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期末核心考点 三元一次方程组的解法
一．选择题（共7小题）
1．（2024秋 碧江区 期末）已知是方程组的解，则a+b+c的值是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．无法确定
2．（2025春 德化县期中）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．加密规则如下：明文a，b，c对应的密文分别为a+1，2b﹣4，3c+9．例如明文1，﹣2，3对应的密文为2，﹣8，18．若接收方收到密文4，﹣6，9，则解密得到的明文为（　　）
A．3，0，﹣1 B．3，﹣1，0 C．5，﹣16，36 D．4，﹣2，3
3．（2025春 肥西县校级期中）已知a，b，c为三个实数，其中a、b均为负数，且满足2a﹣b+c＝4，3a+b+c＝0，令t＝3a+2b，则t的取值范围是（　　）
A．﹣10＜t＜﹣2 B．﹣12＜t＜﹣4 C．﹣12＜t＜﹣2 D．﹣10＜t＜﹣4
4．（2024秋 东阳市期末）某校七年级有3个班，已知一班、二班的平均人数与三班人数之和为45，二班、三班的平均人数与一班人数之和为48，一班、三班的平均人数与二班人数之和为47，则三个班的总人数为（　　）
A．68 B．70 C．72 D．74
5．（2024秋 沙市区期末）春节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”．三种花束的每一束成本分别为a元、b元和c元．已知销售每束“眷恋”的利润率为10%，每束“永恒”的利润率为20%，每束“守候”的利润率为30%，当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，老板得到的总利润率为25%；当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，老板得到的总利润率为20%，则a：b：c为（　　）
A．1：2：3 B．1：3：4 C．2：3：5 D．3：4：5
6．（2025春 重庆期中）已知方程组，则x+y的值为（　　）
A．14 B．2 C．﹣14 D．﹣2
7．（2024春 梁平区期末）解三元一次方程组，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（　　）
A．①+③，①×2﹣② B．①+③，③×2+② C．②﹣①，②﹣③ D．①﹣②，①×2﹣③
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 宁波月考）购买铅笔7支，作业本6个，中性笔4支共需33元；购买铅笔5支，作业本5个，中性笔3支共需26元；则购买铅笔2支，作业本1个，中性笔1支共需 　 　 元．
9．（2025春 永春县校级期中）已知三元一次方程组，则x+y+z＝ 　 　 ．
10．（2025春 洛江区期中）用高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示关于x，y，z的三元一次方程组，若5x+2y﹣z为定值，则t与m的关系为 　 　 ．
11．（2025春 普陀区校级月考）如果三个正数满足（a+b）：（b+c）：（c+a）＝12：17：15，则c比a大 　 　 （填几分之几）．
12．（2024秋 怀化期末）已知x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0（xyz≠0），则　 　 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2024春 夹江县期末）【教材呈现】华东师大版7.2二元一次方程组的解法
例1：解方程组 解：由①得y＝7﹣x③ 将③代入②得3x+7﹣x＝17 解得x＝5 将x＝5代入③，得y＝2 所以
小明同学受到上述解法的启示，认为可以采用同样的思想解决三元一次方程组，因此他做了如下尝试：
（1）如图是一个正方体的平面展开图，如果正方体相对的两个面上的式子的值相等，则可以列出方程组 　 　 ．
（2）求解出上述x、y、z的值．
14．（2024春 彭山区校级期中）解三元一次方程组．
15．（2023秋 应城市期末）一只小船从A港口顺水航行到B港口需8小时，而从B港口逆水返回到A港口需10小时．某日，该小船在早晨6点出发，由A港口顺水航行到B港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，2小时后找到救生圈．
（1）若救生圈从A港口漂流到B港口，需要多长时间？
（2）救生圈于何时掉入水中？
期末核心考点 三元一次方程组的解法
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2024秋 碧江区 期末）已知是方程组的解，则a+b+c的值是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．无法确定
【考点】解三元一次方程组．
【答案】A
【分析】由题意，可将x，y及z的值代入方程组得到关于a，b，c的方程组，将方程组中三个方程左右两边相加，变形后即可求出a+b+c的值．
【解答】解：由题意将代入方程组得：
，
①+②+③得：a+2b+2b+3c+c+3a＝2+3+7，
即4a+4b+4c＝4（a+b+c）＝12，
则a+b+c＝3．
故选：A．
【点评】此题考查了三元一次方程组的解，以及解三元一次方程组，方程组的解为能使方程组中每一个方程左右两边相等的未知数的值，本题的技巧性比较强，求a+b+c不要求出a，b及c的值，而是整体求出．
2．（2025春 德化县期中）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．加密规则如下：明文a，b，c对应的密文分别为a+1，2b﹣4，3c+9．例如明文1，﹣2，3对应的密文为2，﹣8，18．若接收方收到密文4，﹣6，9，则解密得到的明文为（　　）
A．3，0，﹣1 B．3，﹣1，0 C．5，﹣16，36 D．4，﹣2，3
【考点】三元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据接收方收到密文4，﹣6，9，可列出关于a，b，c的三元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：根据题意得：，
解得：，
∴解密得到的明文为3，﹣1，0．
故选：B．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
3．（2025春 肥西县校级期中）已知a，b，c为三个实数，其中a、b均为负数，且满足2a﹣b+c＝4，3a+b+c＝0，令t＝3a+2b，则t的取值范围是（　　）
A．﹣10＜t＜﹣2 B．﹣12＜t＜﹣4 C．﹣12＜t＜﹣2 D．﹣10＜t＜﹣4
【考点】解三元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】因为2a﹣b+c＝4，3a+b+c＝0，所以，a、b均为负数，所以，求出2＜c＜12，令t＝3a+2b，将a、b代入，得，求出t的取值范围是﹣12＜t＜﹣4．
【解答】解：因为2a﹣b+c＝4，3a+b+c＝0，
所以，
又∵a＜0，b＜0，
即，
∴2＜c＜12，
∵，
∴﹣12＜t＜﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查了解三元一次方城组，解决本题的关键是将a、b都用c表示．
4．（2024秋 东阳市期末）某校七年级有3个班，已知一班、二班的平均人数与三班人数之和为45，二班、三班的平均人数与一班人数之和为48，一班、三班的平均人数与二班人数之和为47，则三个班的总人数为（　　）
A．68 B．70 C．72 D．74
【考点】三元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据“一班、二班的平均人数与三班人数之和为45，二班、三班的平均人数与一班人数之和为48，一班、三班的平均人数与二班人数之和为47”列出三元一次方程组，再根据整体思想求解．
【解答】解：设一班为x人，二班有y人，三班由z人，
则：，
方程组可化为：
，
①+②+③得：4（x+y+z）＝280，
∴x+y+z＝70，
故选：B．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，掌握整体思想是解题的关键．
5．（2024秋 沙市区期末）春节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”．三种花束的每一束成本分别为a元、b元和c元．已知销售每束“眷恋”的利润率为10%，每束“永恒”的利润率为20%，每束“守候”的利润率为30%，当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，老板得到的总利润率为25%；当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，老板得到的总利润率为20%，则a：b：c为（　　）
A．1：2：3 B．1：3：4 C．2：3：5 D．3：4：5
【考点】三元一次方程组的应用；列代数式．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据“当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，老板得到的总利润率为25%；当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，老板得到的总利润率为20%”，可列出关于a，b，c的三元一次方程组，解之可用含a的代数式表示出b，c的值，代入后可求出a：b：c的值．
【解答】解：根据题意得：，
解得：，
∴a：b：c＝a：2a：3a＝1：2：3．
故选：A．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
6．（2025春 重庆期中）已知方程组，则x+y的值为（　　）
A．14 B．2 C．﹣14 D．﹣2
【考点】解三元一次方程组．
【答案】B
【分析】将x+y看作一个整体，然后加减消元，去掉z，即可解答．
【解答】解：，
（1）+（2）得：
7x+7y＝14，
x+y＝2．
故选：B．
【点评】本题关键要理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，解出x+y的数值．
7．（2024春 梁平区期末）解三元一次方程组，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（　　）
A．①+③，①×2﹣② B．①+③，③×2+② C．②﹣①，②﹣③ D．①﹣②，①×2﹣③
【考点】解三元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】观察z的系数，利用加减消元法消去z即可．
【解答】解：解三元一次方程组，如果消掉未知数z，
则应对方程组变形为②﹣①，②﹣③．
故选：C．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 宁波月考）购买铅笔7支，作业本6个，中性笔4支共需33元；购买铅笔5支，作业本5个，中性笔3支共需26元；则购买铅笔2支，作业本1个，中性笔1支共需 　7　 元．
【考点】三元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】7．
【分析】首先假设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，中性笔的单价是z元．购买铅笔2支，作业本1本，中性笔1支共需a元．根据题目说明列出方程组，解方程组求出a的值，即为所求结果．
【解答】解：设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，中性笔的单价是z元．购买铅笔2支，作业本1本，中性笔1支共需a元．
则由题意得：
，
由①﹣②得2x+y+z＝7，
于是：a＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了列三元一次不定方程组解实际问题的运用，解题的关键是在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．
9．（2025春 永春县校级期中）已知三元一次方程组，则x+y+z＝ 　　 ．
【考点】解三元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】方程组中三个方程左右两边相加，变形即可得到x+y+z的值．
【解答】解：，
①+②+③，得：
2x+2y+2z＝39，
∴，
故答案为：．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，本题的技巧为将三个方程相加．
10．（2025春 洛江区期中）用高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示关于x，y，z的三元一次方程组，若5x+2y﹣z为定值，则t与m的关系为 　3t+m＝﹣1　 ．
【考点】解三元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】3t+m＝﹣1．
【分析】根据矩阵定义列方程组可解答．
【解答】解：由题意得：，
①×3+②得：5x+2y+3tz+mz＝11，
∵5x+2y﹣z为定值，
∴3t+m＝﹣1．
故答案为：3t+m＝﹣1．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，二元一次方程组的定义，理解题意，根据新定义解答问题是此题的关键．
11．（2025春 普陀区校级月考）如果三个正数满足（a+b）：（b+c）：（c+a）＝12：17：15，则c比a大 　一分之一　 （填几分之几）．
【考点】解三元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】一分之一．
【分析】由题意可设a+b＝12m，b+c＝17m，c+a＝15m，联立得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组后列式计算即可．
【解答】解：设a+b＝12m，b+c＝17m，c+a＝15m，其中m为正数，
则，
①﹣②得：a﹣c＝﹣5m④，
③+④得：2a＝10m，
解得：a＝5m，
将a＝5m代入①得：5m+b＝12m，
解得：b＝7m，
将a＝5m代入③得：c+5m＝15m，
解得：c＝10m，
则，
故答案为：一分之一．
【点评】本题考查解三元一次方程组，结合已知条件得出a，b，c的三元一次方程组是解题的关键．
12．（2024秋 怀化期末）已知x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0（xyz≠0），则　﹣4　 ．
【考点】解三元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣4．
【分析】在x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0中，未知数 系数相同，xy的系数互为相反数，通过两个式子相减或相加，即可用z的代数式表示出x、y，进而得出答案．
【解答】解：x+y+7z＝0①，
x﹣y﹣3z＝0②，
①﹣②，得2y+10z＝0，即y＝﹣5z，
①+②，得2x+4z＝0，即x＝﹣2z，
∴4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，正确用z的代数式表示出x、y是解答本题的关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2024春 夹江县期末）【教材呈现】华东师大版7.2二元一次方程组的解法
例1：解方程组 解：由①得y＝7﹣x③ 将③代入②得3x+7﹣x＝17 解得x＝5 将x＝5代入③，得y＝2 所以
小明同学受到上述解法的启示，认为可以采用同样的思想解决三元一次方程组，因此他做了如下尝试：
（1）如图是一个正方体的平面展开图，如果正方体相对的两个面上的式子的值相等，则可以列出方程组 　　 ．
（2）求解出上述x、y、z的值．
【考点】解三元一次方程组；专题：正方体相对两个面上的文字；解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据相对的两个面上的式子的值相等列方程组即可；
（2）利用代入消元法求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：，
故答案为：；
（2），
由①得z＝x﹣3④，
将②和④代入③得5﹣（x﹣3）＝2 x﹣5+1，
解得x＝4，
将x＝4代入①、②得：4﹣z＝3，y＝8﹣5＝3，
∴z＝1，y＝3，
∴．
【点评】本题考查了正方体的展开图，解三元一次方程组，①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可．
14．（2024春 彭山区校级期中）解三元一次方程组．
【考点】解三元一次方程组．
【答案】见试题解答内容
【分析】①+②求出x﹣y＝5，②﹣③求出x+2y＝11，组成一个二元一次方程组，求出方程组的解，把求出的x、y的值代入③求z即可．
【解答】解：①+②，得3x﹣3y＝15，
即x﹣y＝5，④
②﹣③，得x+2y＝11，⑤
由④和⑤组成一个二元一次方程组
解得：x＝7，y＝2，
再把x＝7，y＝2代入③，得z＝﹣2．
所以方程组的解为．
【点评】本题考查了解三元一次方程组的应用，能把三元一次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．
15．（2023秋 应城市期末）一只小船从A港口顺水航行到B港口需8小时，而从B港口逆水返回到A港口需10小时．某日，该小船在早晨6点出发，由A港口顺水航行到B港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，2小时后找到救生圈．
（1）若救生圈从A港口漂流到B港口，需要多长时间？
（2）救生圈于何时掉入水中？
【考点】三元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）救生圈从A港口漂流到B港口所需时间为48小时；
（2）救生圈于上午11时掉入水中．
【分析】（1）设小船在静水中的速度为a，水流速度为b，A港口到B港口的距离为s，然后根据题意可列方程为，根据行船问题可进行求解；
（2）设救生圈在出发t小时掉入水中，小船需6小时到B港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了（8﹣t+2）小时，然后根据题意可列方程为，进而问题可求解．
【解答】解：（1）设小船在静水中的速度为a，水流速度为b，A港口到B港口的距离为s，由题意得：
，
解得：，
∴救生圈按水流速度由A港口漂流到B港口需要的时间为80（小时）；
答：救生圈从A港口漂流到B港口所需时间为80小时．
（2）设救生圈在出发t小时掉入水中，小船需8小时到B港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了（8﹣t+2）小时，由题意得：
，
解得：t＝6，
∴6+6＝12；
答：救生圈于上午12时掉入水中．
【点评】本题主要考查三元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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