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期末核心考点 勾股定理
一．选择题（共7小题）
1．（2025 西昌市一模）如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若CD＝3，BC＝8，则AB的长为（　　）
A．4 B．5 C． D．
2．（2025春 江津区期中）九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（　　）
A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺
3．（2024秋 太康县期末）下列各数中，是勾股数的是（　　）
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．3，4，5 D．1，2，3
4．（2025春 天河区校级期中）有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m（即：水平距离BC＝6m）时，秋千踏板离地的垂直高度BF＝4m，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索AD长为（　　）m．
A． B． C．6 D．
5．（2024秋 宁阳县期末）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为AC的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（　　）
A．20米 B．25米 C．30米 D．15米
6．（2024秋 泰山区期末）如图，在单位长度为1的4×4的网格中，P，A，B，C，D各点都在格点上，其中长度为5的线段是（　　）
A．PA B．PB C．PC D．PD
7．（2025 香洲区模拟）智能物流机器人可进行自动化作业，显著提升物流效率并大幅降低人力成本．某智能物流机器人在仓库中需从货架A点出发，先向正东方向行驶12米到达B点，再向正北方向行驶5米到达C点．为优化路线，若机器人从A点沿直线方向直接行驶到C点，则线段AC长为（　　）
A．7米 B．13米 C．17米 D．20米
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 道外区期中）如图所示，M点所表示的数是 　 　 ．
9．（2025春 虹口区校级月考）正方形面积为16，正方形内一点P到CD的距离与到点A、B的距离都是d，则d＝ 　 　 ．
10．（2025 西安二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AC于点F，交AD于点E，则线段AE的长为　 　 ．
11．（2024秋 薛城区期末）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当它摆动到底座最近时，摆锤离底座的垂直高度DE＝4cm，当它来回摆动到底座的距离最高与最低时的水平距离为8cm时，摆锤离底座的垂直高度BF＝6cm，钟摆AD＝　 　 ．
12．（2025春 西城区校级期中）如图，图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具﹣﹣“碓（dui）”的结构简图，图2为其平面示意图．已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l．若BC＝4dm，OB＝12dm，∠AOE＝120°，则点C到水平线l的距离CF为 　 　 dm．
三．解答题（共3小题）
13．（2024秋 太康县期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝20cm，D是AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求△ABC的周长．
14．（2025春 西城区校级期中）放风筝是清明节的节日习俗，寓意将烦恼和疾病随着风筝一起放飞．此外，放风筝还是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．如图，牵线放风筝的同学站在A处，风筝在C处，先测得他抓线的地方与地面的垂直距离AB为1.6米，然后测得他与风筝的水平距离AE为15米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CE方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
15．（2025春 天津期中）某开发区有一空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，AD＝12m，CD＝13m，求：
（1）此四边形空地的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需要投入多少元？
期末核心考点 勾股定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 西昌市一模）如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若CD＝3，BC＝8，则AB的长为（　　）
A．4 B．5 C． D．
【考点】勾股定理；作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】根据基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解答即可．
【解答】解：根据题意，得MN是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∵CD＝3，BC＝8，
∴DA＝DB＝5，
在直角三角形ACD中，由勾股定理得：，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，作图﹣基本作图，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
2．（2025春 江津区期中）九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（　　）
A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺
【考点】勾股定理的应用．
【专题】推理能力．
【答案】C
【分析】设折断处离地面的高度AB为x尺，则AC＝（10﹣x）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，求解即可．
【解答】解：设折断处离地面的高度AB为x尺，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴x2+42＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.2，
即折断处离地面的高度为4.2尺，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3．（2024秋 太康县期末）下列各数中，是勾股数的是（　　）
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．3，4，5 D．1，2，3
【考点】勾股数．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【答案】C
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：A、42+52≠62，故不是勾股数；
B、1.5，2，2.5不是整数，故不是勾股数；
C、32+42＝52，故是勾股数；
D、12+22≠32，故不是勾股数．
故选：C．
【点评】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2＝c2，则三角形ABC是直角三角形．
4．（2025春 天河区校级期中）有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m（即：水平距离BC＝6m）时，秋千踏板离地的垂直高度BF＝4m，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索AD长为（　　）m．
A． B． C．6 D．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】B
【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC＝（x﹣3）m，利用勾股定理可得x2＝62+（x﹣3）2，求解即可．
【解答】解：∵CE＝BF＝4m，DE＝1m，
∴CD＝CE﹣DE＝4﹣1＝3m，
在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，BC＝6m，
设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣3）m，
故x2＝62+（x﹣3）2，
解得：，
即绳索AD的长度是．
故选：B．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
5．（2024秋 宁阳县期末）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为AC的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（　　）
A．20米 B．25米 C．30米 D．15米
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】A
【分析】根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和，
∵底面周长约为6米，柱身高约16米，
∴AE＝6米，BEAC16＝8（米），
∴AB10（米），
∴雕刻在石柱上的巨龙至少为2×10＝20米．
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题，解题的关键是能够将圆柱体的侧面展开，并分析出每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形．
6．（2024秋 泰山区期末）如图，在单位长度为1的4×4的网格中，P，A，B，C，D各点都在格点上，其中长度为5的线段是（　　）
A．PA B．PB C．PC D．PD
【考点】勾股定理．
【专题】运算能力．
【答案】D
【分析】利用勾股定理分别求出每条线段的长度即可判断求解．
【解答】解：由勾股定理可得，，，，，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理与网格问题，掌握勾股定理是解题的关键．
7．（2025 香洲区模拟）智能物流机器人可进行自动化作业，显著提升物流效率并大幅降低人力成本．某智能物流机器人在仓库中需从货架A点出发，先向正东方向行驶12米到达B点，再向正北方向行驶5米到达C点．为优化路线，若机器人从A点沿直线方向直接行驶到C点，则线段AC长为（　　）
A．7米 B．13米 C．17米 D．20米
【考点】勾股定理的应用．
【专题】三角形．
【答案】B
【分析】根据题意得出△ABC是直角三角形，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：根据题意可得∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝5，
∴米，
故选：B．
【点评】该题考查了勾股定理的应用，掌握其性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 道外区期中）如图所示，M点所表示的数是 　　 ．
【考点】勾股定理；数轴．
【专题】实数；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】．
【分析】由勾股定理求出OA，得到OM＝OA，即可得到M点所表示的数．
【解答】解：由勾股定理得：OA，
由题意得到：OM＝OA，
∴M点所表示的数是．
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理，数轴，关键是由勾股定理求出OA的长．
9．（2025春 虹口区校级月考）正方形面积为16，正方形内一点P到CD的距离与到点A、B的距离都是d，则d＝ 　　 ．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】．
【分析】过点P作PF⊥AB于点F，根据正方形的面积得出AB＝AD＝4，根据等腰三角形的性质得出AF的长，在Rt△AFP中，由勾股定理得出方程求解即可．
【解答】解：如图，过点P作PF⊥AB于点F，
由题意可知，PA＝PB＝PE，
∵正方形面积为16，
∴AB＝AD＝4，
∴AF＝BF2，PF＝4﹣d，
在Rt△AFP中，由勾股定理得，
AF2+PF2＝AP2，
即22+（4﹣d）2＝d2，
解得d，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，熟记勾股定理，正方形的性质是解题的关键．
10．（2025 西安二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AC于点F，交AD于点E，则线段AE的长为　3　 ．
【考点】勾股定理；角平分线的性质；等腰三角形的判定．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】3．
【分析】通过作辅助线，利用相似三角形的性质和角平分线的性质，找到线段AE的长度．
【解答】解：如图，作FM⊥BC 于点M，
由题得，∠1＝∠2，∠BAF＝90°＝∠ADB，∠BED＝∠3，
∵∠1+∠4＝90°，∠2+∠BED＝90°，
∴∠BED＝∠4，
∴∠3＝∠4，
∴AE＝AF＝FM，
∵BM＝AB＝6，
∴CM＝10﹣6＝4．
∵∠C＝∠C，∠CMF＝∠BAC＝90°，
∴△CMF∽△CAB．
∴，
即，
∴FM＝3，
∴AE＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质．正确作出辅助线是解题的关键．
11．（2024秋 薛城区期末）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当它摆动到底座最近时，摆锤离底座的垂直高度DE＝4cm，当它来回摆动到底座的距离最高与最低时的水平距离为8cm时，摆锤离底座的垂直高度BF＝6cm，钟摆AD＝　17cm　 ．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意得BC＝8cm，CE＝BF＝6cm，AD＝AB，∠ACB＝90°，可得CD＝CE﹣DE＝2cm，设AD＝AB＝x cm，则AC＝（x﹣2）cm，在Rt△ABC中利用勾股定理可得（x﹣2）2+82＝x2，解方程即可求解．
【解答】解：摆锤离底座的垂直高度DE＝4cm，当它来回摆动到底座的距离最高与最低时的水平距离为8cm时，摆锤离底座的垂直高度BF＝6cm，
由题意得：CE＝BF＝6cm，AD＝AB，∠ACB＝90°，
∴CD＝CE﹣DE＝6﹣4＝2（cm），
设AD＝AB＝x cm，则AC＝（x﹣2）cm，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∴（x﹣2）2+82＝x2，
解得x＝17，
∴AD＝17cm，
故答案为：17cm．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
12．（2025春 西城区校级期中）如图，图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具﹣﹣“碓（dui）”的结构简图，图2为其平面示意图．已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l．若BC＝4dm，OB＝12dm，∠AOE＝120°，则点C到水平线l的距离CF为 　6﹣2　 dm．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】6﹣2．
【分析】过点B作BK⊥OF于点K，过点C作CG⊥BK于点G，则四边形CGKF是矩形，在Rt△BKO与Rt△CBG中，根据含30°角的直角三角形的性质分别求出BK与BG的长即可得出结果．
【解答】解：如图2，过点B作BK⊥OF于点K，过点C作CG⊥BK于点G，则四边形CGKF是矩形，
∴CF＝GK，
∵∠AOE＝120°，OE⊥l．
∴∠BOK＝30°，
∴BK6dm，
∵∠CBG+∠OBK＝∠OBK+∠BOK＝90°，
∴∠CBG＝∠BOK＝30°，
∴CG2dm，
∴BGCG＝2dm，
∴CF＝GK＝BK﹣BG＝6﹣2（dm），
故答案为：6﹣2．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，含30°角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2024秋 太康县期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝20cm，D是AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求△ABC的周长．
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质．
【专题】三角形．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）首先根据BD、CD、BC长可利用勾股定理逆定理证明∠BDC＝90°，进而得到CD⊥AB；
（2）设AD＝x cm，则AB＝AC＝（x+12）cm，再利用勾股定理可得x2+162＝（x+12）2，解方程可得x的值，即可求出AD的长，进而得到AB长，然后即可算出周长．
【解答】（1）证明：∵CD＝16，BD＝12，BC＝20，
∴122+162＝202，
∴DB2+CD2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：设AD＝x cm，则AB＝AC＝（x+12）cm，
∵∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴x2+162＝（x+12）2，
解得：x，
即AD的长为，
∴AC＝AB＝BD+AD＝12，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC2+20．
【点评】此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
14．（2025春 西城区校级期中）放风筝是清明节的节日习俗，寓意将烦恼和疾病随着风筝一起放飞．此外，放风筝还是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．如图，牵线放风筝的同学站在A处，风筝在C处，先测得他抓线的地方与地面的垂直距离AB为1.6米，然后测得他与风筝的水平距离AE为15米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CE方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】（1）21.6米；
（2）8米．
【分析】（1）根据勾股定理求出CD的长即可得出结果；
（2）设他应该往回收线x米，根据勾股定理得出方程求解即可．
【解答】解：（1）如图，
在Rt△CBD中，由勾股定理得，
CD20（米），
∴EC＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米）；
（2）设他应该往回收线x米，
根据勾股定理得，（25﹣x）2＝152+（20﹣12）2，
解得x＝8，
即他应该往回收线8米；
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
15．（2025春 天津期中）某开发区有一空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，AD＝12m，CD＝13m，求：
（1）此四边形空地的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需要投入多少元？
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】（1）空地ABCD的面积为36m2．
（2）总共需要投入3600元．
【分析】（1）连接AC，在直角三角形ABC中可求得AC的长，由AC、AD、DC的长度关系可得三角形DAC为一直角三角形，DA为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABC和Rt△DAC构成，则容易求出面积；
（2）面积乘以单价即可得出结果．
【解答】解：（1）连接AC，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝32+42＝52，
∴AC＝5．
在△DAC中，CD2＝132，AD2＝122，
而122+52＝132，
即AC2+AD2＝CD2，
∴∠DCA＝90°，
S四边形ABCD＝S△BAC+S△DAC BC ABDC AC，
4×312×5＝36（m2）；
答：空地ABCD的面积为36m2．
（2）36×100＝3600（元），
答：总共需要投入3600元．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，正确分割四边形ABCD的面积是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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