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期末核心考点 平行四边形
一．选择题（共7小题）
1．（2025 西昌市一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AB＝3，∠AOB＝60°，则矩形ABCD的面积是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 海州区校级一模）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE⊥BD于E，点F为AB中点，连接EF，若∠DOC＝64°，则∠AEF的度数为（　　）
A．26° B．32° C．42° D．58°
3．（2025春 道外区期中）如图，G、E分别为 ABCD的边CD，DA的中点，则△BGE和 ABCD的面积比为（　　）
A．1：4 B．1：3 C．3：8 D．7：16
4．（2025 黄岩区二模）如图， ABCD的对角线相交于点O，点E是AB的中点，连结OE．若∠AOE＝88°，则∠ACB的度数为（　　）
A．88° B．87° C．86° D．85°
5．（2025 汕头一模）如图，菱形ABCD的面积为24，对角线AC与BD交于点O，E是BC边的中点，EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，则四边形EFOG的面积为（　　）
A．3 B．5 C．6 D．8
6．（2025 吉林二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（0，3），D（1，0），点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按如图步骤作图，则点H的坐标为（　　）
A． B．（﹣3，3） C．（3，3） D．
7．（2025 雁塔区校级一模）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，DE⊥AB于点E，F是线段AD的中点，连接OF．若OA＝4，，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
8．（2025 梧州一模）如图，D、E分别是△ABC边AC、AB的中点，连接BD，DE．若∠ADE＝∠BDC，DE＝3，则BD的长为　 　 ．
9．（2025 南岗区模拟）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，点E是对角线AC上一点，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，连接DE，若CE＝AF，则线段DE的长为　 　 ．
10．（2025 碑林区校级模拟）如图，菱形ABCD中，∠B＝45°，点E为对角线AC上一点，作EF⊥AB于点F，作EG⊥BC于点G，若EG+EF＝4，菱形ABCD的面积为 　 　 ．
11．（2025 宁德模拟）如图是人字梯及其侧面的示意图，AB，AC为支撑架，DE为拉杆，D，E分别是AB，AC的中点．若DE＝40cm，则B，C两点间的距离是　 　 cm．
12．（2025 宝安区校级模拟）如图，正方形ABCD边长为6，AF＝BE＝2，M、N分别是ED和BF的中点，则MN长为　 　 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2025 南平模拟）在 ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．
求证：AF＝CE．
14．（2025春 静海区期中）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；
（2）若OD＝20，∠DOC＝60°，求四边形OCED的面积．
15．（2025春 沙坪坝区校级期中）如图，在 ABCD中，点M，N分别在边BC，AD上，点E，F在对角线AC上，且BM＝DN，AE＝CF．
（1）求证：四边形EMFN是平行四边形；
（2）若AB＝BC＝13，AE，点N是AD的中点，求平行四边形EMFN的面积．
期末核心考点 平行四边形
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 西昌市一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AB＝3，∠AOB＝60°，则矩形ABCD的面积是（　　）
A． B． C． D．
【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】A
【分析】根据矩形ABCD，AB＝3，∠AOB＝60°，得到∠ABC＝90°，，得到△AOB是等边三角形，于是∠BAC＝60°，∠BCA＝30°，利用勾股定理解答即可．
【解答】解：在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AB＝3，∠AOB＝60°，
∴∠ABC＝90°，，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，∠BCA＝30°，
∴AC＝2AB＝6，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：，
故矩形的面积为：．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
2．（2025 海州区校级一模）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE⊥BD于E，点F为AB中点，连接EF，若∠DOC＝64°，则∠AEF的度数为（　　）
A．26° B．32° C．42° D．58°
【考点】矩形的性质；直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】由矩形性质可求出∠ABO，利用直角三角形两个锐角互余可得∠BAE，再直角三角形斜边直线性质得到AF＝EF，继而求出∠AEF的度数．
【解答】解：由矩形性质可知AO＝BO，
∴∠ABO＝∠OAB，
∵∠DOC＝64°，
∴∠AOB＝64°，
∴∠ABO（180°﹣64）＝58°，
∵AE⊥BD于E，
∴∠BAE＝90°﹣58°＝32°，
∵点F为AB中点，
∴EFAB＝AF，
∴∠AEF＝∠BAE＝32°．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质、直角三角形斜边的中线性质，熟练掌握以上知识点是关键．
3．（2025春 道外区期中）如图，G、E分别为 ABCD的边CD，DA的中点，则△BGE和 ABCD的面积比为（　　）
A．1：4 B．1：3 C．3：8 D．7：16
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】C
【分析】平行四边形的对边平行且相等，平行四边形的面积是底×高，夹在平行线间的距离相等．
【解答】解：设 ABCD的面积为1，
∵G、E分别是边CD、DA的中点，
∴△ABE的面积为，△DEG的面积为，△BCG的面积为，
∴△BEG的面积为：1．
∴△BGE和 ABCD的面积之比为3：8，
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质，平行四边形的对边平行且相等，以及三角形面积的求法．
4．（2025 黄岩区二模）如图， ABCD的对角线相交于点O，点E是AB的中点，连结OE．若∠AOE＝88°，则∠ACB的度数为（　　）
A．88° B．87° C．86° D．85°
【考点】平行四边形的性质；三角形中位线定理．
【专题】三角形；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质求出OA＝OC，再根据三角形中位线的判定与性质、平行线的性质求解即可．
【解答】解：∵ ABCD的对角线相交于点O，
∴OA＝OC，
∵点E是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥BC，
∴∠ACB＝∠AOE＝88°，
故选：A．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理，熟记平行四边形的性质、三角形中位线定理是解题的关键．
5．（2025 汕头一模）如图，菱形ABCD的面积为24，对角线AC与BD交于点O，E是BC边的中点，EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，则四边形EFOG的面积为（　　）
A．3 B．5 C．6 D．8
【考点】菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】A
【分析】由菱形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，面积AC×BD，证出四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，得出EF、EG都是△OBC的中位线，则EFOCAC，EGOBBD，由矩形面积即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，面积AC×BD＝24，
∴AC×BD＝48，
∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，
∴四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，
∵点E是线段BC的中点，
∴EF、EG都是△OBC的中位线，
∴EFOCAC，EGOBBD，
∴矩形EFOG的面积＝EF×EGACBD48＝3；
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．
6．（2025 吉林二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（0，3），D（1，0），点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按如图步骤作图，则点H的坐标为（　　）
A． B．（﹣3，3） C．（3，3） D．
【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（0，3），D（1，0），点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按以下步骤作图：
①以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交DA，DC于点E，F；
②分别以E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠ADC内交于点G；
③作射线DG，交边AB于点H；
则点H的坐标为
【解答】解：∵A（0，3），D（1，0），
∴OA＝3，OD＝1，
∵∠AOD＝90°，
∴AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上，
∴AB∥x轴，
由作图得DH平分∠ADC，
∴∠ADH＝∠CDH，
∵AB∥CD，
∴∠AHD＝∠CDH，
∴∠ADH＝∠AHD，
∴AH＝AD，
∵AH∥x轴，
∴H（，3），
故选：A．
【点评】此题重点考查图形与坐标、勾股定理、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，推导出∠ADH＝∠AHD，进而证明AH＝AD是解题的关键．
7．（2025 雁塔区校级一模）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，DE⊥AB于点E，F是线段AD的中点，连接OF．若OA＝4，，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．
【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC，OD＝OB，则∠AOD＝90°，因为F是线段AD的中点，OF，所以OFAD，则AB＝AD＝5，而OA＝4，则AC＝2OA＝8，OD3，所以BD＝2OD＝6，由S菱形ABCD＝5DE8×6，求得DE，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OD＝OB，
∴∠AOD＝90°，
∵F是线段AD的中点，OF，
∴OFAD，
∴AB＝AD＝5，
∵OA＝4，
∴AC＝2OA＝8，OD3，
∴BD＝2OD＝6，
∵S菱形ABCD＝5DE8×6，
∴DE，
故选：D．
【点评】此题重点考查菱形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地求出菱形ABCD的两条对角线及边AB的长是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2025 梧州一模）如图，D、E分别是△ABC边AC、AB的中点，连接BD，DE．若∠ADE＝∠BDC，DE＝3，则BD的长为　6　 ．
【考点】三角形中位线定理．
【专题】三角形；几何直观；推理能力．
【答案】6．
【分析】由三角形中位线定理得DE∥BC，BC＝2DE＝6，证明∠C＝∠AED＝∠BEC，得出BD＝BC＝6．
【解答】解：∵D、E分别是△ABC边AC、AB的中点，∠ADE＝∠BDC，DE＝3，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC＝2DE＝6，
∴∠ADE＝∠C，
∴∠C＝∠BDC，
∴BD＝BC＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查三角形中位线定理，解答本题的关键是熟练掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
9．（2025 南岗区模拟）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，点E是对角线AC上一点，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，连接DE，若CE＝AF，则线段DE的长为　2　 ．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】2．
【分析】连接BD交AC于点O．求出OD，OE，再利用勾股定理求解．
【解答】解：如图，连接BD交AC于点O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ADC＝∠ABC＝60°，AB＝BC＝CD＝AD＝6，
∴△ABC，△ADC都是等边三角形，
∴∠CAB＝60°，
∵EF⊥AF，
∴∠AFE＝90°，∠AEF＝30°，
∴AE＝2AF，
∵CE＝AF，
∴AC＝3EC，
∴AE＝4，EC＝2，
∴OA＝OC＝3，OD＝3AO＝3，
∴OE＝AE﹣OA＝4﹣3＝1，
∴DE2．
故答案为：2．
【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．（2025 碑林区校级模拟）如图，菱形ABCD中，∠B＝45°，点E为对角线AC上一点，作EF⊥AB于点F，作EG⊥BC于点G，若EG+EF＝4，菱形ABCD的面积为 　16　 ．
【考点】菱形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】16．
【分析】由菱形的性质可得AB＝BC，由面积法可求AH＝4，由等腰直角三角形的性质可求AB的长，即可求解．
【解答】解：如图，连接BE，过点A作AH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵S△ABCBC AHAB EFBC EG，
∴AH＝EF+EG，
∵EG+EF＝4，
∴AH＝4，
∵∠B＝45°，AH⊥BC，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴ABAH＝4，
∴菱形ABCD的面积＝44＝16，
故答案为：16．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线是解题的关键．
11．（2025 宁德模拟）如图是人字梯及其侧面的示意图，AB，AC为支撑架，DE为拉杆，D，E分别是AB，AC的中点．若DE＝40cm，则B，C两点间的距离是　80　 cm．
【考点】三角形中位线定理．
【专题】三角形；应用意识．
【答案】80．
【分析】根据三角形中位线定理即可求得答案．
【解答】解：连接BC，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEBC，
∴BC＝2DE，
∵DE＝40cm，
∴BC＝80cm，
∴B，C两点的距离为80cm．
故答案为：80．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解决问题的关键．
12．（2025 宝安区校级模拟）如图，正方形ABCD边长为6，AF＝BE＝2，M、N分别是ED和BF的中点，则MN长为　　 ．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】．
【分析】延长BM交CD的延长线于点H，连接FH，根据正方形的性质和已知条件可证得△MEB和△MDH全等，从而得出MN是△BFH的中位线，在Rt△FDH中根据勾股定理求出FH的长，然后根据三角形中位线定理即可求出MN的长．
【解答】解：延长BM交CD的延长线于点H，连接FH，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠MEB＝∠MDH，
∵M是ED的中点，
∴ME＝MD，
在△MEB和△MDH中，
，
∴△MEB≌△MDH（ASA），
∴BM＝HM，HD＝BE＝2，
即点M是BH的中点，
∵N是BF的中点，
∴MN是△BFH的中位线，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝6，
∴∠ADH＝90°，
∵AF＝2，
∴DF＝4，
在Rt△FDH中，由勾股定理得，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形中位线定理，正确添加辅助线是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2025 南平模拟）在 ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．
求证：AF＝CE．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】三角形；图形的全等；多边形与平行四边形．
【答案】见解析．
【分析】根据平行四边形得到AD∥CB，AD＝CB，然后得到∠DAF＝∠BCE，再由垂直的定义得到∠DFA＝∠BEC＝90°，即可证明全等．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD＝CB，
∴∠DAF＝∠BCE
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠DFA＝∠BEC＝90°
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴AF＝CE．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
14．（2025春 静海区期中）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；
（2）若OD＝20，∠DOC＝60°，求四边形OCED的面积．
【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）四边形OCED是菱形，理由见解析；
（2）．
【分析】（1）根据矩形的性质得出OA＝OC＝OB＝OD，再证四边形OCED是平行四边形，即可得出四边形OCED是菱形；
（2）连接OE交CD于点H，分别求出OE、CD的长，即可求出菱形OCED的面积．
【解答】解：（1）四边形OCED是菱形，理由：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵OC＝OD，
∴四边形OCED是菱形；
（2）如图，连接OE交CD于点H，
∵OC＝OD，∠DOC＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OD＝20，
由（1）知四边形OCED是菱形，
∴OE⊥CD，OH＝EH，DH＝CH＝10，∠DOH＝∠COH＝30°，
∴OH，
∴OE＝2OH，
∴菱形OCED的面积为．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
15．（2025春 沙坪坝区校级期中）如图，在 ABCD中，点M，N分别在边BC，AD上，点E，F在对角线AC上，且BM＝DN，AE＝CF．
（1）求证：四边形EMFN是平行四边形；
（2）若AB＝BC＝13，AE，点N是AD的中点，求平行四边形EMFN的面积．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）30．
【分析】（1）先证AN＝CM从而证明△ANE≌△CMF，再证NE＝MF且NE∥MF，得出结论即可；
（2）连接BD先判定四边形ABCD是菱形，得到AC⊥DB，根据AB＝BC＝13，求出AC长，从而求出EF及OD长，再由中位线定理求出EN长，根据平行四边形面积公式得出即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵BM＝DN，
∴AD﹣DN＝BC﹣BM，即AN＝CM，
在△ANE和△CMF中，
，
∴△ANE≌△CMF（SAS），
∴NE＝MF，∠AEN＝∠CFM，
∴180°﹣∠AEN＝180°﹣∠CFM，即∠NEF＝∠MFE，
∴NE∥MF，
又∵NE＝MF，
∴四边形EMFN为平行四边形．
（2）解：连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC＝13，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥DB，，OB＝OD，AD＝AB＝13，
∵，
∴AC＝10，OA＝OC＝5，
∴，即点E是OA的中点，
∵AE＝CF，同理可得点F是OC的中点，
∴，
在Rt△AOD中，∠AOD＝90°，
∴，
∵点N是AD的中点，点E是OA的中点，
∴EN∥OD，，
∴∠NEO+∠AOD＝180°，
∴∠NEO＝90°，即EF⊥NE，
∴ EMFN的面积是：EN EF＝6×5＝30．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及三角形中位线定理，熟练掌握相关性质是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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