函数，再结合函数的平移变换即可得到结果．
【解答】解：因为，则为奇函数，
函数的图象可由的图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，
所以函数的图象关于点对称．
故选：．
【例2】（2024春 潮阳区期中）定义在上的函数满足．若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是　　
A． B． C．（4） D．（6）
【答案】
【分析】根据，令，可求得（2），再根据函数的对称性可得（6）及，再令，可求得，即可得出答案．
【解答】解：因为函数满足，
所以（2）（2），所以（2），
又的图象关于直线对称，
所以（6）（2），且，
则，
所以，
所以，
无法求出，（4）．
故选：．
【例3】（2025 苏州三模）已知函数，定义域为的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，，，，，，，则　　
A．0 B．4 C．8 D．12
【答案】
【分析】先判断函数与的图象都关于对称，然后结合对称性即可求解．
【解答】解：因为，
显然为奇函数，图象关于原点对称，
故的图象关于对称，
因为，则的图象也关于对称，
则与的交点也关于对称，
若函数与的图象有四个交点，分别为，，，，，，，，
则．
故选：．
【例4】（2024秋 衢州期末）已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】令，然后判断的奇偶性，进而可求的对称性．
【解答】解：令
则，
所以为奇函数，图象关于原点对称，
所以的图象关于对称．
故选：．
【例5】（2024 泸州模拟）已知函数满足，若函数与图象的交点横坐标分别为，，，，则　　
A． B． C． D．0
【答案】
【分析】依题意可得，即可得到函数的图象关于对称，再根据对称性计算可得结论．
【解答】解：因为，
所以，
所以函数的图象关于对称，
又函数关于对称，
则与 的交点应为偶数个，且关于对称，
所以．
故选：．
【知识点2】利用对称性求函数值或解析式
1.利用对称性建立等式：
若关于对称，则，代入已知点求未知值．
若关于对称，f(x)=2b-f(2a-x)，用于递推或构造方程．
2.对称变换法：
若关于对称，则（g为偶函数）．
若关于对称，则f(x)=b+h(x-a)（h为奇函数）．
例1：
【例6】（2025 梅河口市二模）已知函数为上的奇函数，若函数与的图象关于点对称，则（4）　　
A．1 B．0 C． D．
【答案】
【分析】由已知结合函数的对称性及奇函数的性质进行转化即可求解．
【解答】解：已知函数是上的奇函数，即，且．
函数与的图像关于点对称，
根据对称的定义，对于上的任意一点，对应的上的点为，
因此，当时，有，
令，则，代入得，
代入，得（4），
因此（4）．
故选：．
【例7】（2024秋 温州期末）已知函数．
（1）求（1）的值；
（2）求函数的定义域；
（3）证明：曲线是中心对称图形．
【答案】（1）0；
（2），，；
（3）证明见解析．
【分析】（1）根据对数函数的性质即可求解；
（2）根据对数函数的定义域即可求解；
（3）结合（1），（2）即可求解；
【解答】解：（1）；
（2）令，则，即，得或，
所以函数的定义域是，，；
（3）证明如下：由函数的定义域，结合第（1）问（1）知，
若曲线是中心对称图形，对称中心一定是，
又，
故曲线关于点中心对称．
【例8】（2024秋 谷城县期中）已知定义在上的函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则　　
A． B． C．2 D．1
【答案】
【分析】由函数的奇偶性和周期性求出即可．
【解答】解：因为对，都有，
所以，即是以4为周期的周期函数，
因为函数的图象关于直线对称，所以，
即，所以是偶函数，
所以（1），
由，令，可得（1），解得（1），
所以．
故选：．
【例9】（2024秋 鼓楼区期中）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则（1）　　
A．0 B．2024 C．4051 D．8102
【答案】
【分析】根据给定条件，求出函数的对称中心，再利用对称性求出函数值的和．
【解答】解：依题意，，
则，
显然，即函数是奇函数，
因此函数的对称中心为，即，
所以（1）
．
故选：．
【例10】（2024秋 淮阴区月考）若偶函数满足，且当时，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】分析可知的一个周期为2，根据周期性结合偶函数性质以及对数运算求解．
【解答】解：因为，则，
又因为为偶函数，则，
可得，可知的一个周期为2，
因为，且，
可得，且，
所以．
故选：．
【知识点3】对称性与奇偶性、周期性的综合应用
1.对称性与周期性的关系：
若函数有两条对称轴和（），则周期．
若函数有一个对称中心和一条对称轴（），则周期．
若函数有两个对称中心和（），则周期．
2.奇偶性与对称性的结合：
奇函数+关于对称周期．
偶函数+关于对称周期．
例1：
【例11】（2025 黑龙江模拟）函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则下列说法错误的是　　
A．为偶函数 B．为周期函数且周期为12
C．（4） D．
【答案】
【分析】用代替，可得，可判断；用替换，结合偶函数的性质可得正确；用替换，结合偶函数的性质可得正确；由函数的周期性可得错误．
【解答】解：因为，
所以，
所以，
所以（2），所以（2），
又（4）（2），所以（4）（2），所以选项正确；
因为，所以，
所以，所以为偶函数，所以选项正确；
因为，所以，
所以，所以，
所以，即．
所以，
故是以12为周期的周期函数，所以选项正确；
（6），
所以（6）（4）（4）（2）；
（8）（2），（4），，
所以，所以选项错误．
故选：．
【例12】（2025 李沧区模拟）已知函数是上的奇函数，且，当，时，，则　　
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】
【分析】根据题意可得，，从而可得，进而可得的周期为4，再利用函数的周期性，即可求解．
【解答】解：因为是上的奇函数，
所以，且，又，
所以，
所以，
所以，所以的周期为4，
由，可得，
所以（1）（3）（2）（4），
所以（1）（2）（3）（4），
又（1），
所以根据周期性可得（1）（2）（3）（4）
．
故选：．
【例13】（2025 鹤山区二模）已知函数的定义域为，若为奇函数，且为偶函数，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用奇偶函数得到周期为8，且，即可求得结果．
【解答】解：函数的定义域为，
为奇函数，
，
①；
令，得到；
为偶函数，
，
②；结合①②得到：，
，，
，所以函数的周期为8，
（7）．
故选：．
【例14】（2025春 大祥区期中）已知的图像关于点对称，对，都有成立，且当时，，则等于　　
A． B．2 C．0 D．
【答案】
【分析】根据函数的对称性，周期性，化归转化，即可求解．
【解答】解：的图像关于点对称，
的图像关于点对称，
，
，，的周期为4，
（1）．
故选：．
【例15】（2025春 青羊区期中）已知函数的定义域是，满足，，函数的导函数在上总有意义，则（5）　　
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】
【分析】求导后，根据抽象函数的对称性，即可求解．
【解答】解：因为，，
所以，，
所以（1）（1），所以（1），
由，，
可得，，
所以，所以，
所以，
所以（5）（1）．
故选：．
【知识点4】利用对称性解不等式或方程
1.利用对称性化简表达式：
若关于对称，令，将不等式转化为关于t的偶函数形式，利用单调性求解．
若关于对称，令t=x-a，将表达式转化为关于t的奇函数形式，结合中心对称性质分析.
2.对称性与单调性结合：
对称轴 / 中心两侧的单调性相反（如偶函数在x>a单调递增，则单调递减），利用对称性将不等式两边转化到同一单调区间求解．
例1：
【例16】（2024 博望区学业考试）已知函数为定义在上的函数，对任意的，均有成立，且在，上单调递减，若，则不等式的解集为　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】由已知结合函数的对称性及单调性即可求解不等式．
【解答】解：因为函数为定义在上的函数，对任意的，均有成立，
所以的图象关于对称，
因为在，上单调递减，，
所以在上单调递增，（5）
则不等式可得，
解得．
故选：．
【例17】（2024秋 蔡甸区月考）已知函数为定义在上的函数，对任意的，均有成立，且在，上单调递减，若，则不等式的解集为 　，　．
【答案】，．
【分析】依题意，由函数的对称性与单调性的性质以及分析可求得：的解，进而可得的解集．
【解答】解：对任意的，均有成立，
的图象关于直线对称，又，
（5），
又在，上单调递减，
在，上单调递增，
当时，，
，解得，
不等式的解集为，．
故答案为：，．
【例18】（2024秋 沙坪坝区期末）已知函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是　　
A． B．
C． D．
【分析】先判断函数的对称性以及单调性，结合函数的对称性将不等式进行转化求解即可
【解答】解：，则关于对称，且当时，为增函数，
由，等价，
平方得，解得
故选：．
【例19】（2023秋 垫江县月考）已知函数．
（1）若为偶函数，求的值；
（2）解关于的不等式．
【答案】（1）2；
（2）答案见解析．
【分析】（1）利用图象平移变化可得的对称轴为，然后由二次函数性质可解；
（2）根据相应二次函数开口方向和两根大小关系分类讨论即可．
【解答】解：（1）根据题意，因为为偶函数，则的图象关于对称，
所以，解得，
此时，满足题意，
所以，的值为2．
（2）．
因为，所以方程的两根为和1，
当时，，不等式解集为；
当时，，不等式解集为；
当时，，不等式解集为；
当时，不等式解集为．
【例20】（2024秋 耒阳市月考）已知偶函数与奇函数的定义域都是，，它们在，上的图象如图所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】
【分析】分，和，两种情形，结合函数奇偶性的特点，即可得解．
【解答】解：因为不等式，
所以当，时，有，，；
当，时，有或，，，
综上，，，．
故选：．
第1页 共1页第9讲 函数的对称性
【知识点1】判断函数的对称性 1
【知识点2】利用对称性求函数值或解析式 3
【知识点3】对称性与奇偶性、周期性的综合应用 4
【知识点4】利用对称性解不等式或方程 6
1．奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称．
(2)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝a；若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(a,0)．
2．若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称；
若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a,0)对称．
3．两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．
【知识点1】判断函数的对称性
1.轴对称：
验证是否对某常数a恒成立．
若为多项式函数，观察是否满足（整理后各项系数为0）．
2.中心对称：
验证是否对某常数a,b恒成立．
若为多项式函数，观察是否满足（整理后各项系数为0）．
技巧：
二次函数必关于对称．
三次函数必关于其拐点中心对称．
例1：
【例1】（2025 四川模拟）已知函数，则函数的图象　　
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
【例2】（2024春 潮阳区期中）定义在上的函数满足．若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是　　
A． B． C．（4） D．（6）
【例3】（2025 苏州三模）已知函数，定义域为的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，，，，，，，则　　
A．0 B．4 C．8 D．12
【例4】（2024秋 衢州期末）已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心是　　
A． B． C． D．
【例5】（2024 泸州模拟）已知函数满足，若函数与图象的交点横坐标分别为，，，，则　　
A． B． C． D．0
【知识点2】利用对称性求函数值或解析式
1.利用对称性建立等式：
若关于对称，则，代入已知点求未知值．
若关于对称，f(x)=2b-f(2a-x)，用于递推或构造方程．
2.对称变换法：
若关于对称，则（g为偶函数）．
若关于对称，则f(x)=b+h(x-a)（h为奇函数）．
例1：
【例6】（2025 梅河口市二模）已知函数为上的奇函数，若函数与的图象关于点对称，则（4）　　
A．1 B．0 C． D．
【例7】（2024秋 温州期末）已知函数．
（1）求（1）的值；
（2）求函数的定义域；
（3）证明：曲线是中心对称图形．
【例8】（2024秋 谷城县期中）已知定义在上的函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则　　
A． B． C．2 D．1
【例9】（2024秋 鼓楼区期中）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则（1）　　
A．0 B．2024 C．4051 D．8102
【例10】（2024秋 淮阴区月考）若偶函数满足，且当时，，则　　
A． B． C． D．
【知识点3】对称性与奇偶性、周期性的综合应用
1.对称性与周期性的关系：
若函数有两条对称轴和（），则周期．
若函数有一个对称中心和一条对称轴（），则周期．
若函数有两个对称中心和（），则周期．
2.奇偶性与对称性的结合：
奇函数+关于对称周期．
偶函数+关于对称周期．
例1：
【例11】（2025 黑龙江模拟）函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则下列说法错误的是　　
A．为偶函数 B．为周期函数且周期为12
C．（4） D．
【例12】（2025 李沧区模拟）已知函数是上的奇函数，且，当，时，，则　　
A．2 B．1 C．0 D．
【例13】（2025 鹤山区二模）已知函数的定义域为，若为奇函数，且为偶函数，则　　
A． B． C． D．
【例14】（2025春 大祥区期中）已知的图像关于点对称，对，都有成立，且当时，，则等于　　
A． B．2 C．0 D．
【例15】（2025春 青羊区期中）已知函数的定义域是，满足，，函数的导函数在上总有意义，则（5）　　
A．0 B．1 C．2 D．4
【知识点4】利用对称性解不等式或方程
1.利用对称性化简表达式：
若关于对称，令，将不等式转化为关于t的偶函数形式，利用单调性求解．
若关于对称，令t=x-a，将表达式转化为关于t的奇函数形式，结合中心对称性质分析.
2.对称性与单调性结合：
对称轴 / 中心两侧的单调性相反（如偶函数在x>a单调递增，则单调递减），利用对称性将不等式两边转化到同一单调区间求解．
例1：
【例16】（2024 博望区学业考试）已知函数为定义在上的函数，对任意的，均有成立，且在，上单调递减，若，则不等式的解集为　　
A．， B．， C．， D．，
【例17】（2024秋 蔡甸区月考）已知函数为定义在上的函数，对任意的，均有成立，且在，上单调递减，若，则不等式的解集为 　，　．
【例18】（2024秋 沙坪坝区期末）已知函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是　　
A． B．
C． D．
【例19】（2023秋 垫江县月考）已知函数．
（1）若为偶函数，求的值；
（2）解关于的不等式．
【例20】（2024秋 耒阳市月考）已知偶函数与奇函数的定义域都是，，它们在，上的图象如图所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
第1页 共1页第9讲 函数的对称性
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 蚌埠期末）若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是　　
A． B． C． D．
2．（2023秋 宁波期末）定义在上的函数的图象关于点对称，则下列式子一定成立的是　　
A． B．（1） C．（2） D．（1）（3）
3．（2020秋 凉州区月考）已知是偶函数，则函数图象的对称轴是　　
A． B． C． D．
4．（2020春 东安区月考）已知定义在上的函数满足，，且当，时，，则　　
A．0 B．1 C． D．2
5．（2024秋 开封期末）已知函数的图象关于点成中心对称图形，当时，，则时，　　
A． B． C． D．
6．（2024秋 皇姑区期中）已知函数的三个零点分别为1，，，若函数满足，则（3）的取值范围为　　
A．， B． C． D．，
7．（2020秋 无锡期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．则函数图象的对称中心为　　
A． B． C． D．
8．（2024 南充模拟）已知函数，则函数的图象　　
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于点对称 D．关于点对称
9．（2025 青羊区开学）已知函数，则　　
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
10．（2024春 渭滨区期末）已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，，，，，则　　
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025 西峰区二模）函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且满足，函数的图象关于点对称，则　　
A．的图象关于点对称
B．8是的一个周期
C．一定存在零点
D．
（多选）12．（2025 仁寿县三模）已知函数是上的奇函数，对于任意，都有成立，当，时，，给出下列结论，其中正确的是　　
A．（2）
B．点是函数的图象的一个对称中心
C．函数在，上单调递增
D．函数在，上有3个零点
（多选）13．（2025 南岗区一模）已知函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的为　　
A．4是的一个周期 B．是偶函数
C． D．
（多选）14．（2024秋 东莞市期末）我们知道：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，类比以上结论也可得到函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件．已知函数的定义域为，其图象关于直线成轴对称图形，且为奇函数，当时，，则下列说法中正确的是　　
A．的图象关于点成中心对称图形
B．为偶函数
C．的最小正周期为12
D．当时，
三．填空题（共4小题）
15．（2025春 惠山区月考）定义在上的函数和的图象关于轴对称，且函数是奇函数，则函数图象的对称中心为 　　 ．
16．（2024秋 济宁期中）已知函数，，则的对称中心为 　　；若，则数列的通项公式为 　　．
17．（2025 项城市模拟）若函数的图象关于直线对称，则　　．
18．（2024秋 辽宁期中）定义在上的函数满足，且关于对称，当时，，则　　．
四．解答题（共6小题）
19．（2024秋 佛山期末）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，若函数．
（1）求曲线的对称中心；
（2）判断在区间上的单调性，并用定义证明．
20．（2024秋 余江区期中）已知函数．
（1）简述图象可由的图象经过怎样平移得到；
（2）证明：的图象是中心对称图形，并计算的值．
21．（2024秋 新吴区期中）有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．运用该结论解决以下问题：
（1）直接写出函数的对称中心；
（2）证明：函数的对称中心为；
（3）若函数的对称中心为，求实数、的值．
22．（2024秋 烟台期中）若定义在上的函数满足．
（1）求函数的解析式；
（2）用定义法证明：在区间上单调递减；
（3）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．利用上述结论，求函数图象的对称中心．（注
23．（2024秋 广东月考）我们有如下结论：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．
（1）判断：的图象是否关于点成中心对称图形？
（2）已知是定义域为的初等函数，若，证明：的图象关于点成中心对称图形．
24．（2024秋 成都期中）经研究，函数为奇函数的充要条件是函数图象的对称中心为点，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，由得函数关于点成中心对称图形的充要条件是．
（1）已知函数，且（5），求的值；
（2）证明函数图象的对称中心为；
（3）已知函数，求（8）（9）的值．
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C B A C A A C C
二．多选题（共4小题）
题号 11 12 13 14
答案 ACD AB ABD BCD
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【分析】利用函数的图象变换求解．
【解答】解：因为函数是奇函数，即关于中心对称，
又函数的图象可将的图象向上平移2个单位，向左平移1个单位，得到的，
所以函数图象对称中心的是．
故选：．
2．【答案】
【分析】由已知结合函数的对称性检验各选项即可判断．
【解答】解：因为函数的图象关于点对称，
所以的图象关于点对称，
所以，
结合选项可知，（2）一定成立．
故选：．
3．【答案】
【分析】由偶函数的图象关于轴对称，得到的对称轴为，然后由图象变换，即可得到答案．
【解答】解：因为是偶函数，
则的对称轴为，
将函数的图象向右平移一个单位可得的图象，
所以函数图象的对称轴是．
故选：．
4．【分析】根据函数奇偶性和条件求出函数是周期为2的周期函数，利用函数周期性和奇偶性的关系进行转化即可得到结论．
【解答】解：，，
，即有，
即函数是周期为2的函数，
当，时，，
（1），
故选：．
5．【答案】
【分析】利用对称性有，结合有及已知区间的函数解析式求时表达式即可．
【解答】解：当时，，
则时，，故，
又函数的图象关于点成中心对称图形，
则．
即当时，．
故选：．
6．【答案】
【分析】根据题设得函数关于对称，进而有、，且，结合，得到，是的两个零点，根据二次函数性质求得、，即可求（3）的范围．
【解答】解：已知函数的三个零点分别为1，，，
若函数满足，
即，故函数关于对称，
所以（1），则，
故，
令，且开口向上，对称轴为，
由题意，且，它们也是的两个零点，
所以，且，故，则，
所以（3），．
故选：．
7．【答案】
【分析】根据题意，设函数图象的对称中心为，据此可得为奇函数，结合奇函数的性质可得，解可得、的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设函数图象的对称中心为，
则为奇函数，
即为奇函数，
必有，解可得，，
则的对称中心为，
故选：．
8．【答案】
【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的图象的变换，判断选项即可．
【解答】解：为奇函数，其对称中心为，
函数的图象是由函数的图象向右平移1单位，再向上平移1单位得到的，
的图象的对称中心为．
故选：．
9．【答案】
【分析】利用奇偶函数的对称性逐项分析可得答案．
【解答】解：假设函数关于点对称，那么应满足．
，，
显然，所以不关于点对称，选项错误；
假设函数关于点对称，那么应满足．
，，
显然，所以不关于点对称，选项错误．
若函数关于直线对称，则．
，，
所以，故关于直线对称，选项正确．
若函数 关于直线对称，则．
，
，
显然，
所以不关于直线对称，选项错误．
故选：．
10．【答案】
【分析】首先判断两个函数的对称性，再判断交点的对称性，最后利用对称性求和．
【解答】解：，
关于点对称，
由函数，得函数关于点对称，
与 的交点也关于点对称，
．
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】
【分析】根据的图象关于点对称得的图象关于点对称，进而构造函数，判断为偶函数，且关于对称，进一步得到的单调性，进而结合函数的对称性及周期性可求解，由零点存在性定理即可判断．
【解答】解：对于，由于的图象关于点对称，
所以，故，
所以的图象关于点对称，故正确，
由得，令，
，
所以，故为偶函数，又的图象关于点对称，
所以，又，
从而，
所以的图象关于对称，
对于，在中，令，（1），
所以（1），
（2）（5）（5），
由于在区间上的图象是一条连续不断的曲线，由零点存在性定理可得在有零点，故正确
对于，由于的图象关于对称以及得，
又，
所以，
所以是周期为8的周期函数，（2），故正确，
对于，（1），（9）（6）（2）（1），
所以8不是的周期，
故选：．
12．【答案】
【分析】由，赋值，可得（2），故正确；
进而可得是对称中心，故正确；
作出函数图象，可得不正确．
【解答】解：在中，令，得（2），
又函数是上的奇函数，所以（2），故选项正确；
因为，故是一个周期为4的奇函数，
因为是的对称中心，
所以也是函数的图象的一个对称中心，故选项正确；
作出函数的部分图象如图所示，
易知函数在，上不具单调性，故选项不正确；
函数在，上有7个零点，故选项不正确．
故选：．
13．【答案】
【分析】由已知可得关于点对称，关于直线对称，结合对称轴和对称中心可得周期，即可判断；根据函数奇偶性的定义即可判断；由，令为即可判断；结合函数的周期性即可判断．
【解答】解：已知函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称，
所以，即，
用代换上式中的可得，所以关于点对称，
又因为函数的图象关于直线对称，
所以函数的图象关于直线对称，即，
又，
所以，所以，
所以，所以，
所以函数的周期为4，故正确；
因为，所以，
因为函数的图象关于直线对称，所以，
所以，所以是偶函数，故正确；
因为关于点对称，（2）（4），
因为，令可得（1）（3），
又关于直线对称，所以（1）（3），
所以（1）（2）（3）（4），
所以，故不正确，
因为，所以，
即，故正确．
故选：．
14．【答案】
【分析】由已知结合函数的对称性进行转转化可求出函数的周期，然后结合周期性，奇偶性及对称性检验各选项即可判断．
【解答】解：因为为奇函数，图象关于原点对称，
故的图象关于对称，错误；
由的图象关于对称可得，的图象关于轴对称，即为偶函数，正确；
函数关于直线成轴对称，关于对称，
所以最小正周期为，正确；
因为时，，
当时，，
所以，
当时，，，
因为，
所以，正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】．
【分析】结合奇函数的对称性及函数图象的平移可求出的对称中心，进而可求的对称中心．
【解答】解：因为函数是奇函数，
所以的图象关于对称，
函数和的图象关于轴对称，
所以的图象关于对称．
故答案为：．
16．【答案】；．
【分析】利用中心对称的定义求出图象的对称中心，利用函数的对称性及倒序相加法求出通项．
【解答】解：函数的定义域为，，
由，的对称中心为，
将的图象向右平移一个单位，再向上平移2个单位，得到的图象，
因此函数图象的对称中心是；
则有，当时，，
，
，
于是，即，所以数列的通项公式为．
故答案为：；
17．【答案】2．
【分析】由已知可得对恒成立，进而得，计算可求．
【解答】解：因为函数的图象关于直线对称，
所以对恒成立，
所以，恒成立，
即，恒成立
，恒成立
恒成立，所以．
故答案为：2．
18．【答案】．
【分析】由已知先判断函数的奇偶性及对称性，进而可求，及周期，结合周期性即可求解．
【解答】解：由得函数的图象关于直线对称，
由关于对称得函数的图象关于点对称，
即函数为奇函数，
所以，即，
所以当时，，
由题意得，，
所以，
所以，
所以，
所以函数的周期为4，
所以（2），（3）（1），（4）（2），
则（1）（2）（3）（4），
则（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）
．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
19．【答案】（1）；
（2）单调递减，证明见解析．
【分析】（1）首先设函数，判断函数是奇函数，即可判断函数的对称中心；
（2）根据函数单调性的定义，结合作差法，即可证明．
【解答】解：（1）根据题意，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，
设，
则函数的定义域为，其定义域关于原点对称，
且，
所以为奇函数，
所以函数的对称中心为．
（2）函数在上单调递减．
证明：，，且，
则
，
因为，，所以，，，，，
又，所以，所以，即，
所以函数在上单调递减．
20．【答案】（1）答案见解析；
（2）证明见解析，4048．
【分析】（1）变形函数，再利用平移变换求出变换过程．
（2）利用中心对称的定义计算推理得证；再利用对称性求出函数值及和．
【解答】解：（1）由于，
则的图象先向左平移一个长度单位，再向上平移一个长度单位得到的图象．
（2）因为，
所以的图象关于中心对称；
则，，，，
所以．
21．【答案】（1）．
（2）证明见解析．
（3），或．
【分析】（1）函数的对称中心为，进而验证用函数为奇函数即可；
（2）记，进而证明为奇函数即可得证；
（3）令，进而由可求实数、的值．
【解答】解：（1）因为函数，
所以函数的定义域，，
所以是奇函数，
所以函数的对称中心为．
（2）证明：记，则定义域为，即定义域关于原点对称，
又，
所以为奇函数，
所以的对称中心为．
（3），
令
，
因为若函数的对称中心为，
所以是奇函数，
所以，
即，
整理得，
得，
解得，或．
22．【答案】（1）；
（2）证明见解析；
（3）．
【分析】（1）根据给定条件，利用方程组法求出的解析式；
（2）利用单调递减函数的定义，计算推理得证；
（3）由（1）结合给定的结论，利用奇函数的性质计算出对称中心．
【解答】解：（1）由，得，
联立消去得：，
即；
（2）证明：任取，且，
则
，
由，得，，，，
因此，
所以函数在区间上单调递减；
（3）设函数图象的对称中心为，则函数为奇函数，
于是，
，
而，
因此，对任意恒成立，
则，且，
解得，，
所以函数图象的对称中心为．
23．【答案】（1）成中心对称图形；
（2）证明见解析．
【分析】（1）整理可得，根据题目中的条件，结合奇偶性的定义，可得答案；
（2）设，根据题目中的条件，结合奇偶性的定义分析证明．
【解答】解：（1）因为，
所以，
因为为奇函数，即为奇函数，
故函数的图象关于点成中心对称图形；
（2）证明：因为，
所以，
令，
因为是定义域为的初等函数，所以也是定义域为的初等函数，
又
，
所以为奇函数，即为奇函数．
由结论得，的图象关于点成中心对称图形．
24．【答案】（1）；
（2）证明见解析；
（3）．
【分析】（1）根据题意，分析的值，进而分析可得答案；
（2）根据题意，设，证明为奇函数，易得结论；
（3）根据题意，设，分析可得函数为奇函数，的对称中心为，进而分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，函数，则，
则有，
又由（5），则；
（2）证明：设，
函数，
则，
易得的定义域为，且，
则为奇函数，
故函数的对称中心为；
（3）根据题意，，
设，
则，
易得的定义域为，且，
则函数为奇函数，的对称中心为，
则有，
令，可得（1）．
故（8）（9）（9）（8）（3）（1）．

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