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期末核心考点 二次根式
一．选择题（共7小题）
1．（2025 海伦市模拟）要使式子有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣3 B．x≥﹣3 C．x＞﹣3且x≠1 D．x≥﹣3且x≠1
2．（2025 奉贤区三模）下列与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025 北京校级二模）下列算式中正确的有（　　）
（1）；（2）；（3）；（4）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（2024秋 薛城区期末）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024秋 埇桥区期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025春 和县期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　）
A．0 B．﹣2a C．﹣2b D．2a﹣2b
7．（2025春 和县期中）已知实数x，y满足，则（x+y）2025的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2025 D．2025
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 江津区期中）若最简二次根式和可以合并，则a＝　 　 ．
9．（2024秋 临澧县期末）化简二次根式的结果等于 　 　 ．
10．（2025 红桥区二模）计算的结果等于 　 　 ．
11．（2025春 福州期中）若的整数部分为a，小数部分为b，则的值为 　 　 ．
12．（2024秋 象州县期末）计算 　 　 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2024秋 广平县期末）计算：
（1）；
（2）．
14．（2024秋 醴陵市期末）阅读下列分母有理化的过程：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
请完成下列问题：
（1）仿照上述解题过程计算：　 　 ；（注意结果化简）
（2）观察上面解题过程，请直接写出的结果为　 　 ；
（3）通过完成问题（1）（2），你得到的结论是：　 　 ；
（4）试利用上面所提供的思路，解方程：．
15．（2025春 蜀山区期中）在学习二次根式后，数学兴趣小组探究发现，一些含有根号的特殊式子可以化成另一个式子的平方，例如：；．
【类比】（1）仿照上述方法将化成另一个式子的平方；
【拓展】（2）运用上述方法化简：；
【变式】（3）若，且a，m，n均为正整数，求a的值．
期末核心考点 二次根式
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 海伦市模拟）要使式子有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣3 B．x≥﹣3 C．x＞﹣3且x≠1 D．x≥﹣3且x≠1
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【专题】分式；二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据分母不为零的条件和二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可．
【解答】解：要使式子有意义，
则：2x+6≥0且x﹣1≠0，
解得：x≥﹣3且x≠1．
故选：D．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，解题的关键是掌握：分式有意义，则分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
2．（2025 奉贤区三模）下列与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】同类二次根式；二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】利用二次根式的性质进行化简，根据同类二次根式的定义逐项判断即可．
【解答】解：A、与不是同类二次根式，故A不符合题意；
B、|a|，与不是同类二次根式，故B不符合题意；
C、，与是同类二次根式，故C符合题意；
D、与不是同类二次根式，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，熟练掌握相关定义是解题的关键．
3．（2025 北京校级二模）下列算式中正确的有（　　）
（1）；（2）；（3）；（4）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】二次根式的性质与化简；平方根；立方根．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据立方根与平方根定义和二次根式的性质，计算各个算式，然后判断即可．
【解答】解：∵（1）；
∴计算正确的是：（3），共1个，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握立方根与平方根定义和二次根式的性质．
4．（2024秋 薛城区期末）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次根式的乘除法；二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】直接利用二次根式的乘法或除法运算法则依次计算进行判断即可．
【解答】解：直接利用二次根式的乘法或除法运算法则依次计算进行判断如下：
A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、无意义，选项错误，不符合题意；
D、，选项正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的乘法或除法运算法则，解题的关键是掌握相关的运算法则．
5．（2024秋 埇桥区期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘法与除法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6．（2025春 和县期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　）
A．0 B．﹣2a C．﹣2b D．2a﹣2b
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【专题】实数；二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】由数轴得a＜﹣1，0＜b＜1，进一步得出a+b＜0，a﹣b＜0，再根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：由数轴得a＜﹣1，0＜b＜1，
∴a+b＜0，a﹣b＜0，
∴
＝|a+b|﹣|a﹣b|
＝﹣a﹣b﹣（b﹣a）
＝﹣a﹣b﹣b+a
＝﹣2b，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
7．（2025春 和县期中）已知实数x，y满足，则（x+y）2025的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2025 D．2025
【考点】二次根式有意义的条件；实数的运算．
【专题】实数；二次根式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据二次根式的被开方数不小于零的条件求出x与y的值，再代入进行求值即可．
【解答】解：由题可知，
，
解得x＝2，
把x＝2代入，
解得y＝﹣3．
则（x+y）2025＝（﹣1）2025＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件、实数的运算，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 江津区期中）若最简二次根式和可以合并，则a＝　4　 ．
【考点】同类二次根式；最简二次根式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】4．
【分析】根据两个最简二次根式能合并，得到两式为同类二次根式，确定出a的值即可．
【解答】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴3a+1＝4a﹣3，
解得：a＝4，
故答案为：4
【点评】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式定义是解本题的关键．
9．（2024秋 临澧县期末）化简二次根式的结果等于 　3　 ．
【考点】二次根式的性质与化简．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式的性质：|a|，直接计算．
【解答】解：|﹣3|＝3．
【点评】此题主要考查二次根式的性质：|a|．
10．（2025 红桥区二模）计算的结果等于 　1　 ．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】1．
【分析】利用平方差公式计算即可求解．
【解答】解：利用平方差公式计算可得：
，
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握平方差公式的运用是解题的关键．
11．（2025春 福州期中）若的整数部分为a，小数部分为b，则的值为 　15　 ．
【考点】二次根式的化简求值；估算无理数的大小．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】15．
【分析】求出a、b的值，代入计算即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴的整数部分为：a＝3，小数部分为：，
∴，
故答案为：15．
【点评】本题考查了估计无理数的大小，代数式求值等知识点的应用，解题的关键是求出无理数的取值范围．
12．（2024秋 象州县期末）计算 　5　 ．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】5．
【分析】先根据二次根式性质化简再进行计算即可．
【解答】解：原式＝（4）
＝5
＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2024秋 广平县期末）计算：
（1）；
（2）．
【考点】二次根式的混合运算；完全平方公式；平方差公式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）1；
（2）．
【分析】（1）运用二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）运用乘法公式，二次根式的混合法则计算即可．
【解答】解：（1）原式
＝2+4﹣5
＝1；
（2）原式
．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，平方差公式及完全平方公式，掌握其运算法则是解题的关键．
14．（2024秋 醴陵市期末）阅读下列分母有理化的过程：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
请完成下列问题：
（1）仿照上述解题过程计算：　　 ；（注意结果化简）
（2）观察上面解题过程，请直接写出的结果为　　 ；
（3）通过完成问题（1）（2），你得到的结论是：　可以利用平方差公式进行分母有理化（答案不唯一）　 ；
（4）试利用上面所提供的思路，解方程：．
【考点】分母有理化；二次根式的混合运算；解一元一次方程；平方差公式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1），；
（2）；
（3）可以利用平方差公式进行分母有理化（答案不唯一）；
（4）．
【分析】（1）根据平方差公式，进行分母有理化即可；
（2）根据平方差公式，进行分母有理化即可；
（3）根据分母有理化的方法即可求解；
（4）根据平方差公式，分母有理化，根据实数的运算化简方程，解方程可得答案．
【解答】解：（1）；
故答案为：；
（2），
故答案为：．
（3）①可以利用平方差公式进行分母有理化；
②相邻两个自然数的算术平方根的和（或差）等于这两个自然数的算术平方根的差（或和）的倒数；
③，等等．（结论合理、正确就行）
故答案为：可以利用平方差公式进行分母有理化（答案不唯一）．
（4），
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了分母有理化，利用平方差公式进行分母有理化是解题关键．
15．（2025春 蜀山区期中）在学习二次根式后，数学兴趣小组探究发现，一些含有根号的特殊式子可以化成另一个式子的平方，例如：；．
【类比】（1）仿照上述方法将化成另一个式子的平方；
【拓展】（2）运用上述方法化简：；
【变式】（3）若，且a，m，n均为正整数，求a的值．
【考点】二次根式的性质与化简；完全平方式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）；（2）；（3）8或16．
【分析】（1）仿照所给的方法求解即可；
（2）将化成，再代入求解；
（3）利用所给的方法进行分析，即可求解．
【解答】解：（1）原式＝（6+1）+2
＝（6）22
；
（2）∵，
∴；
（3）①当，
a＝15+1＝16，
②当，
a＝5+3＝8．
综上所述，a＝8或16．
【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，完全平方公式，掌握相应的运算法则是关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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